重慶大學電氣《自動控制理論》課后答案

第2章習題解2.1(a)求圖示RC電路的傳遞函數G(s)。

(a)UrUo-I1I2I2.2(a)是一反相比例運算電路，其2.3試用復數阻抗法畫出圖E2.3所示電路的動態(tài)結構圖，并求傳遞函數。、-+UiU0R1R2R3(a)圖E2.3題2-3RLC電路

uoucuoucIR1ICILR2UrUo--IR1ICUCIL-uoucL1R2RruC--uc++IUrUc-I圖E2.5題2-6圖

2-6試畫出圖E2.5所示系統的動態(tài)結構圖，并求傳遞函數

。

UrUc-2.7系統動態(tài)結構圖如圖E2.6所示。試求傳遞函數

、、、。圖E2.6題2.7圖

圖E2.6題2.7圖

圖E2.7題2.8圖

2.8系統結構圖如圖E2.7所示。求傳遞函數C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。若要消除干擾對輸出的影響（即C(s)/N(s)=0），問Gn(s)=?圖E2.7題2.8圖

解：1）令N(s)=0,則2）令R(s)=0,則K4

GnN(s)C(s)-+-R(s)=0框圖簡化如下K4

GnN(s)C(s)-+-

GnN(s)C(s)-+-K4

GnN(s)C(s)-+-K4

GnN(s)C(s)+--1

GnN(s)C(s)+--1

GnN(s)C(s)+--1

GnN(s)C(s)+--1

N(s)C(s)+--1

Gn

N(s)C(s)+--1

Gn要消除干擾對輸出的影響，令C(s)/N(s)=02.9簡化圖E2.8中各系統結構圖，并求出傳遞函數C(s)/R(s)。

（a）

（b）

圖E2.8習題2-9圖（c）

（a）

G1+G2G3-G4-RCG1G2-RCG2G3-++G1RCG2G2G3-++（b）

（c）

G1-RC2.10系統結構如圖E2.9所示，試求出系統的傳遞函數。

圖E2.9題2.10系統結構圖

G1G2G3G4HHRC--G1G2G3G4HHRC--G1G3RCG2G2H-G4G4H-G1G3RCG2G2H-G4G4H-G1G3RCG2G2H-G4G4H-2.11系統結構如圖E2.10所示，試求出系統的傳遞函數。(a)圖E2.10題2-11圖

(a)G2H1H1G4G1G3H2--++RCG2H1H1G4G1G3H2--++RCG2H1/G1G3H1/G3G4G1G3H2/G1--++RCG2H1/G1G3H1/G3G4G1G3H2/G1--++RCG1G2G3

G4++RCG1G2G3

G4++RC

G4+RC2.12已知系統結構圖如圖E2.11所示，試寫出系統在輸入R(s)及擾動N(s)同時作用下輸出C(s)的表達式。

圖E2.11題2-12系統結構圖解：1）令N(s)=0,求出CR(s)G1G2H1G3-+-RCG1G2H1G3-+-RCG1-RC

G3+2）令R(s)=0,求出CN(s)

G4N(s)C(s)-++G1+G3+

G4N(s)C(s)-++G1+G3+

G4N(s)C(s)-++G1+

G4N(s)C(s)-++G1+

G4N(s)C(s)++G1+-1

G4N(s)C(s)++G1+-1G4N(s)C(s)++

+-1

N(s)C(s)+

+

-G4N(s)C(s)++

+-1

N(s)C(s)+

+

-R、N同時作用時第3章習題解3-1系統在作用下。測得響應為，又知C(0–)=0，試求系統的傳遞函數。

解:

3-2已知慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數為希望采用負反饋的方法將調節(jié)時間ts減小為原來的0.1倍，并保證總放大系數不變，試選擇圖E3-1中的K1和K2的值。

圖E3-1題3-2的結構圖據題意:求得:K1=10,K2=0.93-3假定溫度計可以用傳遞函數來描述。如果用它來測容器中恒定的水溫，需要1分鐘才能指示出實際水溫的98%的數值。如果給容器加熱，使水溫按10℃/分的速度線性變化。溫度計的穩(wěn)態(tài)指示誤差有多大？

解:

