第八單元《小數(shù)乘法和除法(二)》教材分析

第八單元《小數(shù)乘法和除法（二）》教材分析作者:沈重予

錄入時(shí)間:2005-9-21

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本單元在第六單元的基礎(chǔ)上繼續(xù)教學(xué)小數(shù)乘小數(shù)和除數(shù)是小數(shù)的除法。以筆算為重點(diǎn)，帶出求積和商的近似數(shù)、乘法分配律和除法性質(zhì)在小數(shù)乘、除法中同樣適用等知識(shí)。計(jì)算小數(shù)除法往往會(huì)出現(xiàn)商是循環(huán)小數(shù)的情況，在例題里簡(jiǎn)要介紹什么樣的小數(shù)是循環(huán)小數(shù)，把有關(guān)循環(huán)小數(shù)的其余知識(shí)都安排在“你知道嗎”里，不是必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)。教材中安排了許多實(shí)際問題，通過(guò)這些問題的解答，讓學(xué)生了解小數(shù)計(jì)算在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用，更好地理解常見的數(shù)量關(guān)系，發(fā)展解決問題的策略和思路，鞏固學(xué)過(guò)的面積公式。全單元內(nèi)容分成兩部分編排，先教學(xué)小數(shù)乘法，再教學(xué)小數(shù)除法。在兩部分里都是先安排計(jì)算法則的教學(xué)，再安排其他內(nèi)容的教學(xué)。在編寫上有以下特點(diǎn)。1.突出轉(zhuǎn)化思想和推理活動(dòng)。在教學(xué)新知識(shí)的時(shí)候，轉(zhuǎn)化的價(jià)值經(jīng)常表現(xiàn)在溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系，用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決新的數(shù)學(xué)問題。教材引導(dǎo)學(xué)生把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，在獲得新知識(shí)的同時(shí)體驗(yàn)轉(zhuǎn)化策略。計(jì)算小數(shù)乘小數(shù)，把兩個(gè)因數(shù)都看成整數(shù)，如果它們分別乘10，積也發(fā)生了相應(yīng)的變化。把整數(shù)乘整數(shù)的積回歸到小數(shù)乘小數(shù)的積，要除以100。這個(gè)過(guò)程是嚴(yán)密的推理過(guò)程，應(yīng)用了乘法中積的變化規(guī)律和小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)的規(guī)律。同樣，把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，是應(yīng)用商不變性質(zhì)的推理活動(dòng)。教材組織學(xué)生開展推理，由“扶”到“放”地安排推理活動(dòng)，提高學(xué)生的推理能力。2.細(xì)致安排計(jì)算法則的教學(xué)。為了讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)小數(shù)乘、除法的計(jì)算法則，教材從實(shí)際出發(fā)，把法則的教學(xué)分兩步進(jìn)行：第一步，乘法和除法各先安排一道例題，通過(guò)轉(zhuǎn)化和推理得出計(jì)算法則。第二步，再分別安排一道例題，解決使用法則的難點(diǎn)。教材把教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)適度分離，有利于學(xué)生循序漸進(jìn)地掌握法則。鞏固法則的練習(xí)有層次。先是法則關(guān)鍵內(nèi)容的專項(xiàng)練習(xí)，再是應(yīng)用法則獨(dú)立計(jì)算，然后是改錯(cuò)練習(xí)。這樣安排符合學(xué)習(xí)規(guī)律，滿足學(xué)習(xí)的需要，能提高練習(xí)的效率。3.計(jì)算方式多樣化。本單元以筆算為主，同時(shí)也適當(dāng)安排口算、估算和用計(jì)算器計(jì)算?？谒闶钦莆展P算方法后進(jìn)行的，直接說(shuō)出比較容易的小數(shù)乘、除法的得數(shù)，能進(jìn)一步鞏固處理小數(shù)點(diǎn)的方法和技巧。估算用于解決實(shí)際問題，在不要求精確結(jié)果的情況下使用，替代了筆算。計(jì)算器用于較繁的小數(shù)乘、除法和探索規(guī)律。計(jì)算方式多樣化體現(xiàn)了解決問題策略的多樣性與靈活性。