數(shù)值計(jì)算課件-第四章插值與擬合

第四章插值與曲線擬合一．插值與曲線擬合問題二．拉格朗日插值三．牛頓插值四．曲線擬合的最小二乘法

小結(jié)插值問題的提出在許多工程實(shí)際問題中，常有如下情況：函數(shù)關(guān)系沒有明顯的解析表達(dá)式，只有實(shí)驗(yàn)觀測來確定與自變量的某些相對應(yīng)的函數(shù)值；函數(shù)雖然有解析表達(dá)式，但是使用很不方便。對上述問題中的函數(shù)建立一個(gè)簡單的便于計(jì)算和處理的近似表達(dá)式，即用一個(gè)簡單的函數(shù)來近似代替這些不便處理的函數(shù)——插值函數(shù)?！?插值與曲線擬合擬合問題的提出

實(shí)際問題中通過測量得到的數(shù)據(jù)比較多，而且這些數(shù)據(jù)本身含有一定誤差，根據(jù)這些數(shù)據(jù)求取近似函數(shù)的方法是曲線擬合。插值要求找到的近似函數(shù)的曲線通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)。曲線擬合不要求近似函數(shù)的曲線通過所有數(shù)據(jù)，只要求該曲線能反映數(shù)據(jù)變化的基本趨勢。擬合的主要目的是：去掉測量數(shù)據(jù)所含的測量誤差。插值與擬合的區(qū)別§

4.1插值問題的數(shù)學(xué)提法當(dāng)精確函數(shù)y=f(x)非常復(fù)雜或未知時(shí)，在一系列節(jié)點(diǎn)x0…xn

處測得函數(shù)值y0

=f(x0),…yn

=f(xn)，由此構(gòu)造一個(gè)簡單易算的近似函數(shù)P(x)

f(x)，滿足條件：

P(xi)=f(xi)(i=0,…n)。這里的P(x)

稱為f(x)的插值函數(shù)，稱為插值節(jié)點(diǎn)。所以所謂插值就是根據(jù)已知點(diǎn)的函數(shù)值求其余點(diǎn)的函數(shù)值。§

4.1插值問題的數(shù)學(xué)提法已知[a,b]上的函數(shù)y=f(x)在n+1個(gè)互異點(diǎn)處的函數(shù)值:fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0x求簡單函數(shù)Pn(x)，使得計(jì)算f(x)可通過計(jì)算P(x)來近似代替。如下圖所示。x0x1x2x3x4xP(x)

f(x)這就是插值問題,(*)式為插值條件,,稱為插值節(jié)點(diǎn)由于插值函數(shù)的選擇不同，就產(chǎn)生不同類型的插值。若為代數(shù)多項(xiàng)式，就是代數(shù)插值，若為三角多項(xiàng)式就稱為三角多項(xiàng)式插值，若為有理函數(shù)就稱為有理函數(shù)插值。由于代數(shù)多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)簡單，本章主要介紹代數(shù)多項(xiàng)式插值問題。2.滿足插值條件的多項(xiàng)式P(x)是否存在且唯一？3.用P(x)代替f(x)的誤差估計(jì)，即截?cái)嗾`差的估計(jì)；對于多項(xiàng)式插值，我們主要討論以下幾個(gè)問題：4.當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)無限加密時(shí)，插值函數(shù)是否收斂于f(x)。1.如何構(gòu)造出插值多項(xiàng)式P(x);即插值多項(xiàng)式的常用構(gòu)造方法有哪些？§

4.2拉格朗日插值可見P(x)是過(x0,y0

)和(x1,y1

)兩點(diǎn)的直線。這種插值稱為線性插值，顯然在節(jié)點(diǎn)上插值誤差為0。)()(001010xxxxyyyxP--+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)拉格朗日線性插值（兩點(diǎn)插值）已知函數(shù)在節(jié)點(diǎn)有函值，求作一次多項(xiàng)式使得1100)(,)(yxPyxP==于是線性插值函可以表示為函數(shù)值與基函數(shù)的線性組合

