二次型及其矩陣表示

10第六章二次型第一講二次型及其矩陣表示、標準形教學目的：陣表示方法.教學重點與難點：二次型的矩陣表示教學打算時數(shù)：2課時教學過程：一、二次型的概念1：含有nxx1 2

, ,xn

的二次齊次函數(shù),x)ax,x)ax2a x2n2a xx2323111222a x22axx2a xx 2a2n2nnnn12122axx1n1nn1,nn1nxx1 2 〔1〕稱為二次型.附：1af稱為復二次型；當af稱為實二次型；ij ij2、a0，即〔1〕式中的各項都存在.ij例1 fx,x,x

2x24x25x24xx

；fx,x,x

xxxxxx1 2 3都為實二次型；

1 2 3 13

1 2 3

12 13 23二、二次線性與對稱矩陣在〔1〕a

a2axx

axx

a

x,x(xx,

x)T，則〔1〕式可化為

ji ij

iji j

iji j

ji ji

1 2 na11,x)a11,x)(x,x, ,x)a21a12a22aa1n 1x2nxxAx.2n1 2na Tn1an2annxn1 2f(xx1

, ,xn

)xTAx為二次型的矩陣形式f(x)xTAxA稱為該二次型的矩陣f稱為A的二次型A的秩稱為fR(A)R(f.2二次型

f(x,x

,x)3x22xx

x

x24xx

5x21 2 3對應的實對稱矩陣為

1 123 1

13 22222

23 3A12222 2

1 2.2 523 1 2 A1222

1 2所對應的二次型是2 5223 1 2x 1xTAx(x,x,x)1 1 2x3x2x25x22xx

2xx4xx.1 2 3

2 1 2

3 12

13 232 2

5 32 三、合同矩陣xxcyc yxc yc y1111 12 2c y1n n2211 22 2c y2n nxc yc yc ynn11 n2 2nn nxx1 2

,,xn

y,y1 2

,,yn

的線性變換，xCy.其中系數(shù)矩陣c c c 11 12 1n222nCc21 222n c c c n1 n2 nn稱為線性變換矩陣.假設C可逆，則稱該線性變換為可逆線性變換.說明f(x)xTAxxCy，將二次型化為xCyf(x)xTAx，得f(x)xTAx(Cy)TA(Cy)yT(CTAC)yyT(CTACyy,y1 2

,,yn

的二次型，對應的矩陣為CTAC.A與CTAC的關系，我們給出以下定義.定義3：AB為兩個n階矩陣,假設存在n階可逆矩陣C,使得CTACB則稱矩陣ABAB合同.矩陣的合同的性質:1A,AA合同ETAEA.2ABBA合同.3AB合同,B與CA與C合同.4ABCTACRBRA，即合同的兩個矩陣的秩不變.四、標準形的定義4fb

y2b

y2

稱為二次型的標準形(或by2by2,n nf(xx,1 2假設CTAC為對角矩陣

11 2 2x)xTAxxCyyT(CTACy.nb 1 2B b 2bnf(xx,

x)xTAxby2b

y2b

y2, 且其標準形中的系1 2 n

11 22 nn數(shù)恰好為對角矩陣BA能否合同于一個對角矩陣的問題.五、化二次型為標準形的方法xCy把二次型f(xx,1 2法.

x)xTAx化為標準形的方n用配方法化二次型為標準形定理1：任一二次型都可以通過可逆線性變換化為標準形.拉格朗日配方法的步驟是:假設二次型fxixi的乘積項集中,然后配方,再對其余的變量進展同樣過程直到全部變量都配成平方項為止,經(jīng)過可逆線性變換,就得到標準形；假設二次型中不含有平方項,但是a 0(ij),則先作可逆線性變換ijxyyi i jx yyi xyxk

(k1,2,

nkink化二次型為含有平方項的二次型,然后再按(1)中方法配方.定理2：A,存在可逆矩陣CBCTAC為對角矩陣.即任一實對稱矩陣都與一個對角矩陣合同.3化二次型fx22x25x22xx

2xx

6xx

為標準形，并求所用的變換矩陣.

