專題講座《高三數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合題解題障礙及策略研究》

專題講座《高三數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合題解題障礙及策略研究》

“取勢(shì)、明道、優(yōu)術(shù)”——高三數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合題解題障礙及策略研究（2020年6月12日）數(shù)學(xué)教學(xué)中的“取勢(shì)、明道、優(yōu)術(shù)”，意指教師要順應(yīng)數(shù)學(xué)教改的潮流；懂得數(shù)學(xué)育人的原則，掌握提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的規(guī)律；提高教育教學(xué)能力，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)方法。只有這樣，才能使自己的教師專業(yè)化發(fā)展不斷取得進(jìn)步。一年一度的高考過(guò)后的熱門(mén)話題是成績(jī)，社會(huì)關(guān)注，媒體最愛(ài)，學(xué)校和教師心中總是百般滋味、愛(ài)恨交織?！耙钥紴殓R，可以明得失”，高考可以反饋、診斷和評(píng)價(jià)高三復(fù)習(xí)的成效與得失，作為一線教師更多地會(huì)從教學(xué)實(shí)踐中反思自己的教學(xué)行為和復(fù)習(xí)得失。一、“成也基礎(chǔ)，敗也基礎(chǔ)”是高考成敗的不二定律“成也基礎(chǔ)，敗也基礎(chǔ)”是每年高考過(guò)后最常聽(tīng)到的一句話，雖然每年高考數(shù)學(xué)的主基調(diào)基本穩(wěn)定，不少考題類型見(jiàn)過(guò)、講過(guò)、做過(guò)，可是考試結(jié)果還是傷痕累累，花了大工夫但收效不盡如人意。以圓錐曲線綜合題為例，教學(xué)成效總是長(zhǎng)期徘徊在較低水平上，成為高考數(shù)學(xué)丟分的大戶，其中的酸甜苦辣只有親歷者才深有體會(huì)。解析幾何涉及的基礎(chǔ)面大、技巧多、運(yùn)算繁、交匯多，一個(gè)問(wèn)題的理解與解決，往往生發(fā)于簡(jiǎn)單，卻紛繁于變化，“一千個(gè)觀眾就有一千個(gè)哈姆雷特”，作圖、設(shè)點(diǎn)、列式求值、檢驗(yàn)、作答，每一步看似都是“規(guī)定動(dòng)作”，演變卻各有巧妙，得分也是天差地別。