一、點(diǎn)撥轉(zhuǎn)化方向，組織推理過(guò)程，凸現(xiàn)法則的關(guān)鍵內(nèi)容。在小數(shù)乘整數(shù)時(shí)，學(xué)生初步有了兩點(diǎn)體會(huì)：可以像整數(shù)乘法那樣乘；因數(shù)里有幾位小數(shù)，積也有幾位小數(shù)。這些初步的感受是學(xué)習(xí)小數(shù)乘小數(shù)的基礎(chǔ)。例1中“把這兩個(gè)小數(shù)都看成整數(shù)”又一次指出小數(shù)乘法可以先按整數(shù)乘法計(jì)算。“相乘后怎樣得到原來(lái)的積”是教學(xué)的重點(diǎn)，教材里安排兩次探究活動(dòng)：第一次在例1，思考虛線框里三個(gè)箭頭以及上面的“×10”“÷100”的意思，扶著學(xué)生經(jīng)歷推理過(guò)程；第二次在“試一試”，讓學(xué)生在三個(gè)箭頭上面的括號(hào)里填數(shù)，并寫出左邊豎式的積，獨(dú)立進(jìn)行推理。在兩次探究以后，比較各題中兩個(gè)因數(shù)與積的小數(shù)位數(shù)，發(fā)現(xiàn)“兩個(gè)因數(shù)一共有幾位小數(shù)，積就有幾位小數(shù)”這一規(guī)律，在理解算理的基礎(chǔ)上得出在積里點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)的操作方法。小數(shù)乘法的計(jì)算法則通過(guò)歸納推理的方式總結(jié)，要求學(xué)生說(shuō)說(shuō)計(jì)算上面兩題的體會(huì)，兩個(gè)小卡通的交流就是學(xué)生總結(jié)的法則。法則里最關(guān)鍵的內(nèi)容是怎樣確定積的小數(shù)點(diǎn)的位置，教材里設(shè)計(jì)了三種練習(xí)：首先在“練一練”里進(jìn)行專項(xiàng)練習(xí)；然后在第85頁(yè)第2題，選擇學(xué)生往往出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行識(shí)別和糾正；最后是第98頁(yè)第2題，把小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算與小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算融為一體，把舊知識(shí)納入新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。例5教學(xué)除數(shù)是小數(shù)的除法，突出三點(diǎn)：第一，在“除數(shù)是小數(shù)”這個(gè)新的計(jì)算情境和認(rèn)知沖突中提出“除數(shù)是小數(shù)的除法怎樣計(jì)算”這個(gè)問題。使學(xué)生想到已經(jīng)學(xué)過(guò)的小數(shù)除以整數(shù)，找到轉(zhuǎn)化的方向。學(xué)生已經(jīng)掌握了商不變性質(zhì)和移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的知識(shí)，能夠進(jìn)行7.98÷4.2變成79.8÷42的推理活動(dòng)。第二，教學(xué)在豎式上完成轉(zhuǎn)化的操作。先劃去4.2的小數(shù)點(diǎn)，把它變成整數(shù)；再把7．98的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，劃去原來(lái)的小數(shù)點(diǎn)，點(diǎn)出移動(dòng)后的小數(shù)點(diǎn)。轉(zhuǎn)化后的除法由學(xué)生完成，要注意商的小數(shù)點(diǎn)必須與被除數(shù)里移動(dòng)后的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。在這一點(diǎn)上，學(xué)生可能有疑惑。第三，例題教學(xué)的最后一個(gè)環(huán)節(jié)是反思，讓學(xué)生圍繞“怎樣把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法”這個(gè)問題充分討論與交流，這是小數(shù)除法法則的關(guān)鍵內(nèi)容。和小數(shù)乘法相似，小數(shù)除法也設(shè)計(jì)了三種練習(xí)：轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的專項(xiàng)練習(xí)；針對(duì)常見錯(cuò)誤的改錯(cuò)練習(xí)；把除數(shù)是整數(shù)的除法與除數(shù)是小數(shù)的除法進(jìn)行對(duì)比的練習(xí)。