第三章系統(tǒng)的時間響應分析

工程控制基礎華中科技大學文華學院

第三章系統(tǒng)的時間響應分析

3.1時間響應及其組成引言3.2一階系統(tǒng)的時間響應本章小結3.3二階系統(tǒng)的時間響應3.4高階系統(tǒng)的時間響應3.5穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)誤差分析與計算引言經(jīng)典控制理論中常用的分析法

時域分析法

根軌跡法（了解）

頻率特性法（第四章）研究控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下輸出信號隨時間的變化。3.1時間響應及其組成一、系統(tǒng)的輸入信號1.單位階躍函數(shù)：1u(t)t02.單位斜坡函數(shù)：xr(t)t113.單位加速度函數(shù)：xr(t)t4.單位脈沖函數(shù)：t05.正弦函數(shù)：

分析系統(tǒng)特性采用何種典型輸入信號，取決于系統(tǒng)在正常工作情況下最常見的輸入信號形式。當系統(tǒng)的輸入具有突變性質時，選擇階躍函數(shù)為典型輸入信號；當系統(tǒng)的輸入是隨時間增長變化時，選擇斜坡函數(shù)為典型輸入信號。

時間響應的概念

時間響應的概念二、瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應1、時間響應定義：在輸入作用下，系統(tǒng)的輸出隨時間的變化過程，即系統(tǒng)的時間響應。在數(shù)學上，就是系統(tǒng)的動力學方程在一定初始條件及輸入信號下的解。瞬態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應

時間響應穩(wěn)態(tài)響應瞬態(tài)響應時間響應由瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應兩部分組成。瞬態(tài)響應指系統(tǒng)受到外加作用激勵后，從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程；穩(wěn)態(tài)響應指時間t趨于無窮時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。可用來衡量系統(tǒng)的精確程度反映系統(tǒng)的動態(tài)性能動態(tài)性能分析一、一階系統(tǒng)動態(tài)分析二、標準二階系統(tǒng)動態(tài)分析三、高階系統(tǒng)動態(tài)分析時域指標來源

——給定輸入下的單位階躍響應曲線主要動態(tài)指標

——超調量、調節(jié)時間、峰值時間、上升時間

時域指標的定量計算或估算3.2一階系統(tǒng)的時間響應一、一階系統(tǒng)的數(shù)學模型一階系統(tǒng)的微分方程為：其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：——為時間常數(shù)，是表征系統(tǒng)慣性的一個主要參數(shù)_R(s)C(s)1/Ts初始斜率=1/T0.6320.8650.9820.950一階系統(tǒng)的單位階躍響應一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(1)輸出響應到達0.632倍的穩(wěn)態(tài)值所需要的時間為時間常數(shù)T。(2)輸出響應曲線的初始斜率為時間常數(shù)T的倒數(shù)。(3)ts=3T(s)—5%誤差帶

ts=4T(s)—2%誤差帶二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應初始斜率一階系統(tǒng)的單位脈沖響應為一單調下降的指數(shù)曲線。一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應三、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量T一階系統(tǒng)的單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)分量，是一個與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但時間遲后T的斜坡函數(shù)，因此在位置上存在穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差，其值正好等于時間常數(shù)T；瞬態(tài)分量為衰減非周期函數(shù)。一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應四、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應系統(tǒng)時域響應通常由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量共同組成，前者反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，后者反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。對一階系統(tǒng)：線性定常系統(tǒng)時間響應的性質一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應結論：線性定常系統(tǒng)對輸入信號微分的響應等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的微分。同樣可知，線性定常系統(tǒng)對輸入信號積分的響應等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分。3.3二階系統(tǒng)的時間響應一、二階系統(tǒng)的數(shù)學模型_R(s)C(s)二階系統(tǒng)典型結構圖典型二階系數(shù)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)的特征根為：

由于特征方程的根與阻尼比ξ有關，若ξ<0，二階系統(tǒng)具有正實部的特征根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。故只考慮ξ≥0的情況，則可分下面幾種情況來討論二階系統(tǒng)的動態(tài)特性。