例如（2018年高考全國(guó)卷理19）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，．（1）求的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程。分析：第（1）問(wèn)第（2）問(wèn)，在拋物線中以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。該題第(1)問(wèn)考查了直線與拋物線的位置關(guān)系和拋物線定義，第(2)問(wèn)重點(diǎn)考查圓的幾何性質(zhì)和方程的思想。就試題難度而言，只能屬中低檔題，但是考后調(diào)查發(fā)現(xiàn)，考生普遍得分在5分到7分之間，可見(jiàn)得分并不高。失分原因何在?一是求直線斜率用的是弦長(zhǎng)公式而不是拋物線定義，運(yùn)算量增大導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤，二是缺乏整體消元意識(shí)，導(dǎo)致二元二次方程組不會(huì)解或錯(cuò)解。本質(zhì)上，失分的主要原因是拋物線的定義沒(méi)用上，以及運(yùn)算能力不強(qiáng)。當(dāng)下“基礎(chǔ)”問(wèn)題常見(jiàn)的有以下病癥和糾結(jié):(1)任務(wù)焦慮癥(2)盲目追高癥(3)低質(zhì)重復(fù)癥（4）目標(biāo)窄化癥(5)教學(xué)淺表化，等等。抓好基礎(chǔ)難就難在教學(xué)中各種因素和關(guān)系的平衡與理順?；A(chǔ)與提高、講評(píng)與練習(xí)、時(shí)間與空間、教材與教輔、培優(yōu)與補(bǔ)差等要素之間相互均衡與辯證轉(zhuǎn)化。二、“考什么，學(xué)什么，怎么學(xué)”是備考的關(guān)鍵命題“考什么，學(xué)什么，怎么學(xué)”是高考備考的最大命題，高三教學(xué)成效如何的一個(gè)重要因素在于是否能夠做到靶向考點(diǎn)、精準(zhǔn)復(fù)習(xí)、科學(xué)備考。2020年1月，教育部考試中心發(fā)布《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明》。如果不了解“一核四層四翼”的高考評(píng)價(jià)體系(一核:立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué);四層:核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和必備知識(shí);四翼:基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性)，教學(xué)便難以立于高處，高瞻遠(yuǎn)矚;如果沒(méi)有仔細(xì)閱讀課程標(biāo)準(zhǔn)、考綱等微小變化，便難以精準(zhǔn)定位復(fù)習(xí)要求;如果沒(méi)有仔細(xì)研究近年的全國(guó)卷，便難以了解全國(guó)卷較之往年對(duì)閱讀能力、應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力考査有新的視角，難以發(fā)現(xiàn)全國(guó)卷在解析幾何中很重視考査幾何作圖和幾何知識(shí)應(yīng)用的能力，很重視圓在研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的“搭臺(tái)”作用，等等。3、“停下來(lái)，等一等靈魂”是治療教學(xué)病癥的良方益藥應(yīng)試教學(xué)拼的是經(jīng)驗(yàn)的多寡和解法的“花拳繡腿”，解題雖是考試王道，但思想才是數(shù)學(xué)正道。沒(méi)有思想的深刻錘煉，缺乏數(shù)學(xué)理解，難有考試時(shí)的自如應(yīng)用和隨機(jī)應(yīng)變?！敖逃且豢脴?shù)搖動(dòng)著一棵樹(shù)，一朵云推動(dòng)著一朵云，一個(gè)靈魂喚起一個(gè)靈魂”，數(shù)學(xué)教學(xué)理當(dāng)要用理性精神和獨(dú)立思考的品質(zhì)去滋養(yǎng)和推動(dòng)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升，要用數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵和扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)為學(xué)生的未來(lái)發(fā)展做堅(jiān)實(shí)的準(zhǔn)備。2017年8月至2018年8月本人主持泉州市小課題《高三文科數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合題解題障礙及策略研究》，課題經(jīng)過(guò)一年多時(shí)間的研究與實(shí)踐，獲得初步成效。實(shí)踐成果方面有：（1）提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性。學(xué)生在這道圓錐曲線綜合題得分有所提高，重點(diǎn)提升了學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)。（2）促進(jìn)了課題組教師的專業(yè)成長(zhǎng)。泉州市小課題《高三文科數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合題解題障礙及策略研究》主持人：毓英中學(xué)曾慶國(guó)研究時(shí)間：2017年8月至2018年8月成果形式（17年至今）具體成果教學(xué)論文（8篇）論文《解析幾何點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題的處理策略》榮獲泉州市高中數(shù)學(xué)高效教學(xué)微策略論文評(píng)選三等獎(jiǎng)。