1)t/s04T0.022)溫度計傳遞函數可由如下框圖構成R(s)C(s)-E(s)3-4單位反饋系統的開環(huán)傳遞函數為試分別求出K=10和K=20時，系統的阻尼比

和自然振蕩角頻變n，及單位階躍響應的超調量%和峰值時間tp。并討論K的大小對過渡過程性能指標的影響。解：1）當K=10時，2）當K=20時，3）當K初始響應速度加快動態(tài)平穩(wěn)性變差3-6欲加負反饋來提高阻尼比，并保持總放大系數K和自然諧振角頻率n不變，試確定H(s)(見圖E3-2)。

圖E3-2題3-6圖

解：加負反饋后總的傳遞函數為據要求：N(s)=1，要使，則應增大分母一次項系數，所以M(s)應為一階比例微分環(huán)節(jié)設M(s)=Ts+，則要保持前后n不變，則=03-7二階系統的單位階躍響應曲線如圖E3-3所示。如果該系統屬于單位反饋控制形式。試確定其開環(huán)傳遞函數。

圖E3-3題3-7題

解：3-8試在s平面上繪出典型二階系統滿足下列條件的閉環(huán)極點可能位于的區(qū)域。

1、0.707

<1

n2秒–12、0<

0.52<n<4秒–23、0.5<<0.707n2秒–1

解：典型二階系統的閉環(huán)傳遞函數為當01時，其閉環(huán)特征根（閉環(huán)極點）為共軛復根，滿足已知條件的閉環(huán)極點可能位于的區(qū)域如下圖示：0+1+j21、0.707

<1n2秒–12、0<

0.52<n<4秒–223、0.5<<0.707n2秒–1

0+1+j240+1+j3-9系統結構圖如圖E3-4所示，其性能指標為%=20%，ts(2%)=1秒。試確定參數K和T。圖E3-4題3-9題

解：3-15單位反饋系統的開環(huán)傳遞函數分別為試確定各系統開環(huán)增益K的穩(wěn)定域，并說明積分環(huán)節(jié)數目對系統穩(wěn)定性的影響(T均大于零）。解：則閉環(huán)傳遞函數為其閉環(huán)傳遞函數為其閉環(huán)傳遞函數為因此，無論K取何值，系統均不穩(wěn)定。小結：積分環(huán)節(jié)雖然能加強系統跟蹤信號的能力，但卻有使系統穩(wěn)定性變差的趨勢。通常，3型以上的系統極難穩(wěn)定。3-18單位反饋系統的開環(huán)傳遞函數為

如輸入信號為r(t)=5+6t+t2，試求穩(wěn)態(tài)誤差ess。

解：首先判穩(wěn)，系統閉環(huán)特征方程為化為時間常數模型，即尾1型系統為2型系統，開環(huán)增益K=5。因此，在階躍信號、斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ess1、ess2均為0；在加速度信號作用下穩(wěn)態(tài)誤差為3-20試求圖E3-7所示系統的穩(wěn)態(tài)誤差，已知r(t)=n(t)=1(t)。

解：系統為二階系統，當K1、K2、T1、T2均大于零時，則系統穩(wěn)定。E(s)圖E3-7題3-20圖

N(s)則系統總的穩(wěn)態(tài)誤差為3-21單位反饋系統的開環(huán)傳遞函數如輸入信號為,試求系統穩(wěn)態(tài)誤差時K的取值范圍，0為一常數。解：系統要穩(wěn)定，則因系統為2型系統，且則綜合得：第4章習題解4-1開環(huán)零、極點如圖E4-1所示,試繪制出相應的概略根軌跡圖。