綜上所述，例1與例5在編寫時(shí)仔細(xì)研究了學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思維水平以及學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)的困難與需要。教學(xué)小數(shù)乘法和小數(shù)除法時(shí)，“轉(zhuǎn)化”的點(diǎn)撥方法不同，推理的組織程度不同。既重視計(jì)算法則，又不機(jī)械地灌輸和記憶法則。二、解決應(yīng)用法則時(shí)的難點(diǎn)，提高計(jì)算的正確率。計(jì)算小數(shù)乘法，在積里點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)時(shí)，如果位數(shù)不夠怎么辦?把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的乘法，如果被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比除數(shù)少怎么辦?這些都是應(yīng)用計(jì)算法則的難點(diǎn)問題，也是計(jì)算容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方。為此，教材安排例2和例6解決這些問題。第六單元移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的位置，學(xué)生已經(jīng)知道：如果位數(shù)不夠，可以用“0”補(bǔ)足。只要把這些方法應(yīng)用到例2和例6的情況中去，問題就解決了。例2的教學(xué)線索是突現(xiàn)矛盾、激活舊知，專項(xiàng)練習(xí)、新舊溝通。首先通過(guò)問題“要從積的右邊起數(shù)出幾位點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)”讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)784的位數(shù)不夠，利用矛盾激活已有的經(jīng)驗(yàn)。接著讓學(xué)生完成豎式計(jì)算，在點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)時(shí)體會(huì)“位數(shù)不夠，要在前面用‘0’補(bǔ)足”。然后是“練一練”安排在積里點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)的專項(xiàng)練習(xí)，掌握補(bǔ)“0”的要領(lǐng)。最后是第85頁(yè)第4題，在積里點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)，有時(shí)位數(shù)夠、有時(shí)位數(shù)不夠；有些只添整數(shù)部分的“0”、有些小數(shù)部分也添“0”。出現(xiàn)各種情況，使新舊知識(shí)融會(huì)貫通。例6的教學(xué)線索是演繹法則、示范方法，變式擴(kuò)展、專項(xiàng)練習(xí)。先指向算式1.1÷0.55提出問題“除數(shù)要乘幾?被除數(shù)呢?”使學(xué)生發(fā)現(xiàn)被除數(shù)是一位小數(shù)，比除數(shù)的小數(shù)位數(shù)少。然后示范了在被除數(shù)末尾先補(bǔ)“0”再移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的方法，要求學(xué)生思考被除數(shù)末尾為什么可以補(bǔ)“0”，以及轉(zhuǎn)化后小數(shù)點(diǎn)的位置，并把除法算完。“試一試”整數(shù)除以小數(shù)，是例題的變式。表面上似乎有點(diǎn)特殊，其實(shí)轉(zhuǎn)化并不難。在去掉除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)的同時(shí)，被除數(shù)3乘10是30。如果讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)例題和“試一試”中轉(zhuǎn)化的體會(huì)，他們對(duì)一個(gè)數(shù)除以小數(shù)應(yīng)該怎樣計(jì)算就清楚了。練習(xí)十七第1題是轉(zhuǎn)化的專項(xiàng)練習(xí)，包含了可能出現(xiàn)的各種情況，能幫助學(xué)生更好地掌握除數(shù)是小數(shù)的除法。三、選用不同的方法教學(xué)求積和商的近似值。求積的近似數(shù)，一般先算出積，再根據(jù)精確度的要求用“四舍五入法”取近似數(shù)。在這些數(shù)學(xué)活動(dòng)中，計(jì)算小數(shù)乘法以及用“四舍五入法”求近似數(shù)，都是學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)。