數(shù)字語音處理-第四章

第四章語音信號的短時(shí)時(shí)域分析

4.1概述14.2傅里葉變換的解釋

4.3濾波器的解釋34.4短時(shí)譜的時(shí)域及頻域采樣率44.5短時(shí)綜合的濾波器組相加法524.1概述語音信號可被看作是短時(shí)平穩(wěn)信號，其某一幀的短時(shí)傅里葉變換定義式如下：（4.1）式中w(n-m)是窗函數(shù)。在式中，短時(shí)傅里葉變換有兩個(gè)變量，它們是離散時(shí)間n及連續(xù)頻率ω若令，則得離散的短時(shí)傅里葉變換如下:

(4.2)它實(shí)際上就是的頻率的取樣。4.1概述可以看出：（1）當(dāng)n固定時(shí)，它們就是序列

(-∞≤m≤+∞)

的傅里葉變換或離散傅里葉變換。（2）

當(dāng)或k固定時(shí)，它們是一個(gè)卷積，這相當(dāng)于濾波器的運(yùn)算。因此，語音信號的短時(shí)頻域分析可以解釋為傅里葉變換或?yàn)V波器。下面分別討論這兩種情況。4.1概述4.2

傅里葉變換的解釋

1.求x(n)將式（4.1）寫作（4.3）時(shí)變傅里葉變換是時(shí)間標(biāo)號n的函數(shù)，當(dāng)n變化時(shí)，窗w(n-m)沿著x(m)滑動。傅里葉逆變換公式為：

(4.4)令m=n,則

(4.5)可以看出，只有當(dāng)w(0)≠0時(shí)，x(n)才能從求出。

此外，由功率譜定義，可以寫出短時(shí)功率譜與短時(shí)傅里葉變換的關(guān)系：

(4.6)功率譜是自相關(guān)函數(shù)

(4.7)的傅里葉變換。窗函數(shù)的作用

1.選出x(m)序列中被分析部分;

2.它的形狀對時(shí)變傅里葉變換特性也有重要作用。如果被看成是w(n-m)x(m)序列的標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換，同時(shí)假設(shè)x(m)及w(m)的標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換存在，為：(4.8)(4.9)當(dāng)n固定時(shí)，序列w(n-m)的傅里葉變換為：

(4.10)根據(jù)卷積定理，有：

(4.11)寫成卷積積分形式：

(4.12)將θ改換為-θ后，可以寫成：

(4.13)可見，為了使能夠充分地表現(xiàn)的特性，要求對于來說，必須是一個(gè)沖激脈沖。

窗函數(shù)和窗寬對短時(shí)傅里葉譜的影響：由于矩形窗有較高的旁瓣，在語音頻譜分析中，很少采用。實(shí)驗(yàn)表明，窗的主瓣寬度與窗寬度N成反比，選擇窗寬時(shí)應(yīng)根據(jù)應(yīng)用需要，折衷考慮，要得到好的時(shí)間分辨率要求用窄窗，而要得到好的頻率分辨率要求用寬窗。

4.3

濾波器的解釋（ω給定）

1．短時(shí)傅里葉變換的濾波器實(shí)現(xiàn)形式一由式（4.1）可得

(4.14)如果把w(n)看作為一個(gè)濾波器的單位取樣響應(yīng)，則短時(shí)傅里葉變換就是該濾波器的輸出，為濾波器的輸入。

用實(shí)數(shù)來運(yùn)算的方法：

(4.15)(4.16)

結(jié)論：經(jīng)調(diào)制后，其付里葉變換為，這說明調(diào)制使的頻譜在頻率軸上向左移動了，線性濾波器輸出端的頻譜等于乘積，故為了使輸出頻譜準(zhǔn)確等于，應(yīng)當(dāng)是一個(gè)沖激。即要求線性濾波器近似為一個(gè)窄帶低通濾波器。2．短時(shí)傅里葉變換的濾波器實(shí)現(xiàn)形式二令：

(4.16)令(4.17)則有

(4.18)可以畫出短時(shí)傅里葉變換的濾波器解釋的另一種形式如圖（4.3）所示，也分為復(fù)數(shù)運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算兩種。

同樣要求線性濾波器近似為一個(gè)中心頻率為ω的窄帶帶通濾波器。

4.4短時(shí)譜的時(shí)域及頻域取樣率

短時(shí)傅里葉變換同時(shí)是時(shí)間n以及角頻率ω的函數(shù)。由來恢復(fù)x(n)，首先遇到的就是時(shí)域取樣率和頻域取樣率的問題。1.時(shí)域取樣率（ω為固定值）

若將w(n)的傅里葉變換記為，對于大多數(shù)窗函數(shù)來說，具有低通濾波器的特性，若它的帶寬為BHz，則具有與窗相同的帶寬。低通濾波器的帶寬是由第一個(gè)零點(diǎn)位置決定的。因?yàn)槭?1的傅里葉變換，因而B的取值決定于窗口序列的長度N和形狀。若使用哈明窗，的近似帶寬為

(4.20)

2、頻率取樣率(n為固定值)

此時(shí),是以2π為周期的ω的連續(xù)函數(shù)，用下述一組頻率值來取樣：

(4.21)