論文《常見(jiàn)臨界值問(wèn)題歸類》發(fā)表于福建中學(xué)數(shù)學(xué)；《橢圓中一類最大角問(wèn)題的剖析》發(fā)表于福建中學(xué)數(shù)學(xué)；《例談圓錐曲線中直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的處理策略》福建中學(xué)數(shù)學(xué)；《圓錐曲線綜合題中“三角形面積問(wèn)題”的破解策略》發(fā)表于考試周刊；《運(yùn)用對(duì)稱思想破解圓錐曲線綜合題》發(fā)表于教學(xué)研究與探索（金井片區(qū)論文匯編）；《巧用一元二次方程破解圓錐曲線綜合題》發(fā)表于教學(xué)研究與探索（金井片區(qū)論文匯編）；《2014年高考福建卷理科第19題的改編與推廣》教學(xué)研究與探索（金井片區(qū)論文匯編）優(yōu)課《圓錐曲線中的三角形面積問(wèn)題》獲2019年晉江市級(jí)優(yōu)課微課微課《圓錐曲線中的三角形面積問(wèn)題》獲2018年晉江市高中畢業(yè)班教學(xué)關(guān)鍵問(wèn)題“微課”評(píng)選二等獎(jiǎng)作業(yè)設(shè)計(jì)評(píng)選《圓錐曲線與方程》獲2020年晉江市中學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)評(píng)選高中作品一等獎(jiǎng)命題比賽獲2019—2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)學(xué)科命題、析題競(jìng)賽評(píng)選三等獎(jiǎng)（3）高三數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合題的解題障礙及策略研究解題策略就是解題過(guò)程的優(yōu)化，即策略優(yōu)化。1.策略優(yōu)化，意義何在所謂解題策略，就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法，是為了實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)而采取的方針，同時(shí)也是增強(qiáng)效果、提高效率的藝術(shù)。首先，解題策略的層次比較高，適用面比較廣，它以其全局性的指導(dǎo)意義而區(qū)別于具體的解題技巧;它是解題思想轉(zhuǎn)化為解題操作的橋梁，是求解具體問(wèn)題的方針、策略。其次，良好的解題策略可優(yōu)化解題過(guò)程、節(jié)省探索時(shí)間、減少失敗次數(shù)，體現(xiàn)了選擇的機(jī)智和組合的藝術(shù)。再次，從學(xué)生解答高考圓錐曲線綜合題的情況看，相當(dāng)多的毛病出現(xiàn)在運(yùn)算上，究其原因，往往由于或方法選擇不當(dāng)或運(yùn)算不合理(策略意識(shí)差)，造成中途擱淺或結(jié)果出錯(cuò)。老師在教學(xué)中也有這樣的感覺(jué)，學(xué)生解題很少講究策略，拿到題目就瞎撞亂碰，而運(yùn)算時(shí)也是毫無(wú)目標(biāo)意識(shí)，不講究運(yùn)算是否合理，盲目性較大。因此，研究如何增強(qiáng)圓錐曲線綜合題的解題策略意識(shí)，提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確度，就顯得很有必要和非常迫切。第四，對(duì)解題策略的掌握和運(yùn)用，直接影響著一個(gè)人能力的提高與素質(zhì)的發(fā)展。所以這些年高考數(shù)學(xué)明確指出重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)思想與方法(即解題策略)，這也是素質(zhì)教育的必然走向。2.解幾學(xué)習(xí)，障礙分析解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它涉及的知識(shí)深廣，方法靈活多變，是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是歷年高考的熱點(diǎn)。學(xué)生普遍認(rèn)為，解析幾何難，難在方法多樣，運(yùn)算復(fù)雜，見(jiàn)了生畏。原因何在?(1)缺乏對(duì)向量語(yǔ)言的翻譯能力和應(yīng)用能力平面向量具有代數(shù)與幾何形式的“雙重身份”，并融數(shù)、形于一體，成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，而以向量為背景的解析幾何題自然貼切，在近幾年高考中成為一個(gè)重要熱點(diǎn)。常見(jiàn)的命題形式有兩種，其一，解析幾何題題設(shè)條件通過(guò)向量的語(yǔ)言來(lái)描述，體現(xiàn)出向量知識(shí)在解析幾何中的滲透，在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題;其二，向量作為一種工具，可以用向量方法來(lái)解決解析幾何問(wèn)題，從高考答題情況來(lái)看，一部分學(xué)生不能從眾多的數(shù)學(xué)符號(hào)和式子中理出個(gè)頭緒來(lái)，無(wú)力解答問(wèn)題。還有一部分學(xué)生過(guò)早地把向量符號(hào)坐標(biāo)化，由于設(shè)“元”太多，而陷入復(fù)雜的運(yùn)算，從而迷失了方向。如果解析幾何題的敘述方式以向量語(yǔ)言為主，這就要求解答者首先要把向量語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，再對(duì)幾何圖形作出整體的分析，然后通過(guò)坐標(biāo)思想求解。(2)沒(méi)有掌握基本的運(yùn)算方法，沒(méi)有形成基本的運(yùn)算能力由于解析幾何題綜合性強(qiáng)、運(yùn)算繁雜，學(xué)生極易產(chǎn)生畏懼心理，考試時(shí)采取放棄的策略，從而平時(shí)也不重視解析幾何的復(fù)習(xí)，導(dǎo)致放棄了一些在能力范圍內(nèi)的題，實(shí)在可惜。