0（a）0j（b）0（c）jjj（d）（e）0（f）圖E4-1jj004-2單位反饋控制系統開環(huán)傳遞函數如下,試畫出相應的閉環(huán)根軌跡圖。

解：建立復平面坐標，標注出開環(huán)零極點。0-2-3-5用試探法求出會合點約為-0.9n-m=2,兩條漸近線，其參數為閉環(huán)特征方程如下，當K10時穩(wěn)定。0n-m=2,兩條漸近線，其參數為-10-2010-10-p1-p2-p3出射角閉環(huán)特征方程如下，當K10時穩(wěn)定。4-5單位反饋系統的開環(huán)傳遞函數為試繪制系統的根軌跡圖,并確定使系統穩(wěn)定的根軌跡增益K1的取值范圍。0-2-7解：（1）漸近線參數（2）由分離點公式求得（3）閉環(huán)特征方程若以s=j代入，可求出與虛軸的交點4-6控制系統的開環(huán)傳遞函數為（1）試證明其閉環(huán)根軌跡的一部分是一個園。（2）畫出根軌跡。（3）確定最小的阻尼比及相應的K1值。解：（1）設復平面根軌跡上的某點s=+j代入相角方程或閉環(huán)特征方程進行證明,(過程略）；（2）畫出根軌跡如下0-3-5-1sd1sd2其中（3）過坐標原點作園的切線交于點P，切線即為最小阻尼比線。0-3-5-1sd1sd2P0-3-5-1sd1sd2PABC用余弦定理求AP、BP4-7已知系統的開環(huán)傳遞函數為試作根軌跡,并分析K1取值不同時,系統的階躍響應特性。0-2-3-1解：作出根軌跡如下。sd1sd2用分離點公式和幅值方程求得（1）當K1K11或K1K12時，系統有兩個不相等的負實根，1，階躍響應是單調收斂的。0-2-3-1sd1sd2（2）當K11

K1K12時，01，系統有一對負實部的共軛復數根，階躍響應是振蕩收斂的。（3）當K1=K11或K1=

K12

時，系統有兩個相等的實根，=1，階躍響應是單調收斂的，即無超調也無振蕩。4-8負反饋系統的開環(huán)傳遞函數為（1）繪制系統的根軌跡圖。（2）求根軌跡在實軸上的分離點和相應的K1值。解：（1）作出根軌跡如下0-1sd1sd2其中sd1=-0.33,sd2=-14-9系統的開環(huán)傳遞函數為：畫出該系統的根軌跡圖,說明不論系數K1為何值時,系統均不穩(wěn)定,利用根軌跡圖說明在負實軸上增加一個零點,將開環(huán)傳遞函數改為(0<a<1)則可以使系統穩(wěn)定。解：原系統閉環(huán)特征方程為缺項，所以系統不穩(wěn)定，其根軌跡如下圖(A)所示00當附加開環(huán)零點-a(o<a<1)后,系統根跡如圖（B）所示，由于有條根跡起于-1開環(huán)極點，終于-a開環(huán)零點，向右運動。因此，在n-m2情況下，另兩條必向復平面左方向運動，在K0時三條根跡均在左半s平面，所以系統穩(wěn)定。圖（A）圖（B）4-11已知系統特征方程：試確定使根軌跡上僅有一個非零值分離點的a值。解：系統閉環(huán)特征方程變形為據條件有：開環(huán)傳函則開環(huán)傳遞函數-3-44-12已知負反饋控制系統的開環(huán)傳遞函數為

(1).繪制系統的根軌跡圖。

(2).確定使閉環(huán)傳遞函數具有階躍響應超調量為

16.3%的K1值。

解：（1）漸近線參數（2）分離點（3）繪制概略的根跡圖如下0-1-3-5-9-15sdS將s代入幅值方程,得4-14設單位反饋系統開環(huán)傳遞函數為

試繪制根軌跡，求：

(1).系統出現等幅振蕩時的振蕩角頻率與K1值？

(2).系統出現一對復數主導極點使阻尼比等于某值時的閉環(huán)復數根為-0.7j1.3，(a).系統單位階躍響應的振蕩角頻率為多少？(b).在這種情況下，當輸入信號為r(t)=2t時其穩(wěn)態(tài)誤差ess=？解：（1）系統要穩(wěn)定，則0-2sd1-5此時對應的3個閉環(huán)特征根分別為故等幅振蕩角頻率（2）由分離點公式求得-s1-s2(a)此時振蕩角頻率(b)在這種情況下，系統對應的開環(huán)傳函為4-16單位負反饋控制系統的開環(huán)傳遞函數為