ξ=0,

0<ξ<1,ξ=1,

ξ>1二階系統(tǒng)的時間響應ξ=0,

0<ξ<1,ξ=1,

ξ>1[s]o

a)欠阻尼時的極點分布××[s]od)無阻尼時的極點分布××××b)臨界阻尼時的極點分布[s]jω0σ××jωσ0c)過阻尼時的極點分布二階系統(tǒng)的時間響應二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應假設初始條件為零，xi(t)=1（t），則系統(tǒng)有一對具有負實部的共軛復根，對應于在S平面的左半部的共軛復數(shù)極點，1、欠阻尼（0<ξ<1）的情況二階系統(tǒng)的時間響應稱為阻尼振蕩角頻率xo(t)wnt1(b)欠阻尼時的單位階躍響應0稱為衰減系數(shù)二階系統(tǒng)的時間響應2、無阻尼（ξ＝0）的情況系統(tǒng)有一對共軛純虛數(shù)根,它們在s平面上的位置如圖所示。系統(tǒng)的輸出響應是無阻尼的等幅振蕩過程，其振蕩頻率為xo(t)wnt1(b)無阻尼時的單位階躍響應0二階系統(tǒng)的時間響應3、臨界阻尼（ξ＝1）的情況系統(tǒng)具有兩個相等的負實數(shù)極點，xo(t)wnt1(b)臨界阻尼時的單位階躍響應0二階系統(tǒng)的時間響應4、過阻尼（ξ>1）的情況系統(tǒng)具有兩個不相等的負實數(shù)極點穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬態(tài)分量包含兩個衰減指數(shù)項，曲線單調上升。xo(t)wnt1(b)過阻尼時的單位階躍響應0二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線二階系統(tǒng)的時間響應ξ＝0ξ＝1ξ＝2ξ＝0.1在欠阻尼狀態(tài)下，二階系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應為衰減的振蕩，阻尼比越小則振蕩幅值衰減得越慢；若阻尼比等于0，系統(tǒng)以無阻尼自然頻率作等幅振蕩；當阻尼比等于1，達到衰減振蕩的極限，系統(tǒng)不再振蕩；隨著阻尼比的增加，振蕩幅值衰減也越快。

0<<1：三、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應二階系統(tǒng)的時間響應

=1：

=0：二階系統(tǒng)的時間響應

>1：二階系統(tǒng)的時間響應四、二階系統(tǒng)響應的性能指標二階系統(tǒng)的時間響應控制系統(tǒng)的性能指標通常以系統(tǒng)對單位階躍輸入量的瞬態(tài)響應形式給出。穩(wěn)定的單位階躍響應具有典型衰減振蕩和單調變化兩種類型。（a）典型階躍響應曲線rt延遲時間td：第一次到達所需的時間

上升時間tr：輸出響應第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間

峰值時間tp：超過第一次到達最大值所需的時間調節(jié)時間ts：指當和之間誤差達到規(guī)定允許范圍，一般是超過，并且以后不再超出此范圍所需的最小時間。超調量Mp：單位階躍響應第一次越過穩(wěn)態(tài)值達到峰值時，對穩(wěn)態(tài)值的偏差與穩(wěn)態(tài)值之比的百分數(shù)。

td，tr

,tp

,

ts——表征系統(tǒng)的靈敏性或快速性；Mp——反映了系統(tǒng)相對穩(wěn)定性

由于ξ=0時，系統(tǒng)不能正常工作，在ξ≥1時，系統(tǒng)暫態(tài)響應進行得又太慢。因此，對于二階系統(tǒng)來說，0<ξ<1是最有實際意義。下面討論這種情況下的暫態(tài)特性指標。五、欠阻尼二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標[s]o欠阻尼二階系統(tǒng)的特征參量××二階系統(tǒng)的時間響應1、上升時間tr響應曲線從零開始上升，第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需的時間，稱為上升時間。則有，總結：當一定時，阻尼比ξ越大，上升時間

越長；

當ξ一定時，

越大，

則越短。二階系統(tǒng)的時間響應2、峰值時間tp響應曲線從零開始上升，到達第一個峰值所需的時間，稱為峰值時間。則有，總結：與阻尼振蕩頻率成反比，當ξ一定時，