1 2 3

12 13 23[解] fx22x25x22xx2xx6xx1 2 3 12 13 23x22xx2xx 2x25x26xx1 12 13 2 3 23xxx2x2x22xx2x25x26xx1 2 3 2 3 23 2 3 23xx

x2x24

x4x21 xx1

3 2x2x3

22x3

332.yxxx

xyyy

x 1 1 1y1 1 2

1 1 2

1 1令y x2

2x

即x

x

0 1 2y， 2

2 2

2

2yx,

xy,

x 0 0 1

y3 3 3 3 3 3ffy2y2，所用變換矩陣為1 21 1 1C0 1 2,C10. 0 0 1 4f2xx12

2xx13

6xx23

為標準形,并求所用的變換矩陣.[解]由于所給二次型中不含平方項,所以令xyy

x 1 1 0y1 1

1 1

, 即x1 1 0y2 1

2

2xy,

x 0 0 1y3 3f2xx2xx6xx

3 3中，可得12 13 23f2y22y24yy8yy2y24yy2y28yy1 2 13 2 3 1 13 2 2 32y1

y22y28yy3 3 2

2y222y1

y22y3

2y3

26y23zyy

yzz

y 1 0 1z 1 1

1 1

1 1令 z 2 2

, 即y z2z, 2 2 3

y20 1 2z2， 3

zy,

yz

y 0 0 1z3 3 3 3 3 3f化為標準形：f2z22z26z2，且變換矩陣為1 2 31 1 1 0 1 1 1 3C1 1 0 1 21 1 1，C20. 0 0 0 0 1 其次講標準形的正交變換法、標準形的轉化教學目的：的轉化以及慣性定理.教學重點與難點：二次型的標準形與標準形的轉化教學打算時數(shù)：2課時教學過程：上次課我們介紹了化二次型為標準形的方法之一〔配方法今日連續(xù)介紹化二次型為標準形的方法。一、化二次型為標準形的方法用初等變換化二次型為標準型〔略〕用正交變換化二次型為標準形定理3：fn

axx (aniji j n

a),xPy〔P為正交矩iji1j1陣，使f化為標準形：fy2

y2

y2, 其中

,,

fA(a)的特征值.

11 22 n n

1 2 n ij用正交變換化二次型為標準形的步驟：fxTAxA；求出A的全部特征值,；1 2 n求出屬于各特征值的線性無關的特征向量,1 2

,,；n將特征向量,1 2

,,n

正交化、單位化,得,1 2

,,；n1 2

,)xPyf的標準形nfy2y2y2.11 22 nn1將二次型f17x214x214x24xx

4xx

8xx

xPy，化為標準形.

1 2 3

12 13 2317 2 2[解]〔1〕寫出對應的二次型矩陣：A2 14 4. 〔2〕A的特征值：由

2 4 1417 2 2EA 2 14 42 4 14

1829A1

9,2

18.3求對應的特征向量：對于 9，解方程9EAx0,由18 2 2 1 1/2 0 1/29EA

2 5

0 1 1，得根底解系

1. 1 2 4 5

0 0

1 對于2

18，解方程18EAx0,由31 2 2 1 2 2 2 218EA2 4 40 0 0，得根底解系

,

0. 2 3 2 4 4 0 0 0 0 2 4 4 0 0 0 0 將特征向量正交化：,取

,2

3得正交向量組：1 1

2 3

, 22 21/2

2/5 1,

1, 4/5.1 2 3 1 0 1 將其單位化得：122

2 , 4 , 54545452 45 ( , , )T ，1 333

(

, ,0)T ， (55355

)T.P(,1 2

1 53535,)53 23 03

4 45 ，則455 4545x y1 1xPy

f9y218y218y2.2 2

1 2 333x y33二、慣性定理xPy不唯一，對應的標準形也不唯一，但標準形中非零系數(shù)個數(shù)是相等的，都等于二次型的秩.假設限定可逆線性變換為實變換，定理.定理4〔慣性定理：設二次型fxTAx且R(f)rxPy及xQz分別化二次型為標準形：ft1及

y2t1

y2tty2r r

(t0,i1,2,,,r)，fk1

z2k1

2

(k0,i1,2,kzkz2rr,r)，則tt1

, ,tr

中正數(shù)的個數(shù)與kk1 2

, ,kr

中正數(shù)的個數(shù)相等.定義1：二次型的標準形中正系數(shù)的個數(shù)稱為二次型的正慣性指數(shù),負系數(shù)的個數(shù)稱為二次型的負慣性指數(shù),正慣性指數(shù)與負慣性指數(shù)的差稱為二次型的符號差.明顯，二次型的標準形中，非零系數(shù)的個數(shù)就是二次型的秩.如：f2y2y23y2,則f211，R(f)3.

1 2 3三、化二次型為標準形的方法2f(xx,,r).

