八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊等腰三角形思維拓展

第4講等腰三角形考點(diǎn)?方法"破譯.等腰三角形及其性質(zhì)有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是軸對稱圖形，因此它的性質(zhì)有:⑴等腰三角形的兩個(gè)底角相等（即等邊對等角）；⑵等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即等腰三角形三線合一）.等腰三角形的判定證明一個(gè)三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴從定義入手，證明一個(gè)三角形有兩條邊相等；⑵從角入手，證明一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，依據(jù)是等腰三角形判定定理；等角對等邊..構(gòu)造等腰三角形的常用方法⑴角平分線+平行線=等腰三角形 ⑵角平分線+垂線（或高）=等腰三角形⑶線段中垂線構(gòu)造等腰三角形 ⑷將2倍角轉(zhuǎn)化為相等角構(gòu)造等腰三角形經(jīng)典?考題?賞析【例1】 等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為40°,則這個(gè)等腰三角形的底角為.【解法指導(dǎo)】若問題中涉及到三角形的高，則要分別考慮三角形的高是在三角形的外,三角形內(nèi)的情況.解：如圖1,當(dāng)一腰上的高在三角形內(nèi)時(shí)，ZACD=40\：.ZA=^（f如圖2,當(dāng)一腰上的高在三角形外時(shí)，NACD=40°,NDAC=50°：.ZB=ZACB=25\故填65°或25°.【變式題組】01.（呼和浩特）在等腰4ABe中，AB=ACf一邊上的中線BD將這個(gè)三角形的周長分為15和12兩個(gè)部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長為（ ）

A.7 B.U C.7或LLD.7或1002.（黃岡）在ZM8c中，AB^AC,AB的垂直平分線與4C所在的直線相交所得到銳角為50。,則/B=度.03.（襄樊）在/ABC中，A8=AC=12cm,BC=6cm,D為8c的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿B玲A玲C的方向運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,那么當(dāng)t=秒時(shí),過。、P兩點(diǎn)的直線將/A8c的周長分成兩個(gè)部分，使其中一部分是另一部分的2倍.【例2】如圖，在ZMBC中，48二47,點(diǎn)。在47上，4D=BD=80求/A的度數(shù).【解法指導(dǎo)】圖中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性質(zhì)，用方程的思想求角的度數(shù).解：設(shè)/A=x,?:BD=AD, ZA=ZABD=x,，/BDC=N4+ZABD=2x,，NC=N8DC=2X,VAB^AC,AZC=ZABC=2x,?二在△ABC中，ZA+ZABC+ZACB=180°Ax+2x+2x=180°,x=36°,AZA=36G.【變式題組】01.如圖，在/ABC中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB,求NA的度數(shù).02.如甌在446C中,AB=AC,BC=BD=ED=EA,求NA的大小.【例3】已知坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)A（2,-2）,6是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn).若,AO6是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)8一共有（ ）個(gè)A94 &5 C.6 。.8【解法指導(dǎo)】/AO8是等腰三角形，但不能確定哪條邊是等腰三角形的底，因而要分三種情況進(jìn)行說明①人。=0瓦②04=48,③m=8。,又???B是坐標(biāo)軸上的點(diǎn).要考慮x軸與V軸兩種情況.解：①如圖1,當(dāng)04是底邊時(shí)，8在OA的中垂線上，又8在坐標(biāo)軸上，因而B是3中垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；②如圖2,當(dāng)OA為腰時(shí)，若。為頂點(diǎn)，則8在以。為圓心，。4為半徑的圓上，又8在坐標(biāo)軸上，因而B是圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；③如圖3,當(dāng)8為腰時(shí)，若A為頂點(diǎn)，則B在以A為圓心，。4為半徑的圓上，又B在坐標(biāo)軸上，因而B是圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).故選【變式題組】01.（海南競賽試題）在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知4（3,—3）,點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，則使/AOP為等腰三角形的點(diǎn)P共有（ ）XL2個(gè)8.3個(gè)C.4個(gè) D.5個(gè)02.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0,避），點(diǎn)C在坐標(biāo)平面內(nèi).若以48、C為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形，且底角為30度，則滿足第4題圖第4題圖03.（南昌）如圖，已知長方形紙片A8CD,點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，點(diǎn)G是8C上一點(diǎn)，ZBEG>60°,現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊，使點(diǎn)B落在紙片中的點(diǎn)H處，連接4H,則與28EG相等的角的個(gè)數(shù)為（）03.A.4B.A.4B.3C.2D.1（例4（例4題圖）04.（濟(jì)南）如圖所示，矩形488中，AB=4,8c點(diǎn)E是折線段4一。一（7上的一個(gè)在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，使動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)4不重合），點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，使△PCB為等腰三角形的點(diǎn)E的位置共有（）A.2個(gè)8.3個(gè)C.4個(gè)。?5個(gè)【例4】（棗莊）兩個(gè)全等的含30。，60。角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，￡,4C三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)8D,取BD的中點(diǎn)M,連結(jié)ME,MC.試判斷△EMC的形狀，并說明理由.［解法指導(dǎo)】判斷/MEC為等腰直角三角形，M為直角頂

