計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第七章

第七章圖形變換圖形變換一般是指將物體的幾何信息經(jīng)過放大、縮小、平移和旋轉(zhuǎn)等幾何變換后產(chǎn)生新的圖形。它總是與相關(guān)的坐標(biāo)系緊密相連的。從相對運(yùn)動的觀點(diǎn)來看，圖形變換既可以看作是圖形相對于坐標(biāo)系的變動，即：坐標(biāo)系固定不動，物體的圖形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值發(fā)生變化；也可以看作是圖形不動，但是坐標(biāo)系相對于圖形發(fā)生了變動，從而使得物體在新的坐標(biāo)系下具有新的坐標(biāo)值。通常圖形變換只改變物體的幾何形狀和大小，但是不改變其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。第七章圖形變換教學(xué)學(xué)時(shí)：4課時(shí)教學(xué)目的與要求：了解各種坐標(biāo)系的定義及其作用；熟悉二維觀察流程；掌握二維三維坐標(biāo)變換的基本方法教學(xué)重點(diǎn)：坐標(biāo)變換，平移變換，伸縮變換，旋轉(zhuǎn)變換，組合變換；第七章圖形變換主要研究內(nèi)容：1.圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.窗口視圖變換3.二維圖形幾何變換4.三維圖形幾何變換第七章圖形變換圖形變換是指對計(jì)算機(jī)生成的圖形進(jìn)行變換的技術(shù),它是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中較為基礎(chǔ)的內(nèi)容之一。通過圖形變換可以從簡單圖形生成復(fù)雜圖形;可以從某一個(gè)圖形得到多個(gè)其它圖形;可用二維圖形表示三維形體;可對靜態(tài)圖形經(jīng)過快速變換而獲得圖形的動態(tài)顯示效果;當(dāng)圖形具有一定的規(guī)律性時(shí),還可以使繪圖程序簡單化。第七章圖形變換所以,為了提高圖形程序的設(shè)計(jì)效率和質(zhì)量,開拓圖形程序應(yīng)用范圍的新領(lǐng)域,深入學(xué)習(xí)圖形變換是十分必要的。圖形變換應(yīng)用的例子如圖7.1所示。目前,較為完善的圖形軟件中,都包含有圖形幾何變換的一些功能。圖形變換的作用和意義：把用戶坐標(biāo)系與設(shè)備坐標(biāo)系聯(lián)系起來；可由簡單圖形生成復(fù)雜圖形；可用二維圖形表示三維形體；動態(tài)顯示。第七章圖形變換圖7.1圖形變換應(yīng)用示例7.1圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量矢量和7.1圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量的數(shù)乘矢量的點(diǎn)積性質(zhì)7.1圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量的長度單位矢量矢量的夾角矢量的叉積7.1圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矩陣m×n階矩陣n階方陣零矩陣行向量與列向量單位矩陣矩陣的加法矩陣的數(shù)乘矩陣的乘法矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的逆7.1圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矩陣的含義矩陣：由m×n個(gè)數(shù)按一定位置排列的一個(gè)整體，簡稱m×n矩陣。其中，aij稱為矩陣A的第i行第j列元素A＝7.1圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矩陣運(yùn)算加法設(shè)A，B為兩個(gè)具有相同行和列元素的矩陣A＋B＝kA=[k*aij]|i=1...m,j=1,..n數(shù)乘7.1圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)乘法設(shè)A為3×2矩陣，B為2×3矩陣

C=A·B=C=Cm×p=Am×n·Bn×pcij=∑aik*bkj單位矩陣在一矩陣中，其主對角線各元素aii=1,其余皆為0的矩陣稱為單位矩陣。n階單位矩陣通常記作In

。Am

×n=Am

×n·Ink=1,n7.1圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)逆矩陣若矩陣A存在A·A-1=A-1·A=I，則稱A-1為A的逆矩陣矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A=(aij)m×n的行和列互換而得到的n×m矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT

。

(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT

當(dāng)A為n階矩陣，且A=AT，則

A是對稱矩陣。7.1圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矩陣運(yùn)算的基本性質(zhì)交換律與結(jié)合律師

A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C數(shù)乘的分配律及結(jié)合律

a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A7.1圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矩陣乘法的結(jié)合律及分配律