與稱為線性插值基函數(shù)。它有如下性質(zhì)：即：所以例1

已知用線性插值求近似值?；瘮?shù)分別為:解插值多項(xiàng)式為拋物線插值（三點(diǎn)二次插值）已知在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，求二次多項(xiàng)式，使之滿足

根據(jù)要滿足的三個(gè)條件，確定三個(gè)未知數(shù)，因此可采用待定系數(shù)法。即

為避免解線性方程組，下面仿線性插值，用基函數(shù)的方法求解方程組。設(shè)方程組滿足條件的方程為

其中基函數(shù)應(yīng)滿足:xx0x1x2l0(x)100l1(x)010l2(x)001

以為例說明基函數(shù)的求取方法，當(dāng)取，時(shí)，為0，取時(shí)，，因此其中可用求出，同理所以拋物線插值是三個(gè)二次式的線性組合，是x的（不高于）二次式，在節(jié)點(diǎn)上插值多項(xiàng)式的值和已知函數(shù)值相等。

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過次的代數(shù)多項(xiàng)式，使。即次代數(shù)插值滿足在個(gè)節(jié)點(diǎn)上插值多項(xiàng)式和被插值函數(shù)相等，而且插值多項(xiàng)式的次數(shù)不超過次。

n次代數(shù)插值這樣的插值多項(xiàng)式能構(gòu)造出來嗎？唯一嗎？插值多項(xiàng)式的存在性和唯一性定理

證：設(shè)所求的插值多項(xiàng)式為

P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn則由插值條件式Pn(xi)=yi

(i=0,1,...,n)

可得關(guān)于系數(shù)a0,a1,…,an的線性代數(shù)方程組設(shè)節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,…,n)互異,

則滿足插值條件P(xi)=yi

的n次多項(xiàng)式P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn

存在且唯一.定理此方程組有n+1個(gè)方程,n+1個(gè)未知數(shù),其系數(shù)行列式是范德蒙行列式，即：由于插值節(jié)點(diǎn)

xi互不相同,所有因子

xj-xi0,所以上述行列式不等于零,故由克萊姆法則知方程組的解存在且唯一.即滿足條件式

的n次多項(xiàng)式存在且唯一。證畢。反證：若不唯一，則除了P(x)外還有另一n

階多項(xiàng)式Q(x)滿足Q(xi)=yi

?？疾靹tS的階數(shù)n而S(x)有

個(gè)不同的根n+1x0…xn唯一性定理矛盾只有S(x)≡0,所以P(x)

＝Q(x)

唯一性說明不論用哪種方法構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，只要滿足同樣的插值條件，其結(jié)果都是互相恒等的。

拉格朗日插值多項(xiàng)式

要求n階插值多項(xiàng)式，可以通過求方程組的解得到。但由于解線性代數(shù)方程組的計(jì)算量比較大，構(gòu)造插值多項(xiàng)式時(shí)，仍用基函數(shù)構(gòu)造。希望能找到滿足以下條件的n次多項(xiàng)式li(x)然后令，則顯然有P

(xi)=

yi

?；瘮?shù)的構(gòu)造其中A為常數(shù),由li

(xi)=1可得稱之為拉格朗日基函數(shù)。li(x)除xi點(diǎn)外,其余xj

都是li(x)的根，可設(shè)與有關(guān)，而與無關(guān)節(jié)點(diǎn)f拉格朗日插值多項(xiàng)式

特別地,當(dāng)n=1時(shí)又叫線性插值,其幾何意義為過兩點(diǎn)的直線.當(dāng)n=2時(shí)又叫拋物插值,其幾何意義為過三點(diǎn)的拋物線.利用拉格朗日基函數(shù)式li(x),構(gòu)造多項(xiàng)式可知其滿足,稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式。Pn(xi)=yi

(i=0,1,...,n)應(yīng)注意,對于插值節(jié)點(diǎn),只要求它們互異,與大小次序無關(guān)。5

插值余項(xiàng)