因此，求積的近似數(shù)不要教學(xué)新的數(shù)學(xué)內(nèi)容?；谶@些思考，例3在編寫上有兩個(gè)特點(diǎn)：一是3.18×1.6的筆算已經(jīng)完成，只要把積保留兩位小數(shù)，避免教學(xué)精力過(guò)多用于筆算乘法，淡化求積的近似數(shù)這個(gè)主題；二是讓學(xué)生在橫式上填寫結(jié)果，把求近似數(shù)留給學(xué)生進(jìn)行。根據(jù)例題的編寫特點(diǎn)，教學(xué)時(shí)應(yīng)先讓學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)，再組織交流。交流的內(nèi)容是求近似數(shù)時(shí)的思考，使學(xué)生正確應(yīng)用“四舍五入法”。練習(xí)十五第4題先估計(jì)平行四邊形的面積，再計(jì)算并把得數(shù)保留一位小數(shù)。要讓學(xué)生明白估計(jì)和求近似數(shù)不是一回事。估計(jì)的時(shí)候把底和高分別看成比較接近的整數(shù)，通過(guò)口算整數(shù)乘法進(jìn)行的。求近似數(shù)一般先算出精確的積，再“四舍五入”。求商的近似數(shù)，不要把除法算完，只要除到適當(dāng)?shù)臅r(shí)候就可以求近似數(shù)。況且許多除法的商是循環(huán)小數(shù)，不可能最終除盡。因此，教學(xué)求商的近似數(shù)有兩個(gè)新內(nèi)容：一是循環(huán)小數(shù)的知識(shí)，二是求商的近似數(shù)只要除到什么時(shí)候就可以“四舍五入”。這兩個(gè)內(nèi)容，前一個(gè)安排例題教學(xué)，后一個(gè)讓學(xué)生在求商的近似數(shù)時(shí)體會(huì)。教材中關(guān)于循環(huán)小數(shù)的知識(shí)，只是讓學(xué)生聯(lián)系除法計(jì)算，體會(huì)如果繼續(xù)除下去，永遠(yuǎn)不會(huì)結(jié)束。原因是除的過(guò)程中“余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)”，“商也重復(fù)出現(xiàn)”。告訴學(xué)生這樣的商是循環(huán)小數(shù)，可以用“四舍五入法”取循環(huán)小數(shù)的近似數(shù)。上面這些內(nèi)容都在例7里教學(xué)。至于循環(huán)小數(shù)的定義，安排在教材的底注里。循環(huán)小數(shù)的其他知識(shí)，編寫在“你知道嗎”里讓學(xué)生閱讀，不列入基本的教學(xué)要求。“試一試”用計(jì)算器計(jì)算兩道除法，把得數(shù)保留三位小數(shù)。這里用計(jì)算器算有兩個(gè)原因：一是節(jié)省計(jì)算時(shí)間，不把精力耗費(fèi)在筆算上，而是用于求商的近似數(shù)；二是計(jì)算器一般能顯示10位數(shù)字，在計(jì)算器上可以看到50÷60的商是0．8333……64÷60的商是1．066……它們都有重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，都是循環(huán)小數(shù)。教學(xué)“試一試”還要注意一點(diǎn)，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)怎樣把得數(shù)保留三位小數(shù)，體會(huì)只要看小數(shù)部分第四位上的數(shù)，就能決定“四舍”還是“五入”。小數(shù)部分第五位以及后面各位上的數(shù)與求近似數(shù)無(wú)關(guān)。這些體會(huì)用于練習(xí)十八第2題，學(xué)生就知道只要除到商里有四位小數(shù)，就能保留三位小數(shù)，不必再除下去了。有些實(shí)際問題如果用“四舍五入法”求近似值，答案會(huì)不合理。如例8中300元錢買單價(jià)45元的足球，盡管300÷45的商接近7，最多只能買6個(gè)。又如“試一試”中126人乘船過(guò)河，每次限乘15人，雖然126÷15＝8.4，但至少要9次才能全部過(guò)河。類似這些問題，在前面幾冊(cè)教材里陸續(xù)出現(xiàn)過(guò)一些，由于學(xué)生在那時(shí)年齡小，缺乏生活經(jīng)驗(yàn)，因此只是初步接觸，完全理解這些問題還有困難。本單元讓學(xué)生再次學(xué)習(xí)這些問題，效果會(huì)好得多。這部分教材沒有教“進(jìn)一法”“去尾法”等新的求近似數(shù)的方法，也沒有出現(xiàn)這些方法的名稱。只是讓學(xué)生聯(lián)系現(xiàn)實(shí)的事情，憑生活經(jīng)驗(yàn)和理解能力，找到比較恰當(dāng)?shù)拇鸢?。教學(xué)時(shí)一定要注意這一點(diǎn)，以免加重不必要的負(fù)擔(dān)。