點(diǎn)，即想證/EMC=90。，而248。為等腰三角形，M是8D的中點(diǎn)，若連接AM則有/AMD=90。,因而只需證/DME=NAM。利用全等三角形即可.解：△EMC的形狀是等腰直角三角形，理由如下：連接⑷/,由題意得：DE=AC,ZDAE-^ZBAC=90°.:.ZDAB=90°.又?：DM=MB,；.MA=、DB=DM,ZMAD=ZMAB^45°.2ZMDE=ZMAC=105°,ZDMA=90°.:./XEDM^/\CAM.;"DME=/AMC,EM=MC.又 =90。，:.ZEMA+ZAMC=90Q,CMA.EM.所以△ECM的形狀是等腰直角三角形.【變式題組】01.如圖，在等腰直角三角形48c中，P是斜邊8c的中點(diǎn)，以P為直角頂點(diǎn)的兩邊分別與邊A8、AC交于點(diǎn)￡、F,當(dāng)/EPF繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），/PE尸也始終是等腰三角形，請你說明理由.02.如圖，在等腰三角形A8C中，ZACB=90°9。是BC的中點(diǎn)，DE_L4B垂足為E,過點(diǎn)B作8F〃4。交DE的延長線于點(diǎn)F,連接CF交4。于G.⑴求證：AD±CF;⑵連接AF,試判斷/Ab的形狀，并說明理由.AHAH03.如圖，/ABC中，NACB=9O。，AC=BC,CO為中線.現(xiàn)將一直角三角板頂點(diǎn)放在點(diǎn)。上并繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，若三角板的兩直角邊分別交AC、C8的延長線于點(diǎn)G、H.⑴試寫出圖中除AC=BC,OA=O8=OC外其他所有相等的線段；⑵請選一組你寫出的相等線段給予證明，【例5】我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形.⑴請寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；⑵如圖，在△期。中，點(diǎn)D,E?分別在48,4c上，設(shè)CD既相交于點(diǎn)O,若/Z=60°,ZDCB=ZEBC=-ZA.請你寫出圖中一個(gè)與N2相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對邊四邊形；⑶在△4C中，如果4是不等于60°的銳角，點(diǎn)。，￡分別在NA2C上，且4DCB=/EBC='/A,探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論.【解法指導(dǎo)】證明兩條線段相等時(shí)，若兩條線段在同一三角形中，可證明它們所對的角相等.若兩條線段在不同的三角形中，則證它們所在的兩個(gè)三角形全等，若三角形不全等,即可通過構(gòu)造全等三角形或等腰三角形解決問題.解：⑴如：平行四邊形、等腰梯形等⑵答：與相等的角是N8O。（或NCOE）,四邊形O8C￡是等對邊四邊形；⑶答：此時(shí)存在等對邊四邊形，是四邊形。BCE A證法一：如圖1,作CG_L8E于G點(diǎn)，作BF_LCD交CD延長線于F點(diǎn).?：ZDCB=ZEBC=lZA,BC為公共邊，:.△BC04CBG,:.BF=CG,?/NBDF=ZABE+ZEBC+NDCB,ZBEC=NABE+NA,:.NBDF=NBEG可證ABOF也△C￡G,：.BD=CE???四邊形DBCE是等邊四邊形.證法二：如圖2,以C為頂點(diǎn)作/FCB=ND8C,CF交8E于F點(diǎn).,IZDCB=ZEBC=；ZA,BC為公共邊，AABDC^ACFBr：.BD=CF,NBDC=/CFB,：.NADC:/CFE)丁NADC=/DCB+ZFBC+NAB&/FEC=NA+/ABE,:./ADC=/FE3:./FEL/CFE,：.cf=ce7：.bd=ce,