截?cái)嗾`差R

(x)=f(x)-P(x)也稱為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。以下為拉格朗日余項(xiàng)定理。定理

設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上存在n+1

階導(dǎo)數(shù),

xi[a,b](i=0,1,…,n)

為n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn),則對任何x

[a,b],有且與x有關(guān))其中注意這里是對t求導(dǎo)證明：考察截?cái)嗾`差Rolle’sTheorem:若充分光滑，，則存在使得。推廣：若使得使得存在使得R(x)至少有個(gè)根n+1=-=niixxxKxR0)()()(任意固定x

xi(i=0,…,n),構(gòu)造=-=niixtxKtRt0)()()()(j(t)有n+2

個(gè)不同的根x0…

xn

x!)1()()()1(+-+nxKRxnx=+--++!)1)(()()()1()1(nxKPfxnxnxx!)1()()()1(+=+nfxKxnx0=證畢常用余項(xiàng)定理研究插值的誤差估計(jì)。其中Lagrange插值公式的標(biāo)準(zhǔn)型公式:插值余項(xiàng)：

線性插值，余項(xiàng)，其中：對求極值：得為極小值。即取，則。取絕對值：，則：所以其中：用余項(xiàng)定理求線性插值余項(xiàng)及其估計(jì)式。n次插值余項(xiàng)及其估計(jì)式。

其中的拋物插值多項(xiàng)式,且計(jì)算f(3)的近似值并估計(jì)誤差。

例

設(shè)解

插值為多項(xiàng)式于是因?yàn)榭傻谜`差估計(jì)例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計(jì)算sin50

并估計(jì)誤差。解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計(jì)算利用這里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推的實(shí)際誤差0.01001利用sin500.76008,內(nèi)插的實(shí)際誤差0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的x

所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好?！?LagrangePolynomialn=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的實(shí)際誤差0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值如果是次數(shù)不超過次的多項(xiàng)式，取個(gè)節(jié)點(diǎn)插值時(shí)，插值多項(xiàng)式就是其自身。插值多項(xiàng)式只與數(shù)據(jù)，有關(guān)，與節(jié)點(diǎn)排列順序無關(guān)。

個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式不超過次

。拉格朗日插值小結(jié)：內(nèi)插比外插精度高。當(dāng)求某點(diǎn)的函數(shù)值時(shí)，插值節(jié)點(diǎn)應(yīng)盡可能靠近該點(diǎn)，此時(shí)余項(xiàng)小。當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)變化時(shí)，需重新計(jì)算全部基函數(shù)

。Lagrange插值算法特點(diǎn)&局限性

優(yōu)點(diǎn)：公式簡潔,理論分析方便直觀；對稱；容易編程上機(jī)等。

缺點(diǎn)：基函數(shù)計(jì)算復(fù)雜，計(jì)算量大

每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式的所有系數(shù)都得重算；計(jì)算量為。下一節(jié)提出的Newton插值法就是克服了上缺點(diǎn)?！?.4牛頓插值拉格朗日插值的優(yōu)點(diǎn)是插值多項(xiàng)式特別容易建立，缺點(diǎn)是增加節(jié)點(diǎn)時(shí)原有多項(xiàng)式不能利用，必須重新建立，即所有基函數(shù)都要重新計(jì)算，這就造成計(jì)算量的浪費(fèi)；

能否將P(x)改寫成的形式，希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只附加一項(xiàng)上去即可。????牛頓插值本節(jié)介紹這種插值公式的建立、特點(diǎn)和應(yīng)用。這要用到差商的概念。

一、差商及其基本性質(zhì)定義1稱為

f(x)在xi、xj點(diǎn)的一階差商.記為函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為函數(shù)f(x)在點(diǎn)xi、xj