作以a為參變量的根軌跡(0<a<)。解：系統閉環(huán)特征方程為系統等效開環(huán)傳函作出a從0變化時的根跡圖如下0-0.5sd1sd2由分離點公式求得第5章習題解5-1單位負反饋控制系統的開環(huán)傳遞函數為設系統受到以下輸入信號的作用，試求系統的穩(wěn)態(tài)輸出。1.r(t)=sin(t+30°)2.r(t)=2cos(2t–45°)3.r(t)=sin(t+30°)–2cos(2t–45°)解：系統的閉環(huán)傳遞函數如下，系統穩(wěn)定(1).當=1時，(2).當=2時，r(t)=2cos(2t–45°)=2sin(2t+45°)r(t)=sin(t+30°)(3).當r(t)=sin(t+30°)–2cos(2t–45°)時利用迭加原理，可得5-2某放大器的傳遞函數為今測得幅頻特性，相頻特性

,試求參數K和T的值。解：系統的頻率特性為據題意有：5-3RLC無源網絡如圖E5.1所示。當=10弧度/秒時，其A()=1，()=-90°，求其傳遞函數。

圖E5.1題5.3圖

圖E5.1題5.3圖

解：畫出系統的動態(tài)結構圖如下UrUc系統的頻率特性為：據題意：5-4系統的單位階躍響應為h(t)=1–1.8e–4t+0.8e–9t(t0)，試求系統的頻率特性。

解：

5-6已知一些元件的對數幅頻特性曲線如圖E5.3所示。試寫出它們的傳遞函數G(s)，并計算出各參數值。

圖E5.3對數幅頻特性曲線

解：(a)(b)因低頻段的斜率為[+20]dB/dec上升，所以有一理想微分環(huán)節(jié)。由最低頻段對數幅頻近似公式，可求得(c)由Bode圖(后頁）可知，系統的開環(huán)傳函由比例和二階振蕩環(huán)節(jié)構成。因低頻段由Bode圖可知，二階振蕩環(huán)節(jié)的諧振峰值為1.25dB(d)由Bode圖可知，系統的開環(huán)傳函由比例、積分和二階振蕩環(huán)節(jié)構成。即由圖可知5-7最小相位系統的對數幅頻漸近特性如圖E5.4所示。要求:(1)寫出對應的傳遞函數表達式。

(2)概略地畫出對應的對數相頻和幅相頻率特性曲線。解：a)寫出系統對應的開環(huán)傳遞函數為由求的近似公式得對數相頻特性曲線幅相頻率特性曲線-1系統閉環(huán)穩(wěn)定b)系統開環(huán)傳遞函數為對數相頻特性曲線幅相頻率特性曲線-1系統閉環(huán)不穩(wěn)定c)系統開環(huán)傳遞函數為對數相頻特性曲線幅相頻率特性曲線-120系統閉環(huán)穩(wěn)定5-8畫出下列傳遞函數對應的對數幅頻特性的漸近線和相頻特性曲線。

LdB2040600.01-20-400.11100.56dB[-40][-20]G1LdB2040600.01-20-400.1110[-20][-40][-60]G45-9系統的開環(huán)幅相頻率特性曲線如圖E5.5所示。試判斷各系統閉環(huán)的穩(wěn)定性。未注明時p=0,v=0。

不穩(wěn)不穩(wěn)不穩(wěn)穩(wěn)穩(wěn)穩(wěn)不穩(wěn)不穩(wěn)5-13負反饋系統的開環(huán)幅相頻率特性如圖E5.7所示，開環(huán)增益K=500，p=0，試確定使系統穩(wěn)定的K的取值范圍。圖E5.7題5.13圖解:設開環(huán)傳函為據題意有(a)K=500(b)(c)(d)要穩(wěn)定,對于圖(a)應滿足要穩(wěn)定,對于圖(d)應滿足綜合得：及5-14單位負反饋系統的開環(huán)傳遞函數為 試確定系統的相角裕量等于45°時的值。解：據c定義5.16單位負反饋系統的開環(huán)對數幅頻漸近曲線如圖E5.8所示。

圖E5.8題5.16圖

（1）寫出系統的開環(huán)傳遞函數。（2）判別閉環(huán)系統的穩(wěn)定性。（3）將幅頻特性曲線向右平移10倍頻程，試討論對系統階躍響應的影響。解：（1）系統開環(huán)傳遞函數為據求c的近似公式得由圖可知（2）作開環(huán)對數相頻特性如下閉環(huán)系統穩(wěn)定（3）對數幅頻曲線向右平移10倍頻程