四、讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)整數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)小數(shù)乘法同樣適用。學(xué)生已經(jīng)知道整數(shù)加法的運(yùn)算律對(duì)小數(shù)加法同樣適用，整數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)小數(shù)乘法是否適用?還需要驗(yàn)證。例4里有三組算式，先經(jīng)過(guò)計(jì)算知道同組的兩個(gè)算式得數(shù)相同，它們可以用等號(hào)連接。再觀察各個(gè)等式，分別得出小數(shù)乘法也有交換律、結(jié)合律和分配律。即整數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)小數(shù)乘法同樣適用。教材安排的學(xué)習(xí)活動(dòng)，不但是形成數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，還能培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)知態(tài)度。教學(xué)例4要注意兩點(diǎn)：一是圓圈里的等號(hào)必須在計(jì)算之后，根據(jù)左右兩式的得數(shù)相同，才能填寫。絕不能未經(jīng)計(jì)算就寫等號(hào)。如果不計(jì)算就寫等號(hào)，例4的教學(xué)就不是發(fā)現(xiàn)運(yùn)算律同樣適用，變成應(yīng)用運(yùn)算律改寫算式了，這是認(rèn)知程序上的邏輯錯(cuò)誤。二是要讓學(xué)生指著三個(gè)等式逐一說(shuō)說(shuō)各表示什么運(yùn)算律，使運(yùn)算律的內(nèi)涵更加清楚?！霸囈辉嚒焙汀熬氁痪殹倍际菓?yīng)用乘法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)有簡(jiǎn)便運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，教材不再編排例題。除了乘法運(yùn)算律，還有兩個(gè)整數(shù)的計(jì)算知識(shí)也要應(yīng)用到小數(shù)計(jì)算中來(lái)。一個(gè)是除法的性質(zhì)，安排在第93頁(yè)第10題，通過(guò)兩組算式的計(jì)算和比較，發(fā)現(xiàn)整數(shù)除法的性質(zhì)在小數(shù)除法中也同樣適用。另一個(gè)是四則混合運(yùn)算順序，安排在第93頁(yè)第11題，直接應(yīng)用于小數(shù)四則混合運(yùn)算。五、研究積與因數(shù)、商和被除數(shù)的大小關(guān)系，發(fā)展數(shù)感。在學(xué)生掌握小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算法則以后，教材安排他們進(jìn)一步研究積與因數(shù)的大小關(guān)系。第88頁(yè)第10題里有三組乘法題，每組中的三個(gè)算式的第一個(gè)因數(shù)都相同，第二個(gè)因數(shù)分別是大于1的數(shù)、1和小于1的數(shù)。通過(guò)計(jì)算與比較，發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)诙€(gè)因數(shù)大于1時(shí)，積比第一個(gè)因數(shù)大；當(dāng)?shù)诙€(gè)因數(shù)是1時(shí)，積等于第一個(gè)因數(shù)；當(dāng)?shù)诙€(gè)因數(shù)小于1時(shí)，積比第一個(gè)因數(shù)小。這是三組題的共同規(guī)律，這個(gè)規(guī)律對(duì)學(xué)生的數(shù)感有兩點(diǎn)作用：一是突破了原來(lái)的乘法觀念。整數(shù)乘法的積總是大于因數(shù)（另一個(gè)因數(shù)是1除外）。在小數(shù)乘法里還會(huì)出現(xiàn)積比因數(shù)小的情況，它是由于另一個(gè)因數(shù)小于1所造成的。雖然一個(gè)數(shù)乘小于1的數(shù)的意義不是本單元的教學(xué)任務(wù)，至少學(xué)生知道了積可以小于因數(shù)，這已經(jīng)是對(duì)原來(lái)觀念的突破。二是可以用于估計(jì)和反思筆算的結(jié)果是否合理。第11題在計(jì)算前先根據(jù)第二個(gè)因數(shù)的情況，說(shuō)出積大于還是小于第一個(gè)因數(shù)，這是估計(jì)。盡管這樣的估計(jì)與精確計(jì)算的誤差相當(dāng)大，但畢竟清楚了積的范圍。