正弦定理與余弦定理的應(yīng)用

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.考情分析利用正、余弦定理解決與測(cè)量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題是高考的一種重要考向。考察以選擇題、填空題、大題的形式出現(xiàn)，屬簡(jiǎn)單題或中檔題。2014年四川，上海，江蘇卷等考到此考點(diǎn)。海南卷只是在07年和09年兩次以大題的形式考到此考點(diǎn)。上方

下方

順時(shí)針

(2009·遼寧高考)如圖所示，A、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°,30°，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°，AC＝0.1km.試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B、D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，≈1.414，≈2.449).考點(diǎn)測(cè)量距離問(wèn)題【舉一例】[思路點(diǎn)撥][課堂筆記](méi)在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD＝BA.在△ABC中，即AB＝因此，BD＝≈0.33km.故B、D的距離約為0.33km.【悟一法

】

2.步驟中的核心部分：作圖分析確定所求目標(biāo)所在的三角形，尋找解這個(gè)三角形可解的條件，利用已知條件和利用正、余弦定理等（在另外的三角形中）求解目標(biāo)三角形的邊和角，最后解目標(biāo)三角形，得答案。若已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可直接考慮用正弦定理或余弦定理求解。3.正、余弦定理和三角公式、三角函數(shù)是一個(gè)整體，要打好“配合戰(zhàn)”。【悟一法

】【通一類

】【通一類

】(2009·寧夏、海南高考)(12分)為了測(cè)量?jī)缮巾擬、N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量.A、B、M、N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如示意圖).飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離.設(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計(jì)算M、N間的距離的步驟.【高考動(dòng)向

】【解】方案一：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α1、β1；B點(diǎn)到M、N的俯角α2、β2；A、B間的距離d(如圖所示).┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)②第一步：計(jì)算AM.由正弦定理AM＝┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(8分)第二步：計(jì)算AN.由正弦定理AN＝；(10分)第三步：計(jì)算MN.由余弦定理MN＝┄(12分)方案二：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α1、β1；B點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α2、β2；A、B的距離d(如圖所示).┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)②第一步：計(jì)算BM.由正弦定理BM＝；(8分)第二步：計(jì)算BN.由正弦定理BN＝；(10分)第三步，計(jì)算MN.由余弦定理MN＝┄(12分)此考點(diǎn)常規(guī)考法為：依據(jù)實(shí)際問(wèn)題背景，直接給出測(cè)量數(shù)據(jù)，通過(guò)考生作圖分析，然后選用恰當(dāng)?shù)墓街苯佑?jì)算.09年海南高考打破常規(guī)，并沒(méi)有直接給出測(cè)量數(shù)據(jù)，而是在實(shí)際問(wèn)題中讓考生設(shè)計(jì)解決問(wèn)題的方案，并計(jì)算出答案?？疾炜忌臻g想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算能力以及運(yùn)用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問(wèn)題以及解決問(wèn)題的能力?？梢哉f(shuō)是一道真正意義上的應(yīng)用題?！緞?dòng)向分析

】1.如圖所示，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)A、B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A、B間距離的是(

)A.α，a，b

B.α，β，aC.a，b，γ

D.α，β，b.1.解析：選項(xiàng)B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可確定AB.選項(xiàng)C中可由余弦定理確定AB.選項(xiàng)D同B類似.答案：A2.某人向正東方向走xkm后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是km，那么x的值為(

)A.B.2C.或2

D.32.解析：如圖所示，設(shè)此人從A出發(fā)，則AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由正弦定理，得∠CAB＝60°或120°，當(dāng)∠CAB＝60°時(shí)，∠ACB＝90°，AB＝2；當(dāng)∠CAB＝120°時(shí)，∠ACB＝30°，AB＝.答案：C3.一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈

塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一

燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這只船的速度是每小時(shí)(

)

A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里3.解析：如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是這只船的速度是＝10(海里/小時(shí)).答案：C課堂小結(jié)課堂小結(jié)課堂小結(jié)課時(shí)分層作業(yè)[自主體驗(yàn)]（備用）2009年11月13日，中國(guó)第四批護(hù)航編隊(duì)“馬鞍山”艦、“溫州”艦順利抵達(dá)亞丁灣海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)，在一次護(hù)航過(guò)程位于C處的“馬鞍山”艦接到位于其東偏南15°方向，相距2海里的A處某商船求救信號(hào)，稱在其東偏北45°方向，相距(－1)海里的B處，一艘同行商船被海盜劫持，并向北偏東30°方向，以10海里每小時(shí)速度逃竄，“馬鞍山”艦最快速度為10海里/小時(shí)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一套“馬鞍山”艦追擊海盜船只的方案，使“馬鞍山”艦?zāi)茏羁旖孬@海盜船，包括：①“馬鞍山”艦航行的速度及方向；②追上海盜船所用時(shí)間.解：如圖，設(shè)“馬鞍山”艦以10海里/小時(shí)速度追擊，t小時(shí)后在D處截獲海盜船.則CD＝10t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝(－1)＋22－2(－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝海里.又∵∴sin∠ABC＝∴∠ABC＝45°，∴B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得∴sin∠BCD＝∴∠BCD＝30°，∴“