越大，

則

越短。二階系統(tǒng)的時間響應Mp與ξ的關系曲線3、最大超調量Mp最大超調量發(fā)生在第一個周期中t=tp時刻，則有則有，總結：Mp僅是阻尼比ξ的函數(shù)，而與無關。

阻尼比越大，超調量越小。二階系統(tǒng)的時間響應4、調節(jié)時間ts調節(jié)時間是響應曲線與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達到允許范圍（一般取5%~2%）而不再超出的暫態(tài)過程時間。為簡單起見，忽略正弦函數(shù)的影響，則有，二階系統(tǒng)的時間響應5、振蕩次數(shù)N在過渡過程時間內，響應曲線穿過穩(wěn)態(tài)值的次數(shù)的一半定義為振蕩次數(shù)。二階系統(tǒng)的時間響應總結：調節(jié)時間近似與ξ

成反比關系。在設計系統(tǒng)時，ξ通常由要求的最大超調量決定，調節(jié)時間則由自然振蕩角頻率決定。也就是說，在不改變超調量的條件下，通過改變

的值可以改變調節(jié)時間。若保持ξ不變而增大ωn則不影響超調量Mp，但延遲時間td，峰值時間tp及調整時間ts會減小，有利于提高系統(tǒng)的靈敏性，即系統(tǒng)的快速性變好。若保持ωn不變而改變ξ，ξ減小，雖然td、tr和tp均會減小，但超調量Mp和調整時間ts（在ξ<0.7范圍內）卻會增大，靈敏性好但相對穩(wěn)定性差，ξ過大，ξ>1，則tr

，ts均會增大，系統(tǒng)不靈敏。因此一般取ξ在0.4-0.8之間。當ξ=0.7時，Mp和ts均小，這時Mp=4.6%,ξ=0.7為最佳阻尼比。二階系統(tǒng)的時間響應例1

有一位置隨動系統(tǒng)的結構圖如圖所示，其中K＝4。求該系統(tǒng)的：①自然頻率；②阻尼比；③超調量和調節(jié)時間；④如果要求ξ＝0.707，應怎樣改變系統(tǒng)參數(shù)K值。解：由圖可知由此得_Xi(s)Xo(s)隨動系統(tǒng)結構圖①自然振蕩角頻率②阻尼比二階系統(tǒng)的時間響應③超調量④當要求ξ＝0.707時，調節(jié)時間二階系統(tǒng)的時間響應例2：圖a)所示機械系統(tǒng)，當在質量塊M上施加f(t)=8.9N的階躍力后，M的位移時間響應如圖b)。試求系統(tǒng)的質量m、彈性系數(shù)k和粘性阻尼系數(shù)c的值。mf(t)kcxo(t)a)00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)二階系統(tǒng)的時間響應解：根據(jù)牛頓第二定律：

其中，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：二階系統(tǒng)的時間響應由于F(s)=L[f(t)]=L[8.9]=8.9/s，因此根據(jù)拉氏變換的終值定理：由圖b)知xo()=0.03m，因此：k=8.9/0.03=297N/m二階系統(tǒng)的時間響應又由圖b)知：解得：