A(B·C)=(A·B)C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩陣的乘法不適合交換律7.2窗口視圖變換圖形變換一般是指將物體的幾何信息經(jīng)過放大、縮小、平移和旋轉(zhuǎn)等幾何變換后產(chǎn)生新的圖形。它總是與相關(guān)的坐標(biāo)系緊密相連的。從相對運(yùn)動的觀點(diǎn)來看，圖形變換既可以看作是圖形相對于坐標(biāo)系的變動，即：坐標(biāo)系固定不動，物體的圖形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值發(fā)生變化；也可以看作是圖形不動，但是坐標(biāo)系相對于圖形發(fā)生了變動，從而使得物體在新的坐標(biāo)系下具有新的坐標(biāo)值。通常圖形變換只改變物體的幾何形狀和大小，但是不改變其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。7.2窗口視圖變換

窗口和視圖區(qū)用戶坐標(biāo)系（worldcoordinatesystem，簡稱WC）設(shè)備坐標(biāo)系（devicecoordinatesystem，簡稱DC）窗口區(qū)（window）視圖區(qū)（viewport）7.2窗口視圖變換a世界坐標(biāo)系：

通常世界坐標(biāo)系是一個(gè)三維笛卡兒坐標(biāo)系。它是一個(gè)全局坐標(biāo)系統(tǒng)，一般為右手坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系主要用于圖形場景中的所有圖形對象的空間定位、觀察者（視點(diǎn)）的位置和視線的定義等等。計(jì)算機(jī)圖形系統(tǒng)中所涉及的其它坐標(biāo)系基本上都是參照它進(jìn)行定義的。

b局部坐標(biāo)系：

為了幾何造型和觀察物體方便起見，獨(dú)立于世界坐標(biāo)系定義的二維或三維笛卡兒坐標(biāo)系稱為局部坐標(biāo)系。在局部坐標(biāo)系中定義的"局部"物體，通過指定局部坐標(biāo)系在世界坐標(biāo)系中的方位，利用幾何變換，就可以將"局部"定義的物體變換到世界坐標(biāo)系內(nèi)，使之升級成為世界坐標(biāo)系中的物體。7.2窗口視圖變換c觀察坐標(biāo)系：

觀察坐標(biāo)系通常是以視點(diǎn)的位置為原點(diǎn)，通過用戶指定的一個(gè)向上的觀察向量來定義的一個(gè)坐標(biāo)系，缺省為左手坐標(biāo)系。觀察坐標(biāo)系主要用于從觀察者的角度對整個(gè)世界坐標(biāo)系內(nèi)的圖形對象進(jìn)行觀察，以便簡化幾何物體在視平面（又成為成像面或投影面）的成像的數(shù)學(xué)演算。d視平面（成像面）坐標(biāo)系：

它是一個(gè)二維直角坐標(biāo)系統(tǒng)，主要用于計(jì)算物體在成像面上的投影。一般是通過指定視方向和視點(diǎn)到成像面之間的距離來定義成像面（投影面）?？蛇M(jìn)一步在投影面上定義一個(gè)稱之為窗口的矩形區(qū)域來實(shí)現(xiàn)部分成像。7.2窗口視圖變換e屏幕坐標(biāo)系：

屏幕坐標(biāo)系也稱為設(shè)備坐標(biāo)系，它主要用于某一特定的計(jì)算機(jī)圖形顯示設(shè)備(如光柵顯示器)的表面的點(diǎn)的定義。在多數(shù)情況下，對于每一個(gè)具體的顯示設(shè)備，都有一個(gè)單獨(dú)的設(shè)備坐標(biāo)系。

在定義了成像窗口的情況下，可進(jìn)一步在屏幕坐標(biāo)系統(tǒng)中定義稱為視區(qū)的有界區(qū)域，視區(qū)中的成像即為實(shí)際所觀察到的圖形對象。換句話說，在世界坐標(biāo)系中要顯示的區(qū)域稱為窗口，而顯示器上相應(yīng)的圖形輸出區(qū)域稱為視區(qū)（或視口）。將世界坐標(biāo)系中的一部分區(qū)域中的場景映射到設(shè)備坐標(biāo)系的過程稱為觀察變換；將二維觀察變換簡單地稱為窗口到視區(qū)的變換，簡稱為窗視變換。7.2窗口視圖變換1.世界坐標(biāo)系(WCS-WorldCoordinateSystem)

世界坐標(biāo)系一般是三維右手直角坐標(biāo)系,它的單位根據(jù)所描述的實(shí)際對象的大小來確定,通常使用實(shí)數(shù),取值范圍并無限制。它是一般用戶繪圖時(shí)所取的坐標(biāo)系,有時(shí)也稱為用戶坐標(biāo)系或物體坐標(biāo)系。通常表示為圖7.2(a),它也可以是二維的,表示為圖7.2(b)。7.2窗口視圖變換