、xk的二階差商.記為同樣地，稱一階差商的平均變化率差商的計(jì)算步驟與結(jié)果可列成差商表，如下一般地，n-1階差商的差商

稱為f(x)在x0,x1,…,xn點(diǎn)的

n階差商。

由此可知高階差商是由比它低一階的兩個(gè)差商組成。xk函數(shù)值一階差商二階差商三階差商...x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2

f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]...............利用差商的遞推定義，可以用遞推來計(jì)算差商

121520f(x)7431x例1:已知：計(jì)算三階差商f［1,3,4,7］

-1.25-3.5-1127

413154

123

0

1三階差商二階差商一階差商f(x)

x解：作差商表

所以

f［1,3,4,7］=-1.25

f[x0,x1,x2,...,xn]

=f[x1,x2,...,xn

,

x0

]性質(zhì)1

差商可以表示為函數(shù)值的線性組合，即=f[x1,x0,x2

,...,xn]=…這一性質(zhì)稱之為差商的對稱性。性質(zhì)2(對稱性)差商與節(jié)點(diǎn)的順序無關(guān)，如

這一性質(zhì)可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。（P124）性質(zhì)3

若是x的n次多項(xiàng)式，則：一階差商是x的n-1次多項(xiàng)式，二階差商是x的n-2次多項(xiàng)式；一般地，函數(shù)f(x)的k階差商是x的n-k次多項(xiàng)式(k≤n)。而k＞n時(shí)，k階差商為零。二、牛頓插值多項(xiàng)式如此繼續(xù)下去，可得一系列等式設(shè)x是[a，b]上一點(diǎn)，由一階差商定義同理，由二階差商定義得得依次把后式代入前式，P(x)R

(x)令：最后得牛頓插值公式特點(diǎn)則：：是x的n次多項(xiàng)式，稱為牛頓插值多項(xiàng)式：是最后一項(xiàng)，稱為牛頓插值余項(xiàng)。增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只需再增加一項(xiàng)，其余各項(xiàng)都不變。在節(jié)點(diǎn)上，多項(xiàng)式等于被插函數(shù)的值，即所以此時(shí)的余項(xiàng)，滿足插值條件。牛頓插值公式特點(diǎn)(續(xù))取n＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，牛頓插值多項(xiàng)式次數(shù)不超過n次，各項(xiàng)系數(shù)是各階差商。由插值多項(xiàng)式的唯一性知,拉格朗日插值多項(xiàng)式和牛頓插值多項(xiàng)式是相等的。只是算法不同。拉格朗日插值余項(xiàng)和牛頓插值余項(xiàng)是相等的，即：121520f(x)7431x例2:已知：求滿足以上插值條件的牛頓型插值多項(xiàng)式。解：在例1中，我們已計(jì)算出

則牛頓三次插值多項(xiàng)式為

§4.7分段低次插值分段低次插值問題的提出： 在拉格朗日插值法中，為了使插值多項(xiàng)式更好的逼近被插函數(shù)，往往要增加插值節(jié)點(diǎn)，提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)。當(dāng)插值區(qū)間較大時(shí)，對于高次插值在插值區(qū)間兩端會發(fā)生劇烈振蕩。高次代數(shù)插值所發(fā)生的這種現(xiàn)象稱為Runge現(xiàn)象.在上個(gè)世紀(jì)初由Runge發(fā)現(xiàn).一、

高階插值的龍格現(xiàn)象例：在[5,5]上考察的Pn(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端點(diǎn)附近抖動越大，稱為Runge現(xiàn)象Pn(x)f(x)分段低次插值P2（x）P5（x）P10（x）既要增加插值節(jié)點(diǎn)，減小插值區(qū)間，又不增加插值多項(xiàng)式的次數(shù)以減少誤差，我們可以采用分段插值的辦法。

二、分段線性插值原理：將插值區(qū)間分成若干個(gè)小的子段，在每個(gè)子段上進(jìn)行低次插值，然后相互連接，用連接相鄰節(jié)點(diǎn)的折線逼近被插函數(shù)。定義已知函數(shù)