=0.6又由：代入，可得n=1.96rad/s根據(jù)解得m=77.3Kg，c=181.8Nm/s

二階系統(tǒng)的時間響應三階以上的系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)3.4

高階系統(tǒng)的時間響應高階系統(tǒng)簡化分析：若有主導極點存在，則簡化為只有主導極點的系統(tǒng)（主導極點為實極點則簡化為一階系統(tǒng)；主導極點為共軛復極點則簡化為二階系統(tǒng)）；若有偶極子存在，則忽略這對偶極子的作用。主導極點是指在系統(tǒng)所有閉環(huán)極點中，距離虛軸最近且周圍沒有閉環(huán)零點的極點，而其它所有其它極點都遠離虛軸。閉環(huán)主導極點通常是以共軛復數(shù)極點的形式出現(xiàn)。偶極子是指高階系統(tǒng)的某閉環(huán)極點與一個零點在同一位置或相距很近，且遠離原點及其它極點，則該極點對系統(tǒng)的影響很小。這一對作用相互抵消的零極點稱為偶極子。(s2+2s+5)(s+6)30Φ1(s)=σ%=19.1%ts=3.89s(s2+2s+5)5Φ2(s)=σ%=20.8%ts=3.74s增加極點對ξ有何影響？主導極點高階系統(tǒng)的時間響應例題:已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：求系統(tǒng)近似單位階躍響應。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點形式為：高階系統(tǒng)的時間響應-10-20-20.03-6071.4-71.40j由系統(tǒng)零極點分布圖可見，零點z1＝-20.03和極點p1＝-20構成一對偶極子，可以消去，共軛復數(shù)極點p3,4＝-10±j71.4與極點p2＝-60相距很遠，p3,4為系統(tǒng)的主導極點，p2對響應的影響可以忽略，從而系統(tǒng)簡化為：高階系統(tǒng)的時間響應n=72.11rad/s，=0.139系統(tǒng)的近似單位階躍響應為：高階系統(tǒng)的時間響應tc

(t)0原系統(tǒng)等效二階系統(tǒng)單位階躍響應tc(t)0-10±j71.4-60-20瞬態(tài)輸出分量高階系統(tǒng)的時間響應一、穩(wěn)態(tài)誤差定義考慮圖示反饋控制系統(tǒng)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E

(s)G(s)1、偏差信號(t)E(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)偏差信號E(s)定義為系統(tǒng)輸入Xi(s)與系統(tǒng)主反饋信號B(s)之差，即：3.5系統(tǒng)誤差分析與計算誤差信號E(s)定義為系統(tǒng)希望輸出Xor(s)與系統(tǒng)實際輸出Xo(s)之差，即：E1(s)=Xor(s)－Xo(s)系統(tǒng)誤差分析與計算2、誤差信號E1(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)G(s)μ(s)E1(s)Xor(s)控制系統(tǒng)的希望輸出Xor(s)為偏差信號(s)＝0時的實際輸出值，即此時控制系統(tǒng)無控制作用，實際輸出等于希望輸出：Xo(s)＝Xor(s)可得：Xor(s)＝Xi(s)/H(s)對于單位反饋系統(tǒng)，H(s)＝1，Xor(s)＝Xi(s)對單位反饋系統(tǒng)：E(s)＝E1(s)系統(tǒng)誤差分析與計算3、偏差信號E(s)與誤差信號E1(s)的關系穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)的期望輸出與實際輸出在穩(wěn)定狀態(tài)（t）下的差值，即誤差信號e(t)的穩(wěn)態(tài)分量：穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)最終控制精度的性能指標。系統(tǒng)誤差分析與計算4、穩(wěn)態(tài)誤差ess當sE1(s)的極點均位于s平面左半平面（包括坐標原點）時，根據(jù)拉氏變換的終值定理，有：系統(tǒng)誤差分析與計算二、與輸入有關的穩(wěn)態(tài)誤差1、終值定理利用拉氏變換的終值定理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：系統(tǒng)誤差分析與計算2、穩(wěn)態(tài)誤差的計算系統(tǒng)誤差分析與計算對于單位反饋系統(tǒng)：顯然，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差(誤差)決定于輸入Xi(s)和開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)，即決定于輸入信號的特性及系統(tǒng)的結構和參數(shù)。

例題：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

G(s)=1/Ts求其在單位階躍輸入、單位單位速度輸入、單位加速度輸入以及正弦信號sint輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)誤差分析與計算解：該單位反饋系統(tǒng)在輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為：①在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：②在單位速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：③在單位加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：系統(tǒng)誤差分析與計算④sint輸入時：由于上式在虛軸上有一對共軛極點，不能利用拉氏變換的終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差。對上式拉氏反變換后得：系統(tǒng)誤差分析與計算穩(wěn)態(tài)輸出為：系統(tǒng)誤差分析與計算而如果采用拉氏變換的終值定理求解，將得到錯誤得結論：此例表明，輸入信號不同，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差也不同；并且終值定理實際使用過程中，一定要驗證SE1(s)是否滿足解析條件系統(tǒng)誤差分析與計算三、輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)偏差