圖7.2世界坐標(biāo)系(WCS)(a)3D右手直角坐標(biāo)系；(b)2D右手直角坐標(biāo)系7.2窗口視圖變換2.目坐標(biāo)系(ECS/VCS-EyeCoordinateSystem)

目坐標(biāo)系一般是三維左手直角坐標(biāo)系,通過變換可在用戶坐標(biāo)系的任何位置,任何方向定義。它的單位根據(jù)所描述的實(shí)際對象的大小來確定,一般使用實(shí)數(shù)。它是一般用戶觀察圖形對象時(shí)所取的坐標(biāo)系,有時(shí)也稱為觀察坐標(biāo)系(VCS-ViewCoordinateSystem)。7.2窗口視圖變換建立目坐標(biāo)系的主要作用有兩個(gè),第一個(gè)是用于指定裁剪空間,確定三維立體的哪部分要顯示輸出;第二個(gè)是通過定義觀察(投影)平面,把可顯示部分的用戶坐標(biāo)變換成規(guī)格化的設(shè)備坐標(biāo)。用戶坐標(biāo)與目坐標(biāo)之間的關(guān)系,如圖7.3所示。7.2窗口視圖變換

圖7.3目坐標(biāo)系(ECS)7.2窗口視圖變換3.設(shè)備坐標(biāo)系(DCS-DeviceCoordinateSystem)

為了便于輸出真實(shí)圖形,設(shè)備坐標(biāo)系(DCS)有時(shí)也采用左手三維直角坐標(biāo)系，但它不全都是左手的、三維的。它的單位根據(jù)輸出設(shè)備的實(shí)際大小來確定,一般使用整數(shù),如圖7.4所示。7.2窗口視圖變換圖7.4設(shè)備坐標(biāo)系(DCS)7.2窗口視圖變換4.規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系(NDCS-NormalizedDeviceCoordinateSystem)

在早期的圖形系統(tǒng)中,圖形程序(或軟件包)大多是在用戶坐標(biāo)系(WCS)中畫圖,然后直接映射到設(shè)備坐標(biāo)空間(DCS)顯示輸出。7.2窗口視圖變換這就給設(shè)備的更換和軟件的移植帶來不方便。為此,在WCS和DCS之間定義了一個(gè)與設(shè)備無關(guān)的規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系,考慮到且坐標(biāo)系與設(shè)備坐標(biāo)系，它常被取為三維或二維左手直角坐標(biāo)系,取值范圍約定為(0.0,0.0,0.0)到(1.0,1.0,1.0)或者(0.0,0.0)到(1.0,1.0),如圖5.7所示。用戶的繪圖數(shù)據(jù)經(jīng)過轉(zhuǎn)換成NDCS中的值,使得圖形有了統(tǒng)一的設(shè)備空間。這對圖形的統(tǒng)一處理,帶來很大的方便,從而提高圖形程序的可移植性。7.2窗口視圖變換圖7.5規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系(NDCS)7.2窗口視圖變換以上介紹的坐標(biāo)系均為三維坐標(biāo)系,但在顯示器屏幕上或繪圖機(jī)上,則要求用戶定義一個(gè)平面。較為簡單方便的辦法是使z坐標(biāo)值取零。因此在三維直角坐標(biāo)系中,xOy平面也可以看作是基本工作平面。任何不在xOy平面內(nèi)的圖形可以通過本章介紹的圖形變換來處理。國際圖形標(biāo)準(zhǔn)GKS(GraphicsKernelSystem)是圖形程序和各種圖形輸入/輸出設(shè)備之間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)軟件接口。為便于圖形程序的使用和對設(shè)備的處理,GKS設(shè)置了三種坐標(biāo)系,即世界坐標(biāo)系(WCS)、規(guī)范化設(shè)備坐標(biāo)系(NDCS)和設(shè)備坐標(biāo)系(DCS)。它們之間的轉(zhuǎn)換如圖7.6所示。7.2窗口視圖變換圖7.6WCS、ECS、NDCS和DCS間的轉(zhuǎn)換7.2窗口視圖變換窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標(biāo)變換設(shè)窗口的四條邊界WXL,WXR,WYB,WYT視圖的四條邊界VXL,VXR,VYB,VYT則用戶坐標(biāo)系下的點(diǎn)（即窗口內(nèi)的一點(diǎn)）(Xw,Yw)對應(yīng)屏幕視圖區(qū)中的點(diǎn)（Xs,Ys），其變換公式為7.2窗口視圖變換簡化為：1)當(dāng)ac時(shí)，即x

方向的變化與y方向的變化不同時(shí)，視圖中的圖形會有伸縮變化，圖形變形。2)