.四邊形DBCE是等邊四邊形.【變式題組】01.如圖，在M8C中,ZB=2ZG4。為/84C的平分線.求證：AC=AB^-BD.02.（天津初賽試題）如圖，在四邊形488中，ZACB=ZBAD=105°,ZABC=^ADC=45°,若A8=2,求CO的長.03.如圖，在A48C中，AB^AC,D在48上，F(xiàn)在4c延長線上，BD^CF.求證DE二EEB CB C【變式題組】01.（重慶）已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4,則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為（）A.20° 8.120°C.20?；?20°D.360°02.（云南）已知等腰三角形的兩邊分別為6和3,則此等腰三角形周長為（ ）49B.15C.15D.12或1503.（云南）如圖，等腰A48c的周長為21,底邊8c=5,48的垂直平分線DE交A8于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,則ASEC的周長為（ ）A.13B.14C.15D.1604.如圖，C、￡和8、0、F分別在NGAH的兩邊上，且A8=BC=CD=DE=EF,若NA=18。,

D.108°D.108°05.如圖，R'BC中，CD是斜邊4B上的高，角平分線AE交CD于H,EFL4B于F,則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A.ZACD=ZBB.CH=CE=EFC.CH=HDD.AC=AF06.如圖，M8c中，乙48c與/AC8的平分線交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作DE〃8c交A8于點(diǎn)。，交4c于點(diǎn)E那么下列結(jié)論：①A8DF和ACEF都是等腰三角形；?DE=BDA-CE;@AADEM周長等于48與AC的和；④BF=CF.其中正確的有（A.??③B.??③④ C,?@07.（武漢）如圖，己知。是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，OA=OB=OCf/A8C=/ADC=70。,貝叱DA。+NDCO的大小是（ ）A.70° 8.110°C.140°D.150°08.（濱州）己知等腰心8c的周長為10,若設(shè)腰長為X,則x的取值范圍是.09.如圖所示，在AABC中，已知4B=4C,NA=36。，8c=2,BO是AABC的角平分線，則AD=AD=.（威海）如圖，AB=AC78。=8&若N4=40。，則/A80的度數(shù)是..（烏魯木齊）在一次數(shù)學(xué)課上，王老師在黑板上畫出圖6,并寫下了四個(gè)等式：①AB=DC,②BE=CE,③NB=NC,@ZBAE=ZCDE.要求同學(xué)從這四個(gè)等式中選出兩個(gè)作為條件，推出△應(yīng)是等腰三角形.請你試著完成王老師提出的要求，并說明理由.（寫出一種即可）已知：求證：△血＞求證：△血＞是等腰三角形.證明:.（泰安）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B,C,E在同一條直線上，連結(jié)DC.（1請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）;（2片正明：DCLBE..（包頭）如圖，已知△Z3C中，月3=力。=10厘米，3c=8厘米，點(diǎn)。為44的中點(diǎn).⑴如果點(diǎn)P在線段8c上以3厘米/秒的速度由8點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段C4上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，ABPD與ACQP是否全等，請說明理由：②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△8PZ）與△CQP全等？⑵若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)6同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△45C三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△//（7的哪條邊上相遇？角三角板DEF的直角頂點(diǎn)。放在4。的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為。石，長直角邊為OR）,將直角三角板。及'繞。點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).⑴在圖1中，DE交4B于M,DF交BC于N.①證明二ZW；②在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板。EF與△48C的重疊部分為四邊形請說明四邊形的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；⑵繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置,延長NB交DE于M,延長交D產(chǎn)于N,DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；⑶繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，延長FD交BC于N,延長ED交力B于M,DM=DN是否仍然成立？請寫出結(jié)論，不用證明.01.如圖，N84C與NCBE的平分線相交于點(diǎn)P,BE=BC」PB與CE交于點(diǎn)H,PG〃AD交BC于F,交于G,于F,交于G,下列結(jié)論：①以=GP;②5“屆5必》="：48；③BP垂直平分CE：④FP=FC;其中正確的判斷有（ ）D.只有①②③④02.如圖，點(diǎn)A是5x5網(wǎng)格圖形中的一個(gè)網(wǎng)格圖形中的一個(gè)格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），圖中每個(gè)小正方形的邊長為1，以A為其中的一個(gè)頂點(diǎn)，面積等于2.5的格點(diǎn)等腰直角三角形（三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)）的個(gè)數(shù)是（ ）A.1Q個(gè)B.12個(gè)C14個(gè)D.16個(gè)03.如圖，在A4BC中，AB=8C,A4N=NAN8AA4=N/VAC,則NM4C=.04.如圖，AA\B夕分別是NEAB、ND8c的平分線，若4T