做不下去的關(guān)鍵原因是沒(méi)有抓住要領(lǐng)，死記硬背公式，不能靈活應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。運(yùn)算煩瑣也是因?yàn)椴恢烂總€(gè)公式的適用場(chǎng)合，亂用公式人為導(dǎo)致運(yùn)算復(fù)雜，最終不得不放棄。其實(shí)解析幾何中的公式并不多，只是必須記住該記的。主要公式如兩點(diǎn)之間的距離公式，弦長(zhǎng)公式等等。(3)不會(huì)選擇合理的運(yùn)算途徑，走不出運(yùn)算量大的魔圈平幾滲透，數(shù)形結(jié)合。解析幾何首先是幾何問(wèn)題，一味強(qiáng)調(diào)解析幾何中的代數(shù)運(yùn)算有時(shí)會(huì)導(dǎo)致煩瑣的運(yùn)算過(guò)程，必要時(shí)要綜合考慮幾何因素，即在用代數(shù)方法研究曲線間關(guān)系的同時(shí)，充分利用好圖形本身所具有的平面幾何性質(zhì)，常可得到簡(jiǎn)捷而優(yōu)美的解法。注意轉(zhuǎn)化條件，優(yōu)化解題方法。解析幾何中有一些基本問(wèn)題，如兩直線垂直的證明（向量、斜率）、求弦的中點(diǎn)（點(diǎn)差法）、弦長(zhǎng)的計(jì)算等等，這些問(wèn)題的處理方法是熟知的。但有不少題目，所給的條件無(wú)法直接使用，或者使用起來(lái)比較困難，此時(shí)，可考慮對(duì)條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，使解題過(guò)程納入到已經(jīng)熟悉的軌道。巧設(shè)方程，方便計(jì)算。方程形式對(duì)運(yùn)算也起著很重要的作用，如在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí)，過(guò)定點(diǎn)(b，0)的直線可設(shè)為x=my+b，這樣不僅可回避對(duì)直線斜率是否存在的分類討論，而且可以簡(jiǎn)化運(yùn)算、優(yōu)化解題過(guò)程、提高解題速度。另外，當(dāng)遇到多條直線時(shí)，應(yīng)抓住具有共同特征的直線，根據(jù)其共同特征設(shè)直線方程，才能使運(yùn)算簡(jiǎn)單，問(wèn)題得以解決?？朔季S定勢(shì)，提高解題能力。思維的定勢(shì)在運(yùn)算中有積極的一面，也有消極的影響，當(dāng)學(xué)生掌握了某一種知識(shí)(方法)往往習(xí)慣用這種知識(shí)(方法)去思考問(wèn)題，可以使思維容易集中，使思維很快進(jìn)入到問(wèn)題的關(guān)鍵，但是，思維的定勢(shì)也會(huì)出現(xiàn)思維的情性和失去靈活性，會(huì)影響運(yùn)算的速度，使運(yùn)算過(guò)程繁冗不堪，并且更容易進(jìn)入思維的死胡同。3.解除障礙，樹(shù)立信心為切實(shí)解除學(xué)習(xí)解析幾何的障礙。（1）狠抓審題能力的培養(yǎng)在遇到新穎的題型或條件時(shí)，學(xué)生往往被表象所迷惑，感到無(wú)從下手或不能找到恰當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)，導(dǎo)致思維短路、運(yùn)算錯(cuò)誤，而不能正確解答。在講解例題時(shí)教師不應(yīng)在例題出示以后急于給學(xué)生提示或點(diǎn)撥，應(yīng)給出充分的時(shí)間讓學(xué)生積極思考，讓學(xué)生在充分思考、互動(dòng)交流的基礎(chǔ)上自我發(fā)現(xiàn)恰當(dāng)?shù)慕忸}思路。（2）培養(yǎng)解析幾何運(yùn)算的信心，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣。解析幾何的運(yùn)算量大，有的學(xué)生對(duì)提高運(yùn)算能力缺乏足夠的重視，他們總是覺(jué)得懂就行，只要我考試時(shí)認(rèn)真算就行;也有老師只著重解題方法和思路的引導(dǎo)，而忽視對(duì)運(yùn)算過(guò)程的合理性、簡(jiǎn)捷性的必要指導(dǎo)。這樣不僅影響了學(xué)生思維能力的發(fā)展，也必然影響教學(xué)質(zhì)量的提高。所以教學(xué)時(shí)要狠抓運(yùn)算功，確立以解題訓(xùn)練為中心的課堂教學(xué)模式。引導(dǎo)學(xué)生在確立解題思路后踏踏實(shí)實(shí)地按步驟把題做出來(lái)。只有做出來(lái)才能發(fā)現(xiàn)自己的問(wèn)題，也只有做出來(lái)才能樹(shù)立解題信心。（3）理性認(rèn)識(shí)解題過(guò)程，讓教學(xué)賦有邏輯普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）第45頁(yè)指出：[學(xué)業(yè)要求]能夠掌握平面解析幾何解決問(wèn)題的基本過(guò)程:根據(jù)具體問(wèn)題情境的特點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系;根據(jù)幾何問(wèn)題和圖形的特點(diǎn)，用代數(shù)語(yǔ)言把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問(wèn)題;根據(jù)對(duì)幾何問(wèn)題(圖形)的分析，探索解決問(wèn)題的思路;運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論;給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋，解決幾何問(wèn)題。平面解析幾何研究的對(duì)象是幾何圖形，研究方法是在平面直角坐標(biāo)系的平臺(tái)上，用代數(shù)的知識(shí)和方法。例設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為（1）