，給定節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值求一個(gè)分段函數(shù)S(x)，使其滿足：S(x)在[a,b]上連續(xù)；S(xi)=yi，i＝0,1,…,nS(x)在每個(gè)子段是線性函數(shù)。稱函數(shù)S(x)為分段線性插值函數(shù)。S(x)在子段上有（線性插值）：在區(qū)間上有：其中顯然失去了原函數(shù)的光滑性。分段線性插值特點(diǎn)算法簡單，能保證收斂。能獲得任意精度的插值。局部性質(zhì)。1例3

已知函數(shù)

在區(qū)間

上取等距插值節(jié)點(diǎn)（如下表）,求區(qū)間

上分段線性插值函數(shù)，并利用它求出的近似值

0.038460.058820.10.20.51

54320

解

在每個(gè)小區(qū)間

上，

于是4.3逐次線性插值（本節(jié)為了解內(nèi)容）

逐次線性插值解決拉格朗日插值為提高精度增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，要重新計(jì)算全部基函數(shù)，整個(gè)插值多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)都會改變的問題。為使計(jì)算有“承襲性”，可用逐次線性插值或稱迭代插值的辦法解決。逐次線性插值是重復(fù)地進(jìn)行線性插值產(chǎn)生從低次到高次的拉格朗日插值多項(xiàng)式序列，直到獲得合適的計(jì)算結(jié)果，避免增加節(jié)點(diǎn)從頭開始計(jì)算，常用的埃特金(Aitken)算法和內(nèi)維爾(Neville)算法。4.3.1三個(gè)節(jié)點(diǎn)的情形已知f(x)在三個(gè)互異節(jié)點(diǎn)x0,x1,x2的函數(shù)值y0,y1,y2

用（x0,y0),(x1,y1)做插值xx0x1x2yy0y1y2用（x0,y0),(x2,y2)做插值用（x1,P01),(x2,P02)做插值

上式即是拉格朗日二次插值多項(xiàng)式。兩個(gè)線性插值的結(jié)果再進(jìn)行線性插值，得到拋物線性插值。三個(gè)節(jié)點(diǎn)的情形寫成表格的形式

函數(shù)值一階插值二階插值4.3.2

埃特金算法兩個(gè)線性插值的結(jié)果，再進(jìn)行線性插值可得拋物線插值，這個(gè)過程可以繼續(xù)下去，一般地，利用兩個(gè)次插值和進(jìn)行線性插值，可得次插值，用基函數(shù)的形式表示

當(dāng)，時(shí)，得到，當(dāng)，時(shí)，得到，當(dāng)，時(shí)，得到。反復(fù)執(zhí)行這一算式，可以逐步構(gòu)造出如下的插值順序。按這個(gè)順序可求出某點(diǎn)的插值。函數(shù)值一階插值二階插值三階插值埃特金插值表埃特金插值特點(diǎn)埃特金插值是將一個(gè)高次插值過程歸結(jié)為線性插值的多次重復(fù)。埃特金插值的每個(gè)數(shù)據(jù)均為插值結(jié)果，從這些數(shù)據(jù)的一致程度即可判斷插值結(jié)果的精度。這樣可以逐步生成插值結(jié)果，每做一步檢查一下計(jì)算結(jié)果的精度，如不滿足要求，則增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)再算，直到滿足要求為止。在節(jié)點(diǎn)較多時(shí)，用這種方法可降低插值次數(shù)∴的近似值為1.5。已知f(x)在三個(gè)互異點(diǎn)

0,1,2的函數(shù)值1,3,9用（0,1

),(1,3

)作插值用（0,1

),(2,9

)作插值用（1,P01),(2

,P02

)作插值一般得到的觀測數(shù)據(jù)本身不一定完全可靠，個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差甚至可能很大，且數(shù)據(jù)很多。曲線擬合是從已知的一大堆數(shù)據(jù)中找出規(guī)律，即設(shè)法構(gòu)造一條曲線（擬合曲線）反映數(shù)據(jù)點(diǎn)總的趨勢。

