B層樣卷1部分答案

期末考試樣卷一一、選擇填空題4.設(shè)3元線性方程組公=方，已知力為2為其兩個不同解，且"A）=r（A,5）=2,則對于任意常數(shù)3方程組而=日的通解為（A）.A.gs[+&）+k（木一斤2）B.一"2）+攵（7+用）C.（%+方2）+%（%一%）D.乙乙（彳—灰）+左（％+質(zhì)）解：第一步，求齊次方程組公=0的通解根據(jù)已知條件，方程組有3個未知量，而條件R（A,?=2又暗示了方程組中有兩個獨(dú)立的方程，所以通解中含有3-2=1個自由變量。因為有1個自由變量，所以任意1個非零解都是A工=0的基礎(chǔ)解系。又因為立萬2是方程組于=B的解，所以4立-萬2）=a"-A萬2=B-B=0,這就說明"-力是齊次方程組不=0的解，又因為條件中說后萬2不同，所以77,-72是齊次方程組Ax=O的非零解。再注意到，之前已經(jīng)證明了任意1個非零解都是A1=0的基礎(chǔ)解系，所以京-萬2就可以看作齊次方程組的基礎(chǔ)解系，進(jìn)而左阮-不）就是齊次方程組房=0的通解。第二步，求非齊次方程組版=6的通解。

根據(jù)公式：非齊次的通解二非齊次的特解+齊次的通解。（未知）（已知）以下只要找非齊次方程組A元的一個特解就行。易見濟(jì)萬2，"^都是所的特解，因此無呸+和）就是非齊次方程組版=B的通解。5.若〃階矩陣A滿足卜2￡-3刈=0,則A必有一個特征值為(B).3223A.--B.--C.-D.-2332(—21-3A——(—21-3A——E=0,進(jìn)而A-I3J-27E=0,也就是說-§滿足特征方程花11=0。根據(jù)特征值的定義，-2就是一個特征值。3xa???a/7y???n二.計算〃階行列式a=???????????Iaa???x解：用加邊法：解：用加邊法：D〃=解：用加邊法：D〃=（將后n-1行加在第一行上可得）x+(n-l)ax+(〃-1)〃解：用加邊法：D〃=（將后n-1行加在第一行上可得）（第一行提公因子可得）

五.設(shè)五.設(shè)五.設(shè)Z7Y?Z7x+(h-1)J../.(后五.設(shè)Z7Y?Z7x+(h-1)J../.(后nT行都減去第一行的a倍可得)????????aa???xX+(^-l)6z]1x-a**0=[x+(/?-1)q](x-4)〃一(\\aa01a010010(這是上三角形行列式)x-a(1)請討論。取何值時，方程組有唯一解、無解、無窮多解?(2)當(dāng)方程組缶=，有無窮多解時，求出通解.解:第一步，應(yīng)用克萊姆法則判斷何時解唯一易見A為系數(shù)矩陣，且網(wǎng)=1-/。根據(jù)克萊姆法則，當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)W0,即時方程組有唯一解。當(dāng)網(wǎng)=0,即〃=±1時方程組或者無解或者無窮多解。第二步，討論a=l時是無解還是無窮多解"1100-P0=1時，方程組的增廣矩陣為：：；；：J0010?

3它階梯化的結(jié)果為:<0100-P1101,由最后一行即可看出，此時方程組3它階梯化的結(jié)果為:<00002；第三步，討論a=T時是無解還是無窮多解TOC\o"1-5"\h\z'1-100-1、a=—l時，方程組的增廣矩陣為，1T。：001-10,—10010,-1001—-1001—它階梯化的結(jié)果為八八；001?00X1-%2=一]此時方程組化為＜x2-x3=l,%3一=°::，易見此時方程組有無窮多解。-1000,X1—t易見此時方程組的通解為尸2='+1,其中t可以X3=t?5=4（11（11六.設(shè)A=1-2「21（11六.設(shè)A=（11六.設(shè)A=1-2「21(1)求A的所有特征值及其對應(yīng)的特征向量;(2)利用⑴的結(jié)果，求一個正交變換將下面的二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形:/（xpa：2,%3）=x；-2x；+2xtx2-4xix3+2x2x3.解：(1)第一步，求A的特征值:

1—A1—21-2-/11（每一列都是所以用加邊法，將二三兩行加在第—211—A一行上可得）-4--4-21-2-4-211（第一行提公因子得）-Z111=-21-2-21（第二行減去第一行，第三行加第一行的兩倍，得）—211—A1（列展開，得）03-2（列展開，得）所以特征值為4=0,丸2=-3心=3第二步，求A的特征向量：先求0的特征向量：’11-2、A-OE=1-21,<-21x+y-2z=0構(gòu)造方程組（A—。石）元=0,即1x-2y+z=0,-2x+y+z=0（1）式減去（2）式得：y=z；（2）式減去（3）式得：y=x；

所以通解為所以通解為y=/=所以通解為y所以通解為y=/=T,形如，1JwO的向量即為0的特征向量。再求-3的特征向量：‘41-2、A-(-3)E=111,、-214，4x+y-2z=0構(gòu)造方程組(A-(-3)E)x=6,即vx+y+z=Q,一2x+y+4z=0(1)式減去4倍的(2)式得：y=-2z；(2)式減去(3)式得：x=z；所以通解為所以通解為y=-2t=所以通解為y=所以通解為y=-2t=-2形如/-2jw。的向量即為-3的特征向量。最后求3的特征向量：'-21-2、A-3E=1-51,、-21-2,—2x+y—2z=0構(gòu)造方程組(A—3E)元=0,即＜x-5y+z=O—2x+y—2z=0x.(1)式加2倍的(2)式得：y=O；y二。代回(1)式得：x=-z；所以通解為y所以通解為y=QLI形如/0/w。的向量即為3的特征向量。(2)化標(biāo)準(zhǔn)二次型.易見A是題目中所給的二次型對應(yīng)的方陣。因為4=0,4=-32=3都是一重特征值，所以在它們的特征向量中各取1個。在。的特征向量中取名=11（1]在-3的特征向量中?。?-2，-1、在3的特征向量中取出=0o易見A的對稱方陣，而且%又對應(yīng)于不同的特征值，所以它們兩兩正交。下面只需要再做單位化：是正交陣。-1一V2O1VI/7JLC-2-cJLnJL^JL香JL/TVTOJL后JLV6-2761A/61V3JLV3JLV3/rk\易見4,尸2,四是兩兩正交的單位向量，所以P=就能把原有二次型化為0才+（_3）式+3y；o王設(shè)x2因此這樣換元,七.若A與8相似，。與。相似，證明'B0、0D證明：因