二次型及其矩陣表示

10第六章二次型第一講二次型及其矩陣表示、標(biāo)準(zhǔn)形教學(xué)目的：陣表示方法.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：二次型的矩陣表示教學(xué)打算時(shí)數(shù)：2課時(shí)教學(xué)過(guò)程：一、二次型的概念1：含有nxx1 2

, ,xn

的二次齊次函數(shù),x)ax,x)ax2a x2n2a xx2323111222a x22axx2a xx 2a2n2nnnn12122axx1n1nn1,nn1nxx1 2 〔1〕稱為二次型.附：1af稱為復(fù)二次型；當(dāng)af稱為實(shí)二次型；ij ij2、a0，即〔1〕式中的各項(xiàng)都存在.ij例1 fx,x,x

2x24x25x24xx

；fx,x,x

xxxxxx1 2 3都為實(shí)二次型；

1 2 3 13

1 2 3

12 13 23二、二次線性與對(duì)稱矩陣在〔1〕a

a2axx

axx

a

x,x(xx,

x)T，則〔1〕式可化為

ji ij

iji j

iji j

ji ji

1 2 na11,x)a11,x)(x,x, ,x)a21a12a22aa1n 1x2nxxAx.2n1 2na Tn1an2annxn1 2f(xx1

, ,xn

)xTAx為二次型的矩陣形式f(x)xTAxA稱為該二次型的矩陣f稱為A的二次型A的秩稱為fR(A)R(f.2二次型

f(x,x

,x)3x22xx

x

x24xx

5x21 2 3對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣為

1 123 1

13 22222

23 3A12222 2

1 2.2 523 1 2 A1222

1 2所對(duì)應(yīng)的二次型是2 5223 1 2x 1xTAx(x,x,x)1 1 2x3x2x25x22xx

2xx4xx.1 2 3

2 1 2

3 12

13 232 2

5 32 三、合同矩陣xxcyc yxc yc y1111 12 2c y1n n2211 22 2c y2n nxc yc yc ynn11 n2 2nn nxx1 2

,,xn

y,y1 2

,,yn

的線性變換，xCy.其中系數(shù)矩陣c c c 11 12 1n222nCc21 222n c c c n1 n2 nn稱為線性變換矩陣.假設(shè)C可逆，則稱該線性變換為可逆線性變換.說(shuō)明f(x)xTAxxCy，將二次型化為xCyf(x)xTAx，得f(x)xTAx(Cy)TA(Cy)yT(CTAC)yyT(CTACyy,y1 2

,,yn

的二次型，對(duì)應(yīng)的矩陣為CTAC.A與CTAC的關(guān)系，我們給出以下定義.定義3：AB為兩個(gè)n階矩陣,假設(shè)存在n階可逆矩陣C,使得CTACB則稱矩陣ABAB合同.矩陣的合同的性質(zhì):1A,AA合同ETAEA.2ABBA合同.3AB合同,B與CA與C合同.4ABCTACRBRA，即合同的兩個(gè)矩陣的秩不變.四、標(biāo)準(zhǔn)形的定義4fb

y2b

y2

稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(或by2by2,n nf(xx,1 2假設(shè)CTAC為對(duì)角矩陣

11 2 2x)xTAxxCyyT(CTACy.nb 1 2B b 2bnf(xx,

x)xTAxby2b

y2b

y2, 且其標(biāo)準(zhǔn)形中的系1 2 n

11 22 nn數(shù)恰好為對(duì)角矩陣BA能否合同于一個(gè)對(duì)角矩陣的問(wèn)題.五、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法xCy把二次型f(xx,1 2法.

x)xTAx化為標(biāo)準(zhǔn)形的方n用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理1：任一二次型都可以通過(guò)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.拉格朗日配方法的步驟是:假設(shè)二次型fxixi的乘積項(xiàng)集中,然后配方,再對(duì)其余的變量進(jìn)展同樣過(guò)程直到全部變量都配成平方項(xiàng)為止,經(jīng)過(guò)可逆線性變換,就得到標(biāo)準(zhǔn)形；假設(shè)二次型中不含有平方項(xiàng),但是a 0(ij),則先作可逆線性變換ijxyyi i jx yyi xyxk

(k1,2,

nkink化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型,然后再按(1)中方法配方.定理2：A,存在可逆矩陣CBCTAC為對(duì)角矩陣.即任一實(shí)對(duì)稱矩陣都與一個(gè)對(duì)角矩陣合同.3化二次型fx22x25x22xx

2xx

6xx

為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的變換矩陣.

