《變化率與導(dǎo)數(shù)》沖刺3

《變化率與導(dǎo)數(shù)》試卷一、選擇題(每小題7分，共42分)1．(2010·佛山模擬)一質(zhì)點(diǎn)沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t秒后的位移為s＝eq\f(1,3)t3－eq\f(3,2)t2＋2t，那么速度為零的時(shí)刻是 ()A．0秒 B．1秒末C．2秒末 D．1秒末和2秒末解析∵s＝eq\f(1,3)t3－eq\f(3,2)t2＋2t，∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2，令v＝0，得t1＝1，t2＝2.答案D2．(2009·臨沂模擬)若點(diǎn)P是曲線(xiàn)y＝x2－lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)y＝x－2的最小距離為 ()A．1 \r(2) \f(\r(2),2) \r(3)解析過(guò)點(diǎn)P作y＝x－2的平行直線(xiàn)，且與曲線(xiàn)y＝x2－lnx相切，設(shè)P(x0，xeq\o\al(2,0)－lnx0)，則k＝y(tǒng)′|x＝x0＝2x0－eq\f(1,x0)，∴2x0－eq\f(1,x0)＝1，∴x0＝1或x0＝－eq\f(1,2)(舍去)．∴P(1,1)，∴d＝eq\f(|1－1－2|,\r(1＋1))＝eq\r(2).答案B3．(2009·潮州一模)若曲線(xiàn)y＝x4的一條切線(xiàn)l與直線(xiàn)x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為()A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0解析y′＝4x3＝4，得x＝1，即切點(diǎn)為(1,1)，所以過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y－1＝4(x－1)，整理得4x－y－3＝0.答案A4．(2010·聊城模擬)曲線(xiàn)y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為()\f(9,4)e2 B．2e2 C．e2 \f(e2,2)解析∵點(diǎn)(2，e2)在曲線(xiàn)上，∴切線(xiàn)的斜率k＝y(tǒng)′|x＝2＝ex|x＝2＝e2，∴切線(xiàn)的方程為y－e2＝e2(x－2)．即e2x－y－e2＝0.與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－e2)，(1,0)，∴S△＝eq\f(1,2)×1×e2＝eq\f(e2,2).答案D5．(2009·全國(guó)Ⅰ理，9)已知直線(xiàn)y＝x＋1與曲線(xiàn)y＝ln(x＋a)相切，則a的值為()A．1 B．2 C．－1 解析設(shè)直線(xiàn)y＝x＋1與曲線(xiàn)y＝ln(x＋a)的切點(diǎn)為(x0，y0)，則y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又y′＝eq\f(1,x＋a)，∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0))＝eq\f(1,x0＋a)＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.答案B6．(2009·安徽文，9)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(sinθ,3)x3＋eq\f(\r(3)cosθ,2)x2＋tanθ，其中θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))，則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍是 ()A．[－2,2] B．[eq\r(2)，eq\r(3)]C．[eq\r(3)，2] D．[eq\r(2)，2]解析由已知f′(x)＝sinθ·x2＋eq\r(3)cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋eq\r(3)cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，又θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12))).∴eq\f(π,3)≤θ＋eq\f(π,3)≤eq\f(3π,4)，∴eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))≤1，∴eq\r(2)≤f′(1)≤2.答案D二、填空題(每小題6分，共18分)7.（2010·廈門(mén)調(diào)研）如圖所示，函數(shù)f(x)的圖象是折線(xiàn)段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為（0，4），（2，0），（6，4），則f（f（0））=；0eq\f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝________.(用數(shù)字作答)解析由A(0,4)，B(2,0)可得線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的方程為f(x)＝－2x＋4(0≤x≤2)．同理BC所在直線(xiàn)的方程為f(x)＝x－2(2<x≤6)．所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋4(0≤x≤2)，,x－2(2<x≤6)，))所以f(0)＝4，f(4)＝2.答案2－28．(2009·福建理，14)若曲線(xiàn)f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y軸的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析∵f′(x)＝5ax4＋eq\f(1,x)，x∈(0，＋∞)，∴由題知5ax4＋eq\f(1,x)＝0在(0，＋∞)上有解．即a＝－eq\f(1,5x5)在(0，＋∞)上有解．∵x∈(0，＋∞)，∴－eq\f(1,5x5)∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．答案(－∞，0)9．(2009·江蘇，9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在曲線(xiàn)C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線(xiàn)C在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析設(shè)P(x0，y0)(x0<0)，由題意知：y′|x＝x0＝3xeq\o\al(2,0)－10＝2，∴xeq\o\al(2,0)＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15.∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2,15)．答案(－2,15)三、解答題(共40分)10．(13分)(2009·衡陽(yáng)模擬)求曲線(xiàn)f(x)＝x3－3x2＋2x過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程．解f′(x)＝3x2－6x＋2.設(shè)切線(xiàn)的斜率為k.(1)當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)k＝f′(0)＝2，所以所求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為y＝2x.(2)當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是(x0，y0)，則有y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0，k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2，①又k＝eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2，②由①②得x0＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(y0,x0)＝－eq\f(1,4).∴所求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為y＝－eq\f(1,4)x.11．(13分)(2010·紹興月考)設(shè)t≠0，點(diǎn)P(t,0)是函數(shù)f(x)＝x3＋ax與g(x)＝bx2＋c的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線(xiàn)．試用t表示a，b，c.解因?yàn)楹瘮?shù)f(x)，g(x)的圖象都過(guò)點(diǎn)(t,0)，所以f(t)＝0，即t3＋at＝0.因?yàn)閠≠0，所以a＝－t2.g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab.又因?yàn)閒(x)，g(x)在點(diǎn)(t,0)處有相同的切線(xiàn)，所以f′(t)＝g′(t)．而f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt.將a＝－t2代入上式得b＝t.因此c＝ab＝－t3.故a＝－t2，b＝t，c＝－t3.12．(14分)(2010·廈門(mén)模擬)設(shè)有拋物線(xiàn)C：y＝－x2＋eq\f(9,2)x－4，通過(guò)原點(diǎn)O作C的切線(xiàn)y＝kx，使切點(diǎn)P在第一象限．(1)求k的值；(2)過(guò)點(diǎn)P作切線(xiàn)的垂線(xiàn)，求它與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)Q的坐標(biāo)．解(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)，則y1＝kx1.①y1＝－xeq\o\al(2,1)＋eq\f(9,2)x1－4.②①代入②得xeq\o\al(2,1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(9,2)))x1＋4＝0.∵P為切點(diǎn)，∴Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(9,2)))2－16＝0，得k＝eq\f(17,2)或k＝eq\f(1,2).當(dāng)k＝eq\f(17,2)時(shí)，x1＝－2，y1＝－17.當(dāng)k＝eq\f(1,2)時(shí)，x1＝2，y1＝1