均值、方差、正態(tài)分布-學(xué)生用

學(xué)習(xí)好幫手學(xué)習(xí)好幫手§12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布r知識(shí)回顧理清教材甘江山左n,n占十心二1知識(shí)回顧理清教材要點(diǎn)梳理.離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量的分布列為……12—……(1)均值稱()=一十22^—^^—^為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)方差稱()=Z(—())2為隨機(jī)變量的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量與其均值()的平均偏離程度，i=1其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差..均值與方差的性質(zhì)⑴(+b=()+.(+)=2().(a為常數(shù)).兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差⑴若服從兩點(diǎn)分布，則()=_,()=(1-).⑵若?(，)，則(X=_,(X=(1-)..正態(tài)分布-U2-U2202￡(—8,+8),其中U和o為參數(shù)(o⑴正態(tài)曲線：函數(shù)0口J)=2oU￡).我們稱函數(shù)Quo()的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.⑵正態(tài)曲線的性質(zhì)：①曲線位于軸上方，與軸不相交;②曲線是單峰的，它關(guān)于直線=U對(duì)稱:1③曲線在=U處達(dá)到峰值o2n④曲線與軸之間的面積為_(kāi)1；⑤當(dāng)o一定時(shí)，曲線的位置由u確定，曲線隨著_u的變化而沿軸平移，如圖甲所示；⑥當(dāng)U一定時(shí)，曲線的形狀由o確定，o越小,曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；o越大,曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示.

如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，⑶正態(tài)分布的定義及表示（），隨機(jī)變量滿足（態(tài)分布，記作?（U,02）.正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①(U—owu+o如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，⑶正態(tài)分布的定義及表示（），隨機(jī)變量滿足（態(tài)分布，記作?（U,02）.正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①(U—owu+o)=0②（口一2。Wu+2。）=0③(U—3oWu+3o)=01.判斷下面吉論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）⑴隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量，它不確定.⑵隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均變量平均程度越?。粚?shí)基礎(chǔ)突破疑難o是正態(tài)分布的標(biāo)W）=/0Uo（）x則稱隨機(jī)變量服從正差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離⑶正態(tài)分布中的參數(shù)U和o完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)U是正態(tài)分布的期望準(zhǔn)差．_2_3」2-1O準(zhǔn)差．（一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．.設(shè)隨機(jī)變量&的分布列為（&=）=-（=2.設(shè)隨機(jī)變量&的分布列為（&=）=-（=2，則10姆）等于.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布（2,）若（+1)=(一1）,則等于（.2.1.2.有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和件次品，有放回地任取3件，若表示取到次品的件數(shù)，則（X.在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.，7那么他罰球1次的得分的均值是題型醒緘均值、蠢度剖析個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出[例1]（2013-浙江）設(shè)袋子中裝有個(gè)紅球，個(gè)黃球,一■個(gè)黃球得2分，取出一?個(gè)藍(lán)球得個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出足艮蹤訓(xùn)I練中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上號(hào)的有個(gè)(=12?現(xiàn)從袋中任取一球，自表示所取球的標(biāo)號(hào).(1求自的分布列、期望和方差；(2若1=2&+,(n=i,(n=11,試求a,的值.題型二二項(xiàng)分布的均值、方差［例2］(2012?四川某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng)和b系統(tǒng)和系統(tǒng)在任1一意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為而和(1若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為一0求的值；(2設(shè)系統(tǒng)在次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量占,求自的分布列及數(shù)學(xué)期望(自)ERE宗訓(xùn)I練設(shè)某班級(jí)教室共有扇窗戶，在每天上午第三節(jié)課上課預(yù)備鈴聲響起時(shí)，每扇窗戶或被敞開(kāi)或被關(guān)閉，且概率均為0記此時(shí)教室里敞開(kāi)的窗戶個(gè)數(shù)為(1求的分布列；(2)若此時(shí)教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關(guān)閉,班長(zhǎng)就會(huì)將關(guān)閉的窗戶全部敞開(kāi),否則維持原狀不變.記每天上午第三節(jié)課上課時(shí)該教室里敞開(kāi)的窗戶個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.題型三正態(tài)分布的應(yīng)用［例3在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績(jī)服從正態(tài)分布(02,現(xiàn)已知該班同學(xué)中成績(jī)?cè)?分的有1人.試計(jì)算該班成績(jī)?cè)?分以上的同學(xué)有多少人.