1 2 3

12 13 23[解] fx22x25x22xx2xx6xx1 2 3 12 13 23x22xx2xx 2x25x26xx1 12 13 2 3 23xxx2x2x22xx2x25x26xx1 2 3 2 3 23 2 3 23xx

x2x24

x4x21 xx1

3 2x2x3

22x3

332.yxxx

xyyy

x 1 1 1y1 1 2

1 1 2

1 1令y x2

2x

即x

x

0 1 2y， 2

2 2

2

2yx,

xy,

x 0 0 1

y3 3 3 3 3 3ffy2y2，所用變換矩陣為1 21 1 1C0 1 2,C10. 0 0 1 4f2xx12

2xx13

6xx23

為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的變換矩陣.[解]由于所給二次型中不含平方項(xiàng),所以令xyy

x 1 1 0y1 1

1 1

, 即x1 1 0y2 1

2

2xy,

x 0 0 1y3 3f2xx2xx6xx

3 3中，可得12 13 23f2y22y24yy8yy2y24yy2y28yy1 2 13 2 3 1 13 2 2 32y1

y22y28yy3 3 2

2y222y1

y22y3

2y3

26y23zyy

yzz

y 1 0 1z 1 1

1 1

1 1令 z 2 2

, 即y z2z, 2 2 3

y20 1 2z2， 3

zy,

yz

y 0 0 1z3 3 3 3 3 3f化為標(biāo)準(zhǔn)形：f2z22z26z2，且變換矩陣為1 2 31 1 1 0 1 1 1 3C1 1 0 1 21 1 1，C20. 0 0 0 0 1 其次講標(biāo)準(zhǔn)形的正交變換法、標(biāo)準(zhǔn)形的轉(zhuǎn)化教學(xué)目的：的轉(zhuǎn)化以及慣性定理.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與標(biāo)準(zhǔn)形的轉(zhuǎn)化教學(xué)打算時(shí)數(shù)：2課時(shí)教學(xué)過(guò)程：上次課我們介紹了化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法之一〔配方法今日連續(xù)介紹化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。一、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法用初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型〔略〕用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理3：fn

axx (aniji j n

a),xPy〔P為正交矩iji1j1陣，使f化為標(biāo)準(zhǔn)形：fy2

y2

y2, 其中

,,

fA(a)的特征值.

11 22 n n

1 2 n ij用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：fxTAxA；求出A的全部特征值,；1 2 n求出屬于各特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量,1 2

,,；n將特征向量,1 2

,,n

正交化、單位化,得,1 2

,,；n1 2

,)xPyf的標(biāo)準(zhǔn)形nfy2y2y2.11 22 nn1將二次型f17x214x214x24xx

4xx

8xx

xPy，化為標(biāo)準(zhǔn)形.

1 2 3

12 13 2317 2 2[解]〔1〕寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣：A2 14 4. 〔2〕A的特征值：由

2 4 1417 2 2EA 2 14 42 4 14

1829A1

9,2

18.3求對(duì)應(yīng)的特征向量：對(duì)于 9，解方程9EAx0,由18 2 2 1 1/2 0 1/29EA

2 5

0 1 1，得根底解系

1. 1 2 4 5

0 0

1 對(duì)于2

18，解方程18EAx0,由31 2 2 1 2 2 2 218EA2 4 40 0 0，得根底解系

,

0. 2 3 2 4 4 0 0 0 0 2 4 4 0 0 0 0 將特征向量正交化：,取

,2

3得正交向量組：1 1

2 3

, 22 21/2

2/5 1,

1, 4/5.1 2 3 1 0 1 將其單位化得：122

2 , 4 , 54545452 45 ( , , )T ，1 333

(

, ,0)T ， (55355

)T.P(,1 2

1 53535,)53 23 03

4 45 ，則455 4545x y1 1xPy

f9y218y218y2.2 2

1 2 333x y33二、慣性定理xPy不唯一，對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形也不唯一，但標(biāo)準(zhǔn)形中非零系數(shù)個(gè)數(shù)是相等的，都等于二次型的秩.假設(shè)限定可逆線性變換為實(shí)變換，定理.定理4〔慣性定理：設(shè)二次型fxTAx且R(f)rxPy及xQz分別化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：ft1及

y2t1

y2tty2r r

(t0,i1,2,,,r)，fk1

z2k1

2

(k0,i1,2,kzkz2rr,r)，則tt1

, ,tr

中正數(shù)的個(gè)數(shù)與kk1 2

, ,kr

中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等.定義1：二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為二次型的正慣性指數(shù),負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為二次型的負(fù)慣性指數(shù),正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)的差稱為二次型的符號(hào)差.明顯，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，非零系數(shù)的個(gè)數(shù)就是二次型的秩.如：f2y2y23y2,則f211，R(f)3.

1 2 3三、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法2f(xx,,r).

