山東省濰坊市諸城第四中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

山東省濰坊市諸城第四中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，a=3，b=5，，則sinB等于（

）A．1

B．

C．

D．參考答案：D2.840和1764的最大公約數(shù)是（

）A．84

B．12

C．168

D．252參考答案：A3.在一次馬拉松比賽中，30名運(yùn)動(dòng)員的成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示．若將運(yùn)動(dòng)員按成績由好到差編號(hào)為1﹣30號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取6人，則其中成績?cè)趨^(qū)間[130，151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：C【考點(diǎn)】莖葉圖．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法的特征，將運(yùn)動(dòng)員按成績由好到差分成6組，得出成績?cè)趨^(qū)間[130，151]內(nèi)的組數(shù)，即可得出對(duì)應(yīng)的人數(shù)．【解答】解：將運(yùn)動(dòng)員按成績由好到差分成6組，則第1組為（130，130，133，134，135），第2組為（136，136，138，138，138），第3組為（141，141，141，142，142），第4組為（142，143，143，144，144），第5組為（145，145，145，150，151），第6組為（152，152，153，153，153），故成績?cè)趨^(qū)間[130，151]內(nèi)的恰有5組，故有5人．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了莖葉圖的應(yīng)用問題，也考查了系統(tǒng)抽樣方法的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．4.設(shè)，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A.20 B.－20 C.－15 D.15參考答案：B【分析】利用定積分的知識(shí)求解出，從而可列出展開式的通項(xiàng)，由求得，代入通項(xiàng)公式求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】

展開式通項(xiàng)公式為：令，解得：

，即常數(shù)項(xiàng)為：本題正確選項(xiàng)：B【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中的指定項(xiàng)系數(shù)的求解問題，涉及到簡(jiǎn)單的定積分的求解，關(guān)鍵是能夠熟練掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的形式.5.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A=，B=，a=3，則c的值為（）A．3 B． C．3 D．6參考答案：A考點(diǎn)：余弦定理；正弦定理．

專題：解三角形．分析：由A與B的度數(shù)求出C的度數(shù)，再由sinA，sinC以及a的值，利用正弦定理求出c的值即可．解答：解：∵在△ABC中，A=，B=，a=3，即C=，∴由正弦定理=得：c===3．故選：A．點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵6.已知、是兩個(gè)命題，若“”是真命題，則（

）A．p、q都是假命題 B．p、q都是真命題C．p是假命題且q是真命題 D．p是真命題且q是假命題參考答案：A略7.某校有150位教職員工，其每周用于鍛煉身體所用時(shí)間的頻率分布直方圖如圖所示，據(jù)圖估計(jì)，鍛煉時(shí)間在[8，10）小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為（）A．30 B．120 C．57 D．93參考答案：C【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】先求出鍛煉時(shí)間在[8，10）小時(shí)內(nèi)的頻率，由此能求出鍛煉時(shí)間在[8，10）小時(shí)內(nèi)的人數(shù)．【解答】解：鍛煉時(shí)間在[8，10）小時(shí)內(nèi)的頻率為：1﹣（0.02+0.05+0.09+0.15）×2=1﹣0.62=0.38，∴鍛煉時(shí)間在[8，10）小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為：0.38×150=57．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查鍛煉時(shí)間在[8，10）小時(shí)內(nèi)的人數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．8.對(duì)于三次函數(shù)（），定義：設(shè)f″（x）是函數(shù)y＝f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn):“任、何一個(gè)三次函數(shù)都有‘拐點(diǎn)’；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心；且‘拐點(diǎn)’就是對(duì)稱中心．”請(qǐng)你將這一發(fā)現(xiàn)為條件，若函數(shù)，則=（

） （A）2010

（B）2011

（C）2012

（D）2013

參考答案：A略9.復(fù)數(shù)等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.設(shè)集合，則“”是“”的（

）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，則點(diǎn)的軌跡方程是

▲

.參考答案：略12.已知，且，則

參考答案：５

略13.命題關(guān)于的不等式對(duì)一切恒成立；命題函數(shù)是減函數(shù)，若為真命題，為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.參考答案：略14.下列四個(gè)命題：1

使用抽簽法，每個(gè)個(gè)體被抽中的機(jī)會(huì)相等；2

利用秦九韶算法求多項(xiàng)式在的值時(shí)；3

“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件；④對(duì)，使得其中真命題為

（填上序號(hào)）參考答案：①②③15.命題“若都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的逆命題是

