第七章 參數估計 第八章

第七章參數估計(一)考核知識點1.點估計2.矩估計法3.極大似然估計法4.單個正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計(二)考核要求1.點估計1.1參數估計的概念，要求：識記1.2求參數的矩估計，要求：簡單應用1.3求極大似然估計，要求：簡單應用2.估計量的評價標準2.1矩估計的無偏性，要求：領會2.2估計量的有效性、相合性，要求：領會3.區(qū)間估計3.1置信區(qū)間的概念，要求：領會3.2求單個正態(tài)總體均值和方差的置信區(qū)間，要求：簡單應用

現在我們來介紹一類重要的統(tǒng)計推斷問題

參數估計問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計總體的某些參數或者參數的某些函數.

參數估計估計廢品率估計新生兒的體重估計湖中魚數……估計降雨量在參數估計問題中，假定總體分布形式已知，未知的僅僅是一個或幾個參數.這類問題稱為參數估計.參數估計問題的一般提法X1,X2,…,Xn要依據該樣本對參數作出估計,或估計的某個已知函數.現從該總體抽樣，得樣本設有一個統(tǒng)計總體,總體的分布函數為F(x,)，其中為未知參數(可以是向量).

參數估計點估計區(qū)間估計（假定身高服從正態(tài)分布）設這5個數是:1.651.671.681.781.69估計

為1.68，這是點估計.這是區(qū)間估計.估計在區(qū)間[1.57,1.84]內，例如我們要估計某隊男生的平均身高.現從該總體選取容量為5的樣本，我們的任務是要根據選出的樣本（5個數）求出總體均值的估計.而全部信息就由這5個數組成.7.1.2極大似然法它是在總體類型已知條件下使用的一種參數估計方法.它首先是由德國數學家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而,這個方法常歸功于英國統(tǒng)計學家費希爾

.

費希爾在1922年重新發(fā)現了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質.最大似然法的基本思想先看一個簡單例子：一只野兔從前方竄過.是誰打中的呢？某位同學與一位獵人一起外出打獵.如果要你推測，你會如何想呢?只聽一聲槍響，野兔應聲倒下.你就會想，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率一般大于這位同學命中的概率.看來這一槍是獵人射中的.這個例子所作的推斷已經體現了極大似然法的基本思想.

最大似然估計原理：當給定樣本X1,X2,…Xn時，定義似然函數為：設X1,X2,…Xn是取自總體X的一個樣本，樣本的聯合密度(連續(xù)型）或聯合分布律(離散型)為f(x1,x2,…,xn;).f(x1,x2,…,xn;)這里x1,x2,…,xn

是樣本的觀察值.似然函數：

最大似然估計法就是用使達到最大值的去估計.稱為的最大似然估計值

.看作參數的函數，它可作為將以多大可能產生樣本值x1,x2,…,xn的一種度量.

f(x1,x2,…,xn;)而相應的統(tǒng)計量稱為的最大似然估計量

.兩點說明：

1、求似然函數L()的最大值點，可以應用微積分中的技巧。由于ln(x)是

x的增函數,lnL()與L()在的同一值處達到它的最大值，假定是一實數，且lnL()是的一個可微函數。通過求解方程：可以得到的MLE.若是向量，上述方程必須用方程組代替.

2、用上述求導方法求參數的MLE有時行不通，這時要用最大似然原則來求.下面舉例說明如何求最大似然估計L(p)=f(x1,x2,…,xn;p)

例5

設X1,X2,…Xn是取自總體X~B(1,p)的一個樣本，求參數p的最大似然估計量.解：似然函數為:對數似然函數為：對p求導并令其為0，=0得即為p

的最大似然估計值

.從而p

的最大似然估計量為

(4)在最大值點的表達式中,用樣本值代入就得參數的最大似然估計值

.求最大似然估計(MLE)的一般步驟是：

(1)由總體分布導出樣本的聯合分布率(或聯合密度);

(2)把樣本聯合分布率(或聯合密度)中自變量看成已知常數,而把參數看作自變量,得到似然函數L();

(3)求似然函數L()

的最大值點(常常轉化為求lnL()的最大值點)，即

的MLE;1.(2006-4)設總體X服從參數為λ的指數分布,其中λ未知,X1,X2,…,Xn為來自總體X的樣本,則λ的矩估計為________.2.(2006-7)設總體X服從泊松分布,即X~P(λ),則參數λ2的極大似然估計量為__________.3.(2007-4)設總體X具有區(qū)間[0,θ]上的均勻分布(θ>0),x1,x2,…,xn是來自該總體的樣本,則θ的矩估計________.5.(2007-7)設總體X服從參數為λ的泊松分布,其中λ為未知參數.X1,X2,…,Xn為來自該總體的一個樣本,則參數λ的矩估計量為___________.8.(2008-7)假設總體X服從參數為λ的泊松分布,0.8、1.3、1.1、0.6、1.2是來自總體X的樣本容量為5的簡單隨機樣本，則λ的矩估計值為_______．7.2點估計的評價標準7.3參數的區(qū)間估計7.3.2單個正態(tài)總體參數的置信區(qū)間并設為來自總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差.可得到的置信水平為的置信區(qū)間為第八章假設檢驗（一）考核的知識點1.假設檢驗的基本思想與步驟2.單