當(dāng)a=c=1，b=d=0則Xs=Xw,Ys=Yw,圖形完全相同。思考：前面講的窗口→視圖變換時(shí)，假設(shè)窗口的邊和坐標(biāo)軸平行，如果窗口的邊不和坐標(biāo)軸平行呢？7.2窗口視圖變換A.先讓窗口FGHI轉(zhuǎn)-α角，使它和FG'H'I'重合。B.用(1)式進(jìn)行計(jì)算。7.2窗口視圖變換二維圖形的顯示流程圖7.3二維圖形幾何變換圖形變換：對圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形。圖形變換的兩種形式：1.圖形不變，坐標(biāo)系改變；2.圖形改變，坐標(biāo)系不變。我們所討論的是針對坐標(biāo)系的改變而講的。7.3二維圖形幾何變換7.3.1二維圖形幾何變換的原理二維圖形由點(diǎn)或直線段組成直線段可由其端點(diǎn)坐標(biāo)定義二維圖形的幾何變換：對點(diǎn)或?qū)χ本€段端點(diǎn)的變換7.3二維圖形幾何變換二維變換矩陣二維圖形變換矩陣可以用下式表示：7.3二維圖形幾何變換從變換功能上可把T2D分為四個(gè)子矩陣，其中的作用是對圖形幾何信息進(jìn)行伸縮、對稱、旋轉(zhuǎn)和錯(cuò)切等變換；[gh]的作用對圖形進(jìn)行平移變換；是對圖形進(jìn)行投影；g的作用是在x軸的1/g處產(chǎn)生滅點(diǎn)，h的作用是在軸的1/h處產(chǎn)生滅點(diǎn)。[i]是對整個(gè)圖形進(jìn)行伸縮變換。1.平移變換（translation）平行于x軸的方向上的移動量平行于y軸的方向上的移動量

7.3.2幾種典型的二維圖形幾何變換xy平移變換平行于x軸的方向上的縮放量平行于y軸的方向上的縮放量2.比例變換（scale）指相對于原點(diǎn)的比例變換

yx相對于原點(diǎn)的比例變換相對于重心的比例變換yx重心比例變換的性質(zhì)當(dāng)時(shí)，變換前的圖形與變換后的圖形相似當(dāng)時(shí)，圖形將放大，并遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)當(dāng)時(shí)，圖形將縮小，并靠近坐標(biāo)原點(diǎn)當(dāng)時(shí)，圖形將發(fā)生畸變3.旋轉(zhuǎn)變換（rotation）

點(diǎn)P繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)θ度角（設(shè)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎较颍?-11）（5-12）將式（5-11）代入式（5-12）得：（5-13）（5-14）yx旋轉(zhuǎn)變換7.3.3齊次坐標(biāo)（homogeneouscoordinates）技術(shù)

1.齊次坐標(biāo)技術(shù)的引入平移、比例和旋轉(zhuǎn)等變換的組合變換處理形式不統(tǒng)一，將很難把它們級聯(lián)在一起。

2.變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點(diǎn)便于變換合成便于硬件實(shí)現(xiàn)3.齊次坐標(biāo)技術(shù)的基本思想

把一個(gè)n維空間中的幾何問題轉(zhuǎn)換到n+1維空間中解決。

4.齊次坐標(biāo)表示齊次坐標(biāo)表示不是唯一的

有n個(gè)分量的向量有n+1個(gè)分量的向量啞元或標(biāo)量因子規(guī)格化的齊次坐標(biāo)5.基本幾何變換的齊次坐標(biāo)表示

平移變換比例變換旋轉(zhuǎn)變換：6.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)區(qū)域的齊次坐標(biāo)表示

時(shí)，齊次坐標(biāo)表示一個(gè)n維的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)逆時(shí)針為正

7.3.3常用的二維幾何變換

1.對稱變換（symmetry）（反射變換或鏡像變換）（1）相對于y軸對稱（2）相對于x軸對稱oyx對稱變換（1）yxo對稱變換（2）（3）相對于原點(diǎn)對稱（即中心對稱）（4）相對于直線y=x對稱oxy對稱變換（3）xyoy=x對稱變換（4）（5）相對于直線y=-x對稱xyoy=-x對稱變換（5）2.錯(cuò)切變換（shear）（1）沿x軸方向關(guān)于y軸錯(cuò)切將圖形上關(guān)于y軸的平行線沿x方向推成θ角的傾斜線，而保持y坐標(biāo)不變?！鱴

錯(cuò)切變換（1）yx（2）沿y軸方向關(guān)于x軸錯(cuò)切將圖形上關(guān)于x軸的平行線沿y方向推成Ψ角的傾斜線，而保持x坐標(biāo)不變。

