chp68反常積分與伽瑪函數(shù)

二、無界函數(shù)的積分第八節(jié)正常積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣一、無窮區(qū)間上的積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束反常積分(廣義積分)反常積分與伽瑪函數(shù)

第六章一、無窮區(qū)間上的積分引例.

曲線和直線及

x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義1.

設(shè)若存在,則稱此極限為

f(x)在[a,+∞)上的廣義積分,記作這時(shí)稱廣義積分收斂

;如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散

.類似地,若則定義機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則定義(c

為任意取定的常數(shù))只要有一個(gè)極限不存在,就稱發(fā)散.無窮區(qū)間上的廣義積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說明:

上述定義中若出現(xiàn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束它表明該反常積分發(fā)散.引入記號則有類似N

–L公式的計(jì)算表達(dá)式:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例.

計(jì)算廣義積分解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:分析:原積分發(fā)散!注意:

對廣義積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.例.

證明第一類p

積分證:當(dāng)p=1時(shí)有當(dāng)p≠1時(shí)有當(dāng)p>1時(shí)收斂;p≤1

時(shí)發(fā)散.因此,當(dāng)p>1

時(shí),廣義積分收斂,其值為當(dāng)p≤1

時(shí),廣義積分發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例.

計(jì)算廣義積分解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、無界函數(shù)的廣義積分引例:曲線所圍成的與

x軸,y

軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義2.

設(shè)而在點(diǎn)a

的右鄰域內(nèi)無界,存在,這時(shí)稱廣義積分收斂;如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散.類似地,若而在b

的左鄰域內(nèi)無界,若極限數(shù)f(x)在(a,b]上的廣義積分(或瑕積分),記作則定義機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則稱此極限為函若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類說明:而在點(diǎn)

c

的無界函數(shù)的積分又稱作第二類廣義積分,無界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無界,為瑕點(diǎn).例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束間斷點(diǎn),而不是反常(廣義)積分.則本質(zhì)上是正常積分,則定義下述解法是否正確:,∴積分收斂例.

計(jì)算廣義積分解:

顯然瑕點(diǎn)為

a,所以原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例.

討論廣義積分的收斂性.解:所以廣義積分發(fā)散.三、函數(shù)1.定義機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束下面證明這個(gè)特殊函數(shù)在內(nèi)收斂.令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束綜上所述,2.性質(zhì)遞推公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證:(分部積分)注意到:內(nèi)容小結(jié)1.廣義積分積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界正常積分的極限2.兩個(gè)重要的反常積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:(1)

有時(shí)通過換元,廣義積分和正常積分可以互相轉(zhuǎn)化.例如,(2)

當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的廣義積分.第五節(jié)目錄上頁下頁