八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)-矩形

第10講矩形知識(shí)導(dǎo)航.矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì)；.矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等，矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；.矩形的判定:有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形.【板塊一】矩形的折疊問(wèn)題方法技巧矩形的折疊圖中，有較多的直角三角形，常運(yùn)用相等的邊、勾股定理計(jì)算邊的長(zhǎng)題型一矩形折疊——勾股定理求邊長(zhǎng)【例1】已知矩形ABCD中，AB=4,BC=3，按下列要求折疊：(1)如圖1，把矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊得△EBD,BE交CD于點(diǎn)F求DF的長(zhǎng)；(2)如圖2,折疊矩形ABCD,使AD落在對(duì)角線BD上，求折痕DE的長(zhǎng)；(3)如圖3,折疊矩形ABCD，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，求折痕EF的長(zhǎng).【例2】如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，將4ABE沿AE折疊后得到A4FE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G.⑴猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(2)若AB=3,AD=4,求線段GC的長(zhǎng).題型二矩形折疊——求邊的比值【例3】如圖1,在口ABCD中,E是AD上一點(diǎn)，連接CE,F為CE的中點(diǎn),DF=EF.⑴求證:四邊形ABCD為矩形；(2)如圖2,若AE=AB,過(guò)點(diǎn)B作BG±CE,垂足為點(diǎn)G,連接AG.求NAGB的度數(shù)。AA針對(duì)練習(xí)1.如圖，在矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=8,將紙片沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，求EF的長(zhǎng)..如圖，在正方形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF±DE,與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接EF,與CD邊交于點(diǎn)G,與對(duì)角線BD交于點(diǎn)H.⑴若BF=BD=2求求BE的長(zhǎng)；(2)若NADE=2ZBFE,求證:FH=HE+HD..(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后到^GBE，且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部，將BG延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F,小明認(rèn)為GF=DF,你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.⑵【問(wèn)題解決】保持⑴中的條件不變，若DC=2DF,求妝的值.AB(3)【類比探究】保持⑴中的條件不變，若DC=〃DF,直接寫(xiě)出包的值：ABA E DB C【板塊二】矩形與等腰三角形方法技巧.利用矩形的性質(zhì)可證明線段相等或平分，角相等，兩直線平行或垂直，還可以求角的度數(shù)；.矩形的對(duì)角線將矩形分成兩對(duì)全等的等腰三角形，因此矩形有關(guān)問(wèn)題常常會(huì)用到等腰三角形的性質(zhì)題型三矩形中的等腰三角形

【例1】如圖，在矩形ABCD中，AC,BD交于點(diǎn)0,P為AD上一點(diǎn)，PE±BD于點(diǎn)E,PF±AC于點(diǎn)F,AG±BD于點(diǎn)G.(1)求證:PE+PF=AG;(2)若AB=4,AD=6,利用(1)的結(jié)論,求PE+PF的值.【例2】已知四邊形ABCD是矩形，連接AC,點(diǎn)E是邊CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CA=CE，連接AE，F(xiàn)是線段AE的中點(diǎn)。(1)如圖1,當(dāng)AD=DC時(shí)，連接CF交AB于點(diǎn)M求證BM=BE.(2)如圖2,連接BD交AC于點(diǎn)0,連接DF分別交AB,AC于點(diǎn)G,H，連接GC港/FDB=30°,S四邊形oh=15m，求線段GC的長(zhǎng).題型四矩形中的中位線【例3】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，若F為DE的中點(diǎn).(1)求證:NDBE=2ZCDE;(2)求證:AF±CF.【例4】在矩形ABCD中，A=6,BC=8,E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且B=BE，連接DE,Q為DE的中點(diǎn)，有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)如圖1,連接DP,PQ,則SD= (用含t的式子表示)；(2)如圖2,M,N分別為AB,AD的中點(diǎn)，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MNQP為平行四邊形?請(qǐng)說(shuō)明理由.圖I 圖2矩形與等腰直角三角形【例5】如圖，匕ABC和“。石都是等腰直角三角形，NACB=NADE=90°,點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在射線AC上，分別過(guò)點(diǎn)B,E作AC,BC的平行線，兩平行線交于點(diǎn)H.(1)求證：四邊形BCEH為矩形(2)求證:DC=DH;(3)當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，CD=(直接寫(xiě)出結(jié)果)BE圖L 圖2針對(duì)練習(xí)2(2017中考題改)如圖，在矩形ABCD中，A=4,A=3,M是邊CD上一點(diǎn)，將"DM沿直線AM對(duì)折，得到AA^M,MN,AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q,DM=1,求NQ的長(zhǎng).如圖，在矩形ABCD中,E為CD中點(diǎn),B/平分NABC,交AD于點(diǎn)F,BE±EF.(1)求NAEB的度數(shù)；(2)求證:GF=2DF.(2019原創(chuàng))如圖，在矩形ABCD中，AE平分NBAD交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.M為EF的中點(diǎn)，連接MD,AC。試探究AC與MD之間的數(shù)量關(guān)系。4.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，CG±BD于點(diǎn)G,直線CG交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,CF=BD,求NBAF的度數(shù).【板塊三】矩形中的多解與最值題型六矩形中的分類討論與多解方法技巧矩形中畫(huà)等腰三角形時(shí)，已知的邊為底或?yàn)檠哂卸喾N可能性；畫(huà)直角三角形時(shí)，已知邊為直角邊或?yàn)樾边呉簿哂卸鄻有?，因此產(chǎn)生多解.【例1】如圖，在矩形ABCD中AB=4,BC=6,點(diǎn)P在邊AD上，若△BPC是以PB為腰的等腰三角PD的長(zhǎng)為 【例2】在矩形紙片ABCD中，巳知AD=8,AB=6,E是邊BC上的點(diǎn)，以AE為折痕折疊紙片，使點(diǎn)落在點(diǎn)F處，連接FC,當(dāng)△EFC為直角三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng).題型七矩形與動(dòng)點(diǎn)最值方法技巧動(dòng)態(tài)圖求值，先分別選取運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)，中間某一特殊點(diǎn)，終端點(diǎn)這些特殊位置對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)，然后由特殊到一般猜想估計(jì)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的情形，最后驗(yàn)證.【例3】在矩形ABCD中，A=6,AD=8,E是BC邊上一點(diǎn)，EF±AE，且EF=AE.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)F在CD邊上時(shí)，求BE的長(zhǎng)；(2)如圖2,若DF±EF,求里的值；BC⑶如圖3,Q為AF的中點(diǎn)，直接寫(xiě)出CQ的最小值為 .

E圖21、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中C(0E圖21、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中C(0,4),點(diǎn)D是0A的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)練習(xí)3四邊形0ABC是矩形，點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為A(10,0),點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)40。？是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，點(diǎn)P坐標(biāo)為2、如圖，在一張長(zhǎng)為8,寬為6的矩形紙片ABCD上，現(xiàn)要剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為5的等腰三角形(要求等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上)，求剪下的等腰三角形的面積。3、如圖，在矩形ABCD中