錯(cuò)切變換（2）yx△y二維基本變換-錯(cuò)切變換1)當(dāng)d=0時(shí)，(x*y*1)=(x+by

y1)：圖形的y坐標(biāo)不變；當(dāng)b>0：圖形沿+x方向作錯(cuò)切位移。ABCD→A1B1C1D1當(dāng)b<0：圖形沿-x方向作錯(cuò)切位移。ABCD→A2B2C2D22)當(dāng)b=0時(shí)，(x*y*1)=(xdx+y1)圖形的x坐標(biāo)不變；當(dāng)d>0：圖形沿+y方向作錯(cuò)切位移。ABCD→A1B1C1D1當(dāng)d<0：圖形沿-y方向作錯(cuò)切位移。ABCD→A2B2C2D2組合變換又稱級聯(lián)變換，指對圖形做一次以上的幾何變換。注意：任何一個(gè)線性變換都可以分解為上述幾類變換。7.3.4二維組合變換1.相對于任意點(diǎn)（x0,y0）的比例變換對任意點(diǎn)比例變換的步驟：（1）平移變換（2）相對于原點(diǎn)的比例變換（3）平移變換當(dāng)（x0,y0）為圖形重心的坐標(biāo)時(shí)，這種變換實(shí)現(xiàn)的是相對于重心的比例變換。7.3.4二維組合變換令任意點(diǎn)比例變換示意圖平移平移比例則有2.繞任意點(diǎn)（x0,y0）的旋轉(zhuǎn)變換繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換的步驟：（1）平移變換（2）對圖形繞原點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換（3）平移變換θ(x2,y2)(x3,y3)(x0,y0)θOxy(x1,y1)(x4,y4)相對于任意點(diǎn)(x0,y0)的旋轉(zhuǎn)變換任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換示意圖平移平移旋轉(zhuǎn)令則有例1：復(fù)合平移求點(diǎn)P(x,y)經(jīng)第一次平移變換（Tx1,Ty1），第二次平移變換（Tx2,Ty2）后的坐標(biāo)P*（x*,y*）解：設(shè)點(diǎn)P(x,y,1)經(jīng)第一次平移變換后的坐標(biāo)為P(x

y1)，則經(jīng)第二次平移變換后的坐標(biāo)為P*(x*y*1)∴變換矩陣為Tt=Tt1?Tt2例2：多種復(fù)合組合例:對一線段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。

解:設(shè)點(diǎn)(x,y)為線段上的任意一點(diǎn),

點(diǎn)(x′,y′)為點(diǎn)(x,y)放大后的坐標(biāo)則:

設(shè)點(diǎn)(x′′,y′′)為點(diǎn)(x′,y′)經(jīng)平移后的坐標(biāo)為：

[x′′,y′′,1]=[x′,y′,1]T2(10,0) 則： [x′′,y′′,1]=[x′,y′,1]T2(10,0)=[x,y,1]S2(2,2)T2(10,0)

令：M=S2(2,2)T2(10,0)，則M即為組合變換 yx(x,y)yx(x′,y′)yx(x′′,y′′)Tx例3：旋轉(zhuǎn)變換對參考點(diǎn)F(xf,yf)做旋轉(zhuǎn)變換。解：1、把旋轉(zhuǎn)中心F(xf,yf)平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，即坐標(biāo)系平移（-xf,-yf），則

2、進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換例3：旋轉(zhuǎn)變換

將坐標(biāo)系平移回原來的原點(diǎn)因此例4：任意的反射軸的反射變換任一圖形關(guān)于任意的反射軸y=a+bx的反射變換解：1.將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到(0,a)處例4：任意的反射軸的反射變換2.將反射軸（已平移后的直線）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角，使之與x軸重合4.將反射軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角3.圖形關(guān)于x軸的反射變換

例4：任意的反射軸的反射變換5.恢復(fù)反射軸的原始位置因此平移物體使固定點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合對于坐標(biāo)原點(diǎn)縮放用步驟1的反向平移將物體移回原始位置例5：通用固定點(diǎn)縮放例6:通用定向縮放比例變換中的比例因子Sx,Sy只能在x軸方向或y軸方向起作用。實(shí)際圖形變換中，不僅是在x,y方向變換，往往要求在任意方向進(jìn)行比例變換。通過旋轉(zhuǎn)變換和比例變換的組合，可以實(shí)現(xiàn)任意方向的比例變換。解：定義比例因子S1和S2。1.使S1和S2旋轉(zhuǎn)θ角后分別與x軸和y軸重合。2.進(jìn)行比例變換。3.使S