,,xn

)的標準形如下形式給出：fd1

x21

dx2ddx2dp px2p1p1dx2，其中dr r i

(i1,2,

0(i1,2,diidii通過如下的可逆線性變換

,,n)x yj j

,r)(jr1,r,r)則可將二次型d1

x2ddx2dp px2p1p1dx2化為r ry21

y2p

y2 p1

y2 〔1〕r稱〔1〕f(xx1 2

,,xn

)的標準形.5:的唯一形式，與所作的可逆線性變換無關.說明：1、標準形是唯一的；2pf的正慣性指數(shù),負項個數(shù)rpf的負慣性指p(rp2prrf的秩；3ff本身唯一確定的.2：f(xx

,x)2xx

6x

x2xx

為標準形，并求其正慣性指數(shù)。1 2 3 12 2 3 13[解]f(xx

,x)2xx

6x

x2xx

可化為如下標準形：1 2 3 12 2 3 13f2z22z26z2，

1 2 321w,2w 2z 1 1,

1 1 12令 2

2z

， 即z

w,ffw2w2w2且正慣 2 2,

2 2

1 2 33w 6z3,3

z 1w,6362.3：f(xxx

3)x22x(x

x)2x28xx

5x2為標準形，并求1 2 3 1其正慣性指數(shù).[解]先化標準形得：

1 2 3

2 23 3f(x,x

,x)x22x(x

x)2x28xx

5x21 2 3

1 2

2 23 3(xx

x)2x2x22xx

2x28xx

5x21 2 3

2 3 23

23 3(xxx)2x26xx4x21 2 3 2 23 3(xx1 2

x)2(x3

3x3

)25x23yxxx

y x

1 1 1 1 1 2 3,

1 1 令 y x3x

，即yBx，其中，yy2,xx，B0 1 3.2 2 3,

2 y 5x,

y x 0 0 53 3 3 3于是，經(jīng)過可逆線性變換xB1yf化為標準形：fy2y2y2f2.1 2 3第三講正定二次型教學目的：二次型的判別法.教學重點與難點：正定二次型的判別法教學打算時數(shù)：2課時教學過程：一、概念1：設f(x)xTAx〔ATA〕是實二次型，(1)假設對任何非零向量x,都有xTAx0 〔xTAx0〕f(x)xTAx為正定〔負定〕二次型A稱為正定矩陣〔負定矩陣〕.(2)假設對任何非零向量x,都有xTAx0 〔xTAx0〕成立,且有非零向量x,使xTAx 0,則稱f(x)xTAx為半正〔半負定二次型,矩陣A0 0 0稱為半正定矩陣〔半負定矩陣〕.(3)f(x)xTAxf(x)xTAx為不定二次型.,x)Tn1f(xx,x)x2x2x2x,x)Tn

0時,明顯有1 2 n 1 2 n 1 2f(x,x1

,,xn

)0,En

是正定矩陣.例2：fx22xx

4xxx24xx

4x2

(xx2x

)20，則1 12

13

23

1 2 3xx1

2x3

0f(xxx1 2

)0f(xx1 2

,x是半負定,其對應的矩陣31 1 21 1 2是半負定矩陣. 2 2 二、正定二次型的判別法定理1：n元實二次型f(x)xTAx為正定二次型 f(x)的正慣性指數(shù)等于n.說明：1定性判別可轉化為對稱矩陣的正定性判別.2、實二次型為正定二次型的充分必要條件是它對應的實對稱矩陣與對角矩陣合同，而且該對應矩陣的主對角線上的元素全為正數(shù).1nA為正定矩陣A的全部特征值全為正數(shù).A為正定矩陣存在可逆矩陣CACTCA與單位矩陣E合同.2A為正定矩陣，則|A|0.2nA(a)的k個行標和列標一樣的子式ija aii ii11 12a aii ii21 22

aii1kii2ka (1iii2k1 2

ik

n)a a aii ii iik1 k2 kkA的一個k階主子式.而子式a a a11 12 1k,,n)|A| 21 22k

2k (k1,2,Ak階挨次主子式.

a a ak1 k2 kk定理3〔霍爾維茨定理：n階矩陣A

)為正定矩陣A的全部挨次主子式全大于零，即|Ak

ij|0 (k1,2,,n).1fxTAxfxT()xfxTAx為負定的，則fxT(A)x為正定的.所以，從判別正定二次型的充分必要條件，可得判別負定二次型的以下四個等價命題：nfxTAx為負定的；fxTAx的負慣性指數(shù)等于n；fxTAxA的全部特征值全為負數(shù)；fxTAxA的奇數(shù)階挨次主子式為負，而偶數(shù)階挨次