13時域離散系統(tǒng)

時域離散系統(tǒng)

設(shè)時域離散系統(tǒng)的輸入為x(n)，經(jīng)過某種規(guī)定的運(yùn)算T[.]，系統(tǒng)的輸出序列為y(n)。則輸出與輸入的關(guān)系為：圖示為：在時域離散系統(tǒng)中，最重要和最常用的是線性時不變系統(tǒng)，因為很多物理過程都可用這類系統(tǒng)表征，且便于分析。1.3.1線性系統(tǒng)滿足線性疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。設(shè)x1(n)和x2(n)分別作為系統(tǒng)的輸入序列時，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即1.3.1線性系統(tǒng)滿足（1.3.2）稱為可加性；滿足(1.3.3)稱為比例性。則，線性系統(tǒng)一定滿足下面兩個公式：其中，a,b為常數(shù)。例1.3.1：證明：y(n)=ax(n)+b所代表的系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。結(jié)合(1.3.2)和(1.3.3)有：證明：設(shè)系統(tǒng)對輸入信號的運(yùn)算關(guān)系T[.]在整個運(yùn)算過程中不隨時間變化，即系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)與信號加于系統(tǒng)的時間無關(guān)，則該系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)。公式表示如下：其中，k為任意整數(shù)。判斷一個系統(tǒng)是否時不變系統(tǒng)，就是檢查是否滿足式(1.3.5)。1.3.2時不變系統(tǒng)（移不變性）例如：系統(tǒng)y(n)=ax(n)+b為時不變系統(tǒng)。見例1.3.2又如：系統(tǒng)y(n)=nx(n)就不是時不變系統(tǒng)。移不變性：如果輸入x(n)延遲了k個抽樣周期，則輸出也相應(yīng)地延遲k個抽樣周期。定義：同時具有線性和移不變性的離散時間系統(tǒng)稱為線性移不變（linearshiftinvariant,LSI)離散時間系統(tǒng).簡稱LSI系統(tǒng)。h(n)和模擬系統(tǒng)中的h(t)單位沖激響應(yīng)相類似，代表系統(tǒng)的時域特征。1.3.3線性時不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系定義：設(shè)系統(tǒng)的輸入x(n)=δ(n),系統(tǒng)輸出y(n)的初始狀態(tài)為零，即y(0)=0，則該條件下系統(tǒng)輸出稱為系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng)），用h(n)表示。用公式表示為又根據(jù)移不變性LSI系統(tǒng)輸入與輸出之間的一個重要關(guān)系——線性卷積設(shè)系統(tǒng)的輸入為x(n),按照(1.2.12)式，有Linearconvolution根據(jù)線性疊加性有(n是變量）式中的符號*代表卷積計算?？梢姡灰老到y(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，對任意輸入x(n)，就可以求出系統(tǒng)的輸出。見P12計算步驟例1.3.4求：（1）將x(n)和h(n)中的n用m表示，并將h(m)翻轉(zhuǎn)為h(-m).（2）將h(-m)位移n，得到h(n-m)..（3）將x(m)和h(n-m)中相同m的序列值對應(yīng)相乘后，再相加。得到y(tǒng)(n).要求滿足：圖1.3.2例1.3.4線性卷積其實這種圖解法可以用列表法代替，上面的圖解過程如表1.3.1所示。表1.3.1圖解法（列表法）

卷積的物理意義（1）將信號x(t)分解為許多寬度為t的窄條面積之和，t=nt時的第n個窄條的高度為x(nt)，在t趨近于零的情況下，窄條可以看作是強(qiáng)度等于窄條面積的脈沖。tx(t)nt

x(nt)t（2）在t=nt時刻，窄條脈沖引起的響應(yīng)為:

x(nt)th(t-nt)

tx(nt)th(t-nt)0（3）各脈沖引起的響應(yīng)之和即為輸出y(t)ty(t)0

線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律。它們分別用公式表示如下：（1.3.9）

（1.3.8）（1.3.10）

圖1.3.3卷積的結(jié)合律和分配律定義：如果系統(tǒng)n時刻的輸出，只取決于n時刻和n時刻以前的輸入，而與n時刻以后的輸入無關(guān)，則為因果系統(tǒng)。滿足上式的序列稱為因果序列。1.3.4