求橢圓的方程；（2）設(shè)為直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明：點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。解：（1）依題意可得，且到

右焦點(diǎn)距離的最小值為可解得：橢圓方程為解：由（1）可得，設(shè)直線的斜率分別為，，則聯(lián)立與橢圓方程可得：

，消去可得：，即設(shè)，因?yàn)樵谥本€上，所以，即為銳角，

為鈍角

在以為直徑的圓內(nèi)對(duì)幾何對(duì)象的幾何特征的分析可以結(jié)合它們的圖形，對(duì)幾何圖形研究的深度決定了代數(shù)化過(guò)程中運(yùn)算量的大小。在圓錐曲線綜合性問(wèn)題的教學(xué)中，要突出解析幾何的研究問(wèn)題的一般方法，要能夠明確用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的幾個(gè)關(guān)鍵的步驟:要能夠根據(jù)問(wèn)題的條件，讀出幾何對(duì)象的幾何特征。從兩個(gè)方面去分析:對(duì)于單個(gè)的幾何對(duì)象，要研究它的幾何性質(zhì)，對(duì)于不同的幾何對(duì)象，要關(guān)注它們之間的位置關(guān)系。在此基礎(chǔ)上作出圖形，直觀地表達(dá)出所分析出來(lái)的幾何對(duì)象的幾何特征。在明確了幾何對(duì)象的幾何特征的基礎(chǔ)上，要進(jìn)行有效的、合理的代數(shù)化。包括幾何元素的代數(shù)化、位置關(guān)系的代數(shù)化、所要研究問(wèn)題的目標(biāo)的代數(shù)化等。進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。包括解所聯(lián)立的方程組、消去所引進(jìn)的參數(shù)、運(yùn)用函數(shù)的研究方法解決有關(guān)的最值問(wèn)題，等等。根據(jù)經(jīng)過(guò)代數(shù)運(yùn)算得到的代數(shù)結(jié)果，分析得出幾何的結(jié)論。例已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為。過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求的面積。當(dāng)面積取得最大值時(shí)，求直線的方程。解：第一步，作圖，根據(jù)條件，讀出幾何對(duì)象的幾何特征。本問(wèn)題中，由橢圓的幾何特征，先求出橢圓方程。直線與橢圓相交相交于。第二步，進(jìn)行代數(shù)化。元素代數(shù)化：由已知得解得所以橢圓的方程為由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為。位置關(guān)系代數(shù)化：由，消去得關(guān)于的方程：由直線與橢圓相交于兩點(diǎn)。問(wèn)題目標(biāo)代數(shù)化：第三步，代數(shù)運(yùn)算。由韋達(dá)定理得

原點(diǎn)到直線的距離解法一：第一步，作圖，根據(jù)條件，讀出幾何對(duì)象的幾何特征。本問(wèn)題中，由橢圓的幾何特征，先求出橢圓方程。直線與橢圓相交相交于。第二步，進(jìn)行代數(shù)化。元素代數(shù)化：由已知得解得所以橢圓的方程為由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.位置關(guān)系代數(shù)化：由，消去得關(guān)于的方程：。由直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，解得問(wèn)題目標(biāo)代數(shù)化：第三步，代數(shù)運(yùn)算。由韋達(dá)定理得

原點(diǎn)到直線的距離設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，此時(shí)所以，所求直線方程為解法二：第一步，作圖，根據(jù)條件，讀出幾何對(duì)象的幾何特征。本問(wèn)題中，直線與橢圓相交相交于。第二步，進(jìn)行代數(shù)化。元素代數(shù)化：由已知得解得所以橢圓的方程為由題意知直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的方程為，則直線與軸的交點(diǎn)位置關(guān)系代數(shù)化：由，消去得關(guān)于的方程：.由直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，解得問(wèn)題目標(biāo)代數(shù)化：方法方法第三步，代數(shù)運(yùn)算。設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，此時(shí)所以，所求直線方程為如圖，已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若拋物線上一動(dòng)點(diǎn)從到運(yùn)動(dòng)時(shí)，求面積的最大值．解：方法一第一步，作圖，根據(jù)條件，讀出幾何對(duì)象的幾何特征。直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，拋物線上動(dòng)點(diǎn)從到運(yùn)動(dòng)。第二步，進(jìn)行代數(shù)化。元素代數(shù)化：設(shè)位置關(guān)系代數(shù)化：由，得問(wèn)題目標(biāo)代數(shù)化：第三步，代數(shù)運(yùn)算。為定值。當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的面積最大．而又∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，面積的最大值為方法二第一步，作圖，根據(jù)條件，讀出幾何對(duì)象的幾何特征。