是艮蹤訓(xùn)I練某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)自服從正態(tài)分布，即&?10010。已知滿分為1份.1試求考試成績(jī)占位于區(qū)間01內(nèi)的概率；（2若）這次考試共有200名0考生參加。試估計(jì)這次考試及格（不小于90分）的人數(shù)．離散型隨機(jī)變『離散型隨機(jī)變『的均值與方差問(wèn)題，系列7典例：1分甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有個(gè)球，乙袋中共有個(gè)球,從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為一，從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為1若=10,求甲袋中紅球的個(gè)數(shù);若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個(gè)紅球的概率是1，求的值;設(shè)=1,若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個(gè)球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸次.設(shè)&表示摸出紅球的總次數(shù)，求自的分布列和均值.思維啟迪（1概）率的應(yīng)用,知甲袋中總球數(shù)為10和摸1個(gè)為紅球的概率,求紅球．（2利）用方程的思想，列方程求解.求分布列和均值，關(guān)鍵是求&的所有可能值及每個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率.規(guī)范解答解1設(shè)甲袋中紅球的個(gè)數(shù)為，TOC\o"1-5"\h\z依題意得=10X-=分也一+「、由已知，得=3解得=而分自的所有可能值為014=0=-X-X-=7-，555125￡414=1=5X5X-+-XC1X5X-=1-5Fc14m1g==5XC1X5X5+5XI5-=1-，&==5X（5-=1-分所以自的分布列為&0123—12—12112212[10分]48561924所以&=0X125+1X125+2X^+3X12-=—12分答題模板求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問(wèn)題的一般步驟：第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值.第二步：求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率．第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列.第四步：求均值和方差.第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.溫馨提醒(1)本題重點(diǎn)考查了概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值.(2)本題解答中的典型錯(cuò)誤是計(jì)算不準(zhǔn)確以及解答不規(guī)范.如第3問(wèn)中，不明確寫(xiě)出自的所有可能值，不逐個(gè)求概率，這都屬于解答不規(guī)范.方法與技巧思想方法?感悟提高方法與技巧.均值與方差的常用性質(zhì).掌握下述有關(guān)性質(zhì)，會(huì)給解題帶來(lái)方便：a"=a&+;+n=&+n)D(a&+b)=a2D(&)；若&?n，則&=,&=卜).基本方法(1已，知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式，求解；2已知隨機(jī)變量&的均值、方差，求&的線性函數(shù)n=a&+的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用&的均值、方差的性質(zhì)求解；(3，如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如二項(xiàng)分布，，可直接利用它們的均值、方差公式求解..關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的概率求法1熟記11—0Wu+o,U—2oWu+2。，U—3oWu+3o的值.2充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與軸之間面積為1①正態(tài)曲線關(guān)于直線=1對(duì)稱，從而在關(guān)于=1對(duì)稱的區(qū)間上概率相等.

②(=1—(2,(u—=(2口+)(3⑥原則在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布(U,8的隨機(jī)變量只取(U—3o,u+3o之間的值，取該區(qū)間外的值的概率很小，通常認(rèn)為一次試驗(yàn)幾乎不可能發(fā)生．失誤與防范1．在沒(méi)有準(zhǔn)確判斷分布列模型之前不能亂套公式．2．對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題,必須對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行具體分析,一般要將問(wèn)題中的隨機(jī)變量設(shè)出來(lái),再進(jìn)行分析,求出隨機(jī)變量的分布列，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的均值、方差練出高分組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一■、選擇題12．對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題,必須對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行具體分析,一般要將問(wèn)題中的隨機(jī)變量設(shè)出來(lái),再進(jìn)行分析,求出隨機(jī)變量的分布列，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的均值、方差練出高分組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一■、選擇題1.正態(tài)總體(1在區(qū)間(23和(-10上取值的概率分別為，，則(C=D不確定2.已知某一隨機(jī)變量的分布列如下，且(=,3則的值為(3.(2013?湖北如圖將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體,切割為12個(gè)同樣大小的小正方體,經(jīng)過(guò)攪拌后,從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體,記它的油漆面數(shù)為，則的均值(12.T13.(2013?湖北如圖將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體,切割為12個(gè)同樣大小的小正方體,經(jīng)過(guò)攪拌后,從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體,記它的油漆面數(shù)為，則的均值(12.T1.等于某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0,現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每種的種子數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為(A.100B.200C.300D.400X/001．一射手對(duì)靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率都為0.,6現(xiàn)有4顆子彈,則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目的期望值為．2．2．2二、填空題.從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有個(gè)紅球，則隨機(jī)變量的分布列為012

，.已知隨機(jī)變量自的分布列為&=k，8已知某次英語(yǔ)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，則）名考生中成績(jī)?cè)诜忠陨系娜藬?shù)為三、解答題9.某超市為了響應(yīng)環(huán)保要求，鼓勵(lì)顧客自帶購(gòu)物袋到超市購(gòu)物，采取了如下措施：對(duì)不使用超市塑料購(gòu)物袋的顧客，超市給予9.折6優(yōu)惠；對(duì)需要超市塑料購(gòu)物袋的顧客，既要付購(gòu)買費(fèi)，也不享受折扣優(yōu)惠.假設(shè)該超市在某個(gè)時(shí)段內(nèi)購(gòu)物的人數(shù)為36人，其中有12位顧客自己帶了購(gòu)物袋，現(xiàn)從這36人中隨機(jī)抽取兩人.（1求）這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率；設(shè)這兩人中享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)為L(zhǎng)求自的分布列和數(shù)學(xué)期望..0為