,,xn

)的標(biāo)準(zhǔn)形如下形式給出：fd1

x21

dx2ddx2dp px2p1p1dx2，其中dr r i

(i1,2,

0(i1,2,diidii通過(guò)如下的可逆線性變換

,,n)x yj j

,r)(jr1,r,r)則可將二次型d1

x2ddx2dp px2p1p1dx2化為r ry21

y2p

y2 p1

y2 〔1〕r稱〔1〕f(xx1 2

,,xn

)的標(biāo)準(zhǔn)形.5:的唯一形式，與所作的可逆線性變換無(wú)關(guān).說(shuō)明：1、標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的；2pf的正慣性指數(shù),負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)rpf的負(fù)慣性指p(rp2prrf的秩；3ff本身唯一確定的.2：f(xx

,x)2xx

6x

x2xx

為標(biāo)準(zhǔn)形，并求其正慣性指數(shù)。1 2 3 12 2 3 13[解]f(xx

,x)2xx

6x

x2xx

可化為如下標(biāo)準(zhǔn)形：1 2 3 12 2 3 13f2z22z26z2，

1 2 321w,2w 2z 1 1,

1 1 12令 2

2z

， 即z

w,ffw2w2w2且正慣 2 2,

2 2

1 2 33w 6z3,3

z 1w,6362.3：f(xxx

3)x22x(x

x)2x28xx

5x2為標(biāo)準(zhǔn)形，并求1 2 3 1其正慣性指數(shù).[解]先化標(biāo)準(zhǔn)形得：

1 2 3

2 23 3f(x,x

,x)x22x(x

x)2x28xx

5x21 2 3

1 2

2 23 3(xx

x)2x2x22xx

2x28xx

5x21 2 3

2 3 23

23 3(xxx)2x26xx4x21 2 3 2 23 3(xx1 2

x)2(x3

3x3

)25x23yxxx

y x

1 1 1 1 1 2 3,

1 1 令 y x3x

，即yBx，其中，yy2,xx，B0 1 3.2 2 3,

2 y 5x,

y x 0 0 53 3 3 3于是，經(jīng)過(guò)可逆線性變換xB1yf化為標(biāo)準(zhǔn)形：fy2y2y2f2.1 2 3第三講正定二次型教學(xué)目的：二次型的判別法.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：正定二次型的判別法教學(xué)打算時(shí)數(shù)：2課時(shí)教學(xué)過(guò)程：一、概念1：設(shè)f(x)xTAx〔ATA〕是實(shí)二次型，(1)假設(shè)對(duì)任何非零向量x,都有xTAx0 〔xTAx0〕f(x)xTAx為正定〔負(fù)定〕二次型A稱為正定矩陣〔負(fù)定矩陣〕.(2)假設(shè)對(duì)任何非零向量x,都有xTAx0 〔xTAx0〕成立,且有非零向量x,使xTAx 0,則稱f(x)xTAx為半正〔半負(fù)定二次型,矩陣A0 0 0稱為半正定矩陣〔半負(fù)定矩陣〕.(3)f(x)xTAxf(x)xTAx為不定二次型.,x)Tn1f(xx,x)x2x2x2x,x)Tn

0時(shí),明顯有1 2 n 1 2 n 1 2f(x,x1

,,xn

)0,En

是正定矩陣.例2：fx22xx

4xxx24xx

4x2

(xx2x

)20，則1 12

13

23

1 2 3xx1

2x3

0f(xxx1 2

)0f(xx1 2

,x是半負(fù)定,其對(duì)應(yīng)的矩陣31 1 21 1 2是半負(fù)定矩陣. 2 2 二、正定二次型的判別法定理1：n元實(shí)二次型f(x)xTAx為正定二次型 f(x)的正慣性指數(shù)等于n.說(shuō)明：1定性判別可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱矩陣的正定性判別.2、實(shí)二次型為正定二次型的充分必要條件是它對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣與對(duì)角矩陣合同，而且該對(duì)應(yīng)矩陣的主對(duì)角線上的元素全為正數(shù).1nA為正定矩陣A的全部特征值全為正數(shù).A為正定矩陣存在可逆矩陣CACTCA與單位矩陣E合同.2A為正定矩陣，則|A|0.2nA(a)的k個(gè)行標(biāo)和列標(biāo)一樣的子式ija aii ii11 12a aii ii21 22

aii1kii2ka (1iii2k1 2

ik

n)a a aii ii iik1 k2 kkA的一個(gè)k階主子式.而子式a a a11 12 1k,,n)|A| 21 22k

2k (k1,2,Ak階挨次主子式.

a a ak1 k2 kk定理3〔霍爾維茨定理：n階矩陣A

)為正定矩陣A的全部挨次主子式全大于零，即|Ak

ij|0 (k1,2,,n).1fxTAxfxT()xfxTAx為負(fù)定的，則fxT(A)x為正定的.所以，從判別正定二次型的充分必要條件，可得判別負(fù)定二次型的以下四個(gè)等價(jià)命題：nfxTAx為負(fù)定的；fxTAx的負(fù)慣性指數(shù)等于n；fxTAxA的全部特征值全為負(fù)數(shù)；fxTAxA的奇數(shù)階挨次主子式為負(fù)，而偶數(shù)階挨次