直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，拋物線上動(dòng)點(diǎn)從到運(yùn)動(dòng)。第二步，進(jìn)行代數(shù)化。元素代數(shù)化：設(shè)依題意，知當(dāng)拋物線在點(diǎn)處的切線與平行時(shí)，的面積最大。位置代數(shù)化：由，得問(wèn)題目標(biāo)代數(shù)化：第三步，代數(shù)運(yùn)算。此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為，故面積的最大值為小結(jié)：圓錐曲線中三角形面積表示的方法有（弦長(zhǎng)公式求，點(diǎn)到直線距離求）；利用共同的底邊，拆分三角形為面積和（或差），?；癁?，“聯(lián)立方程韋達(dá)定理”是前提，最值問(wèn)題?；癁楹瘮?shù)、不等式最值等。（4）通過(guò)變式教學(xué)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)例（2017年高考全國(guó)1卷理科20題）已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn).考生典型錯(cuò)誤有以下幾個(gè)方面：(1)粗心審題：在第(1)問(wèn)中，將四點(diǎn)都代入橢圓方程，并正確求出a,b,沒(méi)對(duì)P1的位置作出說(shuō)明；(2)運(yùn)算能力不過(guò)關(guān)：第(1)問(wèn)解方程出錯(cuò)；第(2)問(wèn)中，直線與橢圓聯(lián)立方程出錯(cuò)。(3)邏輯思維不嚴(yán)密：在第(2)問(wèn)中，未討論直線l與x軸垂直的情形缺少分類討論的思想，只考慮用韋達(dá)定理，沒(méi)有考慮到判別式是否大于0這個(gè)前提。探究是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線，定點(diǎn)定值問(wèn)題是揭示幾何運(yùn)動(dòng)變化中的不變量問(wèn)題，展示了數(shù)學(xué)的美。下面進(jìn)行變式探究。變式探究：已知圓,圓,動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）已知點(diǎn),若直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由。（1）（2）解法一:①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)：若直線在軸右側(cè)，，不滿足相乘為-1，不合題意；若直線在軸左側(cè)，，也不滿足相乘為-1，不合題意。

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)（）將代入得由題設(shè)可知，即設(shè)，，則,由于以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，,則，，即，將分別換成展開(kāi)化簡(jiǎn)得：.又將上面韋達(dá)定理所得的兩根和，積代入得：，，即將上式化簡(jiǎn)整理得，滿足，則直線，所以過(guò)定點(diǎn)（2）解法二:①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，不妨設(shè)，此時(shí),則，由于以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，,則，，，即...，又點(diǎn)在橢圓上，可得...，聯(lián)立可得,故.再結(jié)合對(duì)稱性可知，如果不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線有過(guò)定點(diǎn)，那么定點(diǎn)一定在軸上，即只能是.②當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，可設(shè)將代入得由題設(shè)可知，即,（*）設(shè)，，則,.由于以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，,則，，即，將分別換成展開(kāi)化簡(jiǎn)得：.又將上面韋達(dá)定理所得的兩根和，積代入得：，即將上式化簡(jiǎn)整理得，所以，代入（*）式檢驗(yàn)均滿足，其中(不合題意，舍去)，所以直線的方程為，則直線過(guò)定點(diǎn)（2）解法三:①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，可知直線關(guān)于軸對(duì)稱，有，又由于以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，于是可求出兩斜率為-1和1，不妨設(shè)，此時(shí),讓它和橢圓方程聯(lián)立，求出,故.再結(jié)合對(duì)稱性可知，如果不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線有過(guò)定點(diǎn)，那么定點(diǎn)一定在軸上，即只能是.②當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，可設(shè)下面同解法二。

例(2014年高考福建卷理19)已知雙曲線的兩條漸近線分別.（1）