開環(huán)傳遞函數(shù)為：H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E

(s)G(s)系統(tǒng)誤差分析與計算

控制系統(tǒng)類型開環(huán)傳遞函數(shù)為：v-----串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v=0—0型系統(tǒng)v=1—Ⅰ型系統(tǒng)v=2—Ⅱ型系統(tǒng)隨著v增加，系統(tǒng)的控制精度將得到改善，但增加類型號會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性惡化。因此，一般不對v>2的系統(tǒng)作研究。系統(tǒng)誤差分析與計算1、輸入為單位階躍信號

令Kp稱為位置無偏系數(shù)系統(tǒng)誤差分析與計算

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①對于0型系統(tǒng)②對于I型系統(tǒng)③對于Ⅱ型系統(tǒng)系統(tǒng)誤差分析與計算2、輸入為單位斜坡信號

令Kv稱為速度無偏系數(shù)系統(tǒng)誤差分析與計算

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①對于0型系統(tǒng)②對于I型系統(tǒng)③對于Ⅱ型系統(tǒng)系統(tǒng)誤差分析與計算3、輸入為單位加速度信號

令Ka稱為速度無偏系數(shù)系統(tǒng)誤差分析與計算

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①對于0型系統(tǒng)②對于I型系統(tǒng)③對于Ⅱ型系統(tǒng)系統(tǒng)誤差分析與計算

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穩(wěn)態(tài)偏差型別Ⅱ型Ⅰ型

0型系統(tǒng)

幾點結論

不同類型的輸入信號作用于同一控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)偏差不同；相同的輸入信號作用于不同類型的控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)偏差也不同。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差與其開環(huán)增益有關，開環(huán)增益越大，穩(wěn)態(tài)偏差越小。0型系統(tǒng)常稱為有差系統(tǒng)或0階無差系統(tǒng)；I型常稱為一階無差系統(tǒng)；II

型系統(tǒng)常稱為二階無差系統(tǒng)。系統(tǒng)誤差分析與計算系統(tǒng)誤差分析與計算

令為輸入信號的階次，當<v時，無偏差；當=v時，偏差為常數(shù)；當>v時，偏差為無窮大；

系統(tǒng)在多個信號共同作用下總的穩(wěn)態(tài)偏差等于多個信號單獨作用下的穩(wěn)態(tài)偏差之和。

穩(wěn)態(tài)偏差與型別的關系表只對相應的階躍、速度及加速度輸入有意義。xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)I型系統(tǒng)的單位速度響應xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)II型系統(tǒng)的單位加速度響應系統(tǒng)誤差分析與計算xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)0型系統(tǒng)的單位階躍響應

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例2

系統(tǒng)結構圖如圖所示已知輸入求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。_Xi(s)Xo(s)Ts+1ε(s)解:系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)誤差分析與計算

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①②系統(tǒng)誤差分析與計算系統(tǒng)誤差分析與計算四、擾動引起的穩(wěn)態(tài)偏差和系統(tǒng)總偏差1、擾動引起的穩(wěn)態(tài)偏差

G1(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)G2(s)N(s)++當只有干擾信號作用下，系統(tǒng)偏差為：系統(tǒng)誤差分析與計算G1(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)G2(s)N(s)++當只有干擾信號作用下，系統(tǒng)輸出為：則系統(tǒng)偏差為：所以，擾動引起的穩(wěn)態(tài)偏差：系統(tǒng)誤差分析與計算擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差：本章小結

華中科技大學文華學院模型G(s)性能指標二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線ξ＝0ξ＝1ξ＝2ξ＝0.1本章小結

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欠阻尼二階系統(tǒng)暫態(tài)性能指標給定輸入量的穩(wěn)態(tài)偏差的求取方法靜態(tài)誤差系數(shù)法:直接法：終值定理法：（sE1(s)的極點均位于s平面左半平面（包括坐標原點）

）（開環(huán)放大系數(shù)Kk是指開環(huán)傳遞函數(shù)以尾“1”的形式表示）注意：