§4.8曲線擬合的最小二乘法曲線擬合問題曲線擬合同插值法的區(qū)別:曲線擬合考慮實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)帶有測量誤差，同時(shí)測量數(shù)據(jù)又多，若用插值法時(shí)得到的插值多項(xiàng)式次數(shù)將很高，不實(shí)用。曲線擬合得到的多項(xiàng)式不必通過每一點(diǎn)。設(shè)已知某物理過程（函數(shù)關(guān)系）的一組觀測（實(shí)驗(yàn)）數(shù)據(jù)，要求在某特定函數(shù)類（例如多項(xiàng)式）中找出一個(gè)函數(shù)，作為的近似函數(shù)，使得在上的誤差（或稱殘差）按某種度量標(biāo)準(zhǔn)為最小，這就是擬合問題，也稱曲線擬合。曲線擬合的定義記向量，要求殘差按某種度量標(biāo)準(zhǔn)為最小，即要求向量的某種范數(shù)最小。例如，可要求的1-范數(shù)或-范數(shù)即：或最小。但由于不便于微分運(yùn)算

，因此，通常用2-范數(shù)。1

為最小，這種要求誤差平方和最小的擬合稱為曲線擬合的最小二乘法。一、最小二乘擬合原理最小二乘法的幾何意義

求在給定點(diǎn)

x0,x1,…,xm

處與點(diǎn)(x0,y0),(x1,y1),…,(xm,ym)的距離平方和最小的曲線：y=F(x),二、多項(xiàng)式擬合這樣的曲線擬合叫多項(xiàng)式擬合。滿足上式的y

叫最小二乘擬合多項(xiàng)式.特別地,當(dāng)m=1時(shí),一次多項(xiàng)式擬合又叫直線擬合。當(dāng)N=m+1時(shí)，所得的擬合多項(xiàng)式就是拉格朗日或牛頓插值多項(xiàng)式。

對給定的一組數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,…,N),尋求m次多項(xiàng)式（N>>m

）使總誤差滿足目標(biāo)函數(shù)由于目標(biāo)函數(shù)J可看作是關(guān)于的多元函數(shù)，故擬合多項(xiàng)式的問題變?yōu)榍髽O值問題。由求極值的必要條件

得即對a0偏導(dǎo)對a1偏導(dǎo)例上述方程組是關(guān)于aj的線性方程組，通常稱為正則方程組。它有唯一解。由方程組可求出系數(shù)aj。多項(xiàng)式擬合的一般方法可歸納為以下幾步：寫出正規(guī)方程組，求出系數(shù)，得到擬合多項(xiàng)式注：當(dāng)m較大時(shí)，方程組一般病態(tài)。由已知數(shù)據(jù)畫出函數(shù)粗略的圖形——散點(diǎn)圖，確定擬合多項(xiàng)式的次數(shù)m；列表計(jì)算例1

測得銅導(dǎo)線在溫度

時(shí)的電阻

如下表求電阻R與溫度T的近似函數(shù)關(guān)系。85.1083.9082.3580.8079.2577.8076.30

50.045.140.036.030.125.019.1

6

5

4

3

2

1

0

i解：把表中數(shù)據(jù)畫在坐標(biāo)紙上，會看到數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布可用一條直線來近似描述。因此用線性函數(shù)擬合。列表如下0

20029.4459325.83565.5245.34255.0002500.0085.1050.063783.8902034.0183.9045.153294.0001600.0082.3540.042908.8001296.0080.8036.032385.425906.0179.2530.121945.000625.0077.8025.011457.330364.8176.3019.1

Ri

i故得R與T的擬合直線為

R=70.572+0.291T正規(guī)方程組為解方程組得列表如下解

設(shè)擬合曲線方程為

例2

已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表試用最小二乘法求它的二次擬合多項(xiàng)式

i4321124510

yi1098765431

xi876543210

10251472531730173813253

40040100001000100410824327656172981397128164096512642864972401343491753661296216361645010625125252536416256641644245158127953110