設(shè)w(n)為有限時(shí)寬N，的短時(shí)付里葉反變換x(m)w(n-m)也應(yīng)當(dāng)是寬度為N有限時(shí)寬的?，F(xiàn)在在頻域內(nèi)L個(gè)角頻率上對進(jìn)行取樣，根據(jù)這些取樣所恢復(fù)出的時(shí)間信號應(yīng)該是x(m)w(n-m)進(jìn)行周期延拓的結(jié)果，延拓周期等于L。為使恢復(fù)的時(shí)域信號不產(chǎn)生混疊，要求，故頻域最小取樣數(shù)為窗寬SRf=N。

3、總?cè)勇实目偝闃勇剩⊿R）等于

(4.22)在大多數(shù)實(shí)際窗中，B可以表示為FS/N的倍數(shù)

(4.23)其中，C是比例常數(shù)，

x(n)的抽樣頻率即為

(4.24)SR/FS即為與一般取樣頻率相比而得到的“過速率采樣比”。

欠速率采樣：

x(n)的短時(shí)譜所要求的取樣率比起一般波形表示來說，要增加到2~4倍。但有時(shí)在時(shí)域或頻域用低于理論上最小值的取樣率，而x(n)仍能從混疊的短時(shí)變換中準(zhǔn)確地恢復(fù)。欠速率采樣在短時(shí)譜估計(jì)，基音及共振峰分析，數(shù)字語譜圖以及聲碼器中得到應(yīng)用。4.5短時(shí)綜合的濾波器組相加法

可表示為(4.25)(4.26)若定義則(4.27)(4.28)式（4.28）的圖形解釋

定義

(4.29)

可得

(4.30)

可見，是一個(gè)沖激響應(yīng)為的帶通濾波器的輸出。復(fù)數(shù)帶通濾波器的頻率響應(yīng)為

上式用圖4.7(b)表示，中心頻率為，帶寬為，假定所有通道都使用了相同的窗函數(shù)，即

(4.31)(4.32)

考慮整個(gè)帶通濾波器組時(shí)，其中每個(gè)帶通濾波器具有相同的輸入，其輸出相加在一起，如圖4.8所示，輸出為y(n)，輸入為x(n)，整個(gè)系統(tǒng)的復(fù)合頻率響應(yīng)為

(4.33)

如果在頻率域上正確抽樣(N≥L，L為窗寬)，可以證明對于所有ω都滿足

(4.34)

上式證明如下:

的傅里葉反變換是窗函數(shù)，如果在頻率上以N個(gè)均勻間隔抽樣，抽樣形式的離散傅里葉反變換為

(4.35)

如果w(n)的寬度等于L個(gè)抽樣，則

w(n)=0,n＜0,n≥L(4.36)

在式(4.35)中取n=0，得到

(4.37)

從式（4.27）及式(4.34)可以推出復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：(4.38)

這時(shí)的復(fù)合輸出為

(4.39)

于是，用濾波器組相加法恢復(fù)的信號可以表示為：

(4.40)

上面已討論到，當(dāng)w(n)具有有限寬度L時(shí)，x(n)完全能從時(shí)間及頻率域抽樣后的時(shí)變傅里葉變換準(zhǔn)確地恢復(fù)。下面還能證明，如果在頻域內(nèi)是頻帶受限的，則

x(n)也能準(zhǔn)確從中恢復(fù)。

前面已指出，在有限寬度窗的情況下，為避免時(shí)間混疊，必須至少在L個(gè)均勻分布的頻率上取值，其中L為窗的寬度。寬度為L的窗的帶寬一般在矩形窗）至哈明窗）之間，而分析頻率為，這時(shí)所得的帶通濾波器在頻率上疊接。4.5.2短時(shí)綜合的濾波器組相加法的MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)

程序filterbank1.m對應(yīng)于圖4.6中的(b)圖，先調(diào)制后濾波，實(shí)現(xiàn)流程圖見圖4.10。圖4.6中的(b)圖圖4.10filterbank1的流程圖YN讀入語音數(shù)據(jù)分幀，不足補(bǔ)零，共N幀加哈寧窗濾波i=1~65取k=1幀數(shù)據(jù)用調(diào)制i=1~65用調(diào)制i=1~65k=k+1輸出

k≥N?

程序filterbank2.m對應(yīng)于圖4.6中的(a)圖，先濾波后調(diào)制，實(shí)現(xiàn)流程圖見圖4.12，程序運(yùn)行結(jié)果見圖4.13。圖4.6中的(a)圖圖4.12filterbank2的流程圖YN讀入語音數(shù)據(jù)分幀，不足補(bǔ)零，共N幀各通道濾波i=1~65取k=1幀數(shù)據(jù)并分別送入1~65通道的輸入端

各通道用調(diào)制i=1~65各通道用調(diào)制i=1~65k=k+1輸出

k≥N?

(4.41)式中r為一整數(shù)，0≤i≤N-1，上式的反變換為

(4.42)又(4.43)因而

(4.44)假設(shè)在時(shí)域上利用周期為R的取樣對取樣得4.5.3短時(shí)綜合的疊接相加法原理及MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)

將式（4.42）代入式（4.44）中，可得