。參考答案：若是偶數(shù)，則都是偶數(shù)略16.用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成_______個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)．參考答案：320【分析】從1,3,5,7,9中任選一個(gè)數(shù)排在個(gè)位，再從剩余的8個(gè)非零數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字排在首位，再從剩余的8個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字排在十位，最后由分步計(jì)數(shù)原理，即可求解．【詳解】由題意，從1,3,5,7,9中任選一個(gè)數(shù)排在個(gè)位數(shù)，共有種方法，再從剩余的8個(gè)非零數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字排在首位，共有種方法，從剩余的8個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字排在十位數(shù)，共有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)共有種．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的排列問題，其中解答數(shù)字的排列問題時(shí)，要注意最后一位數(shù)字的要求，以及數(shù)字0不能排在首位，合理分類討論是解答額關(guān)鍵，著重考查了分類討論思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．17.過拋物線y=上一點(diǎn)A（1，0）的切線的傾斜角為45°則=__________.參考答案：1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間與極值；(Ⅱ)求證：當(dāng)且時(shí)，參考答案：（１）解：由知，．令，得.于是，當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下表：0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．在處取得極小值，極小值為．

（6）

（２）證明：設(shè)，于是．由（1）知，對(duì)任意,都有，所以在R內(nèi)單調(diào)遞增．

于是，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，而，從而對(duì)任意，都有，即故（6）略19.已知圓心C（1，2），且經(jīng)過點(diǎn)（0，1）（Ⅰ）寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)P（2，﹣1）作圓C的切線，求切線的方程及切線的長．參考答案：【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的切線方程．【專題】計(jì)算題；直線與圓．【分析】（Ⅰ）求出圓的半徑，即可寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）利用點(diǎn)斜式設(shè)出過點(diǎn)P（2，﹣1）作圓C的切線方程，通過圓心到切線的距離等于半徑，求出切線的斜率，然后求出方程，通過切線的長、半徑以及圓心與P點(diǎn)的距離滿足勾股定理，求出切線長．【解答】解（Ⅰ）∵圓心C（1，2），且經(jīng)過點(diǎn)（0，1）圓C的半徑，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（2，﹣1）的切線方程為y+1=k（x﹣2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即kx﹣y﹣2k﹣1=0，有：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴k2﹣6k﹣7=0，解得k=7或k=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴所求切線的方程為7x﹣y﹣15=0或x+y﹣1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由圓的性質(zhì)可知：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，切線方程的應(yīng)用，勾股定理是求解切線長的有效方法，也可以求出一個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間距離公式求解，考查計(jì)算能力．20.已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：；（3）設(shè)函數(shù)，其中b為實(shí)常數(shù)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．參考答案：（1）（2）見證明；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，表示出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，由此即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，列出表格，觀察即可判斷出函數(shù)的最小值，從而證明；（3）根據(jù)題意，構(gòu)造出函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分情況討論b的取值范圍，當(dāng)b≤0，根據(jù)與0的關(guān)系判斷出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；其次當(dāng)b>0時(shí)，結(jié)合x的范圍判斷出函數(shù)的單調(diào)性，這里要注意當(dāng)x>2時(shí)，根據(jù)b的范圍即、和來判斷的零點(diǎn)，由此即可知的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）．因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以，解得：．（2）設(shè)，則．令，解得．在上變化時(shí)，的變化情況如下表x(0,2)2-0+↘↗所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．所以當(dāng)時(shí)，，即．

（3）等價(jià)于，等價(jià)于．注意．令，所以．（I）當(dāng)時(shí)，，所以無零點(diǎn)，即在定義域內(nèi)無零點(diǎn)．（II）當(dāng)時(shí)，（i）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，而，又，所以．又因?yàn)?，其中，取，表示的整?shù)部分．所以，，由此．由零點(diǎn)存在定理知，在上存在唯一零點(diǎn)．（ii）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，有極小值也是最小值，．①當(dāng)，即時(shí)，在上不存在零點(diǎn)；②當(dāng)，即時(shí)，在上存在唯一零點(diǎn)2；③當(dāng)，即時(shí)，由有，而，所以在上存在唯一零點(diǎn)；又因?yàn)?，．令，其中，，，，所以，因此在上單調(diào)遞增，從而，所以在上單調(diào)遞增，因此，故在上單調(diào)遞增，所以．由上得，由零點(diǎn)存在定理知，在上存在唯一零點(diǎn)，即在上存在唯一零點(diǎn)．綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用，比如利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等等，結(jié)合單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理是解決本題的關(guān)鍵.

21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列為等比數(shù)列，且滿足，

（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和。參考答案：略22.（本小題滿分12分）如圖，F(xiàn)是橢圓(a>b