可見，低頻段增高，K值變大，穩(wěn)態(tài)誤差始終為0（I型，階躍輸入無差）；相角裕度不變，動態(tài)平穩(wěn)性不變。但c變大，調節(jié)時間ts減小，系統響應速度加快，但抗干擾能力下降。各轉折頻率均擴大10倍若為斜波輸入，Kessr第6章習題解6-1單位反饋系統原有的開環(huán)傳遞函數G0(s)和兩種串聯校正裝置Gc(s)的對數幅頻漸近曲線如圖E6.1所示。（1）寫出每種方案校正后的開環(huán)傳遞函數；（2）分析各Gc(s)對系統的作用，并比較這兩種校正方案的優(yōu)缺點。圖E6.1題6-1圖解：（1）畫出校正后系統的開環(huán)對數幅頻特性如下：(a)(b)[-40][-20][-40][-20][-40][-20]（2）圖(a)為滯后串聯校正。由圖可見，校正后的系統以[-20]斜率穿過0dB線，從而使系統的相角裕度增大，同時高頻衰減快，增強了高頻抗干擾能力。但由于校正后系統的開環(huán)截止頻率’c減小，因而系統的瞬態(tài)響應時間增長。

圖(b)為超前串聯校正。由圖可見，校正后的系統以[-20]斜率穿過0dB線，從而使系統的相角裕度增大，同時校正后系統的開環(huán)截止頻率’c增大，因而系統的瞬態(tài)響應加快，調節(jié)時間減小。但抑制高頻干擾能力削弱。6-2單位反饋系統的開環(huán)傳遞函數三種串聯校正裝置如圖所示，均為最小相位環(huán)節(jié)，問：（1）哪種校正裝置使系統穩(wěn)定性最好？（2）為了將12Hz的正弦噪聲削弱10倍，應采用哪種校正？(f=12Hz，=2f75rad/s)題6-2圖

解：畫出原系統的開環(huán)對數幅頻特性如下：/s-1L()/dB100.112040-20-4060[-40]1001000[-60]/s-1L()/dB100.112040-20-4060[-40]1001000[-60][-60][-60][-40][-40]系統仍不穩(wěn)定(a)圖不合適/s-1L()/dB100.112040-20-4060[-40]1001000[-60]畫出串入圖(b)校正裝置后系統的Bode圖/s-1L()/dB100.112040-20-4060[-40]1001000[-60]240畫出串入圖(c)校正裝置后系統的Bode圖最大(1)綜上所述，選圖(c)滯后-超前校正網絡，校正后系統的相角裕度最大，穩(wěn)定性最好。(2)為了能使12Hz的正弦噪聲削弱10倍，即由圖可見，應采用圖(c)滯后-超前校正。6-3單位反饋系統的開環(huán)傳遞函數為試設計串聯校正裝置，使系統滿足

/s-1L()/dB100.112040-20-4060[-20]1001000[-60]60解：系統為I型系統，其Kv=K，取K=150畫出原系統的開環(huán)對數幅頻特性曲線：[-40]系統不穩(wěn)定/s-1L()/dB100.112040-20-4060[-20]1001000[-60]60[-40]系統不穩(wěn)定則宜采用串聯滯后-超前校正。校正過程具體步驟略！6-4單位反饋系統的開環(huán)傳遞函數為

若要使系統的

幅值裕量

試設計串聯校正裝置。

解：可采用滯后校正。參考校正裝置為：6-10系統結構圖如圖E6.4所示。圖中Kts和

分別是反饋校正裝置測速電機和超前網絡的傳遞函數，欲使校正后系統的相角裕度，試求Kt和T的值。圖E6.4題6-10結構圖Kts解：系統等效開環(huán)傳遞函數為：6-11要求圖E6.5所示系統校正后成為2型系統，試確定前饋校正裝置的傳遞函數Gc(s)。

圖E6.5題6-11結構圖

解：原反饋回路前向通道有一個積分環(huán)節(jié)串聯，屬