第八章第二講：抽屜原理.課后練習(xí)

教學(xué)目標(biāo)學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)學(xué)目標(biāo)抽屜原理是一種特殊的思維方法，不但可以根據(jù)它來做出許多有趣的推理和判斷，同時(shí)能夠幫助同學(xué)證明很多看似復(fù)雜的問題。本講的主要教學(xué)目標(biāo)是：1．理解抽屜原理的基本概念、基本用法；2．掌握用抽屜原理解題的基本過程；3.能夠構(gòu)造抽屜進(jìn)行解題；4.利用最不利原則進(jìn)行解題；5.利用抽屜原理與最不利原則解釋并證明一些結(jié)論及生活中的一些問題。知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)撥一、知識(shí)點(diǎn)介紹抽屜原理有時(shí)也被稱為鴿籠原理，它由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確提出來并用來證明一些數(shù)論中的問題，因此，也被稱為狄利克雷原則．抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要而又基本的數(shù)學(xué)原理，利用它可以解決很多有趣的問題，并且常常能夠起到令人驚奇的作用．許多看起來相當(dāng)復(fù)雜，甚至無從下手的問題，在利用抽屜原則后，能很快使問題得到解決．二、抽屜原理的定義（1）舉例桌上有十個(gè)蘋果，要把這十個(gè)蘋果放到九個(gè)抽屜里，無論怎樣放，有的抽屜可以放一個(gè)，有的可以放兩個(gè)，有的可以放五個(gè)，但最終我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少我們可以找到一個(gè)抽屜里面至少放兩個(gè)蘋果。（2）定義一般情況下，把n＋1或多于n＋1個(gè)蘋果放到n個(gè)抽屜里，其中必定至少有一個(gè)抽屜里至少有兩個(gè)蘋果。我們稱這種現(xiàn)象為抽屜原理。三、抽屜原理的解題方案（一）、利用公式進(jìn)行解題蘋果÷抽屜＝商……余數(shù)余數(shù)：（1）余數(shù)＝1，結(jié)論：至少有（商＋1）個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里（2）余數(shù)＝，結(jié)論：至少有（商＋1）個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里（3）余數(shù)＝0，結(jié)論：至少有“商”個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里（二）、利用最值原理解題將題目中沒有闡明的量進(jìn)行極限討論，將復(fù)雜的題目變得非常簡(jiǎn)單，也就是常說的極限思想“任我意”方法、特殊值方法．知識(shí)精講知識(shí)精講模塊一、利用抽屜原理公式解題（一）、直接利用公式進(jìn)行解題（1）求結(jié)論只鴿子要飛進(jìn)個(gè)籠子，每個(gè)籠子里都必須有只，一定有一個(gè)籠子里有只鴿子．對(duì)嗎？向陽小學(xué)有730個(gè)學(xué)生，問：至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同一天？三個(gè)小朋友在一起玩，其中必有兩個(gè)小朋友都是男孩或者都是女孩．“六一”兒童節(jié)，很多小朋友到公園游玩，在公園里他們各自遇到了許多熟人．試說明：在游園的小朋友中，至少有兩個(gè)小朋友遇到的熟人數(shù)目相等．在任意的四個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差能被整除？證明：任取8個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)．任給11個(gè)數(shù)，其中必有6個(gè)數(shù)，它們的和是6的倍數(shù)．求證：可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)．求證：對(duì)于任意的8個(gè)自然數(shù)，一定能從中找到6個(gè)數(shù)a，b，c，d，e，f，使得是105的倍數(shù)．把1、2、3、…、10這十個(gè)數(shù)按任意順序排成一圈，求證在這一圈數(shù)中一定有相鄰的三個(gè)數(shù)之和不小于17．證明：在任意的6個(gè)人中必有3個(gè)人，他們或者相互認(rèn)識(shí)，或者相互不認(rèn)識(shí)．上體育課時(shí)，21名男、女學(xué)生排成3行7列的隊(duì)形做操．老師是否總能從隊(duì)形中劃出一個(gè)長(zhǎng)方形，使得站在這個(gè)長(zhǎng)方形4個(gè)角上的學(xué)生或者都是男生，或者都是女生?如果能，請(qǐng)說明理由；如果不能，請(qǐng)舉出實(shí)例．8個(gè)學(xué)生解8道題目．(1)若每道題至少被5人解出，請(qǐng)說明可以找到兩個(gè)學(xué)生，每道題至少被過兩個(gè)學(xué)生中的一個(gè)解出．(2)如果每道題只有4個(gè)學(xué)生解出，那么(1)的結(jié)論一般不成立．試構(gòu)造一個(gè)例子說明這點(diǎn).（2）求抽屜把十只小兔放進(jìn)至多幾個(gè)籠子里，才能保證至少有一個(gè)籠里有兩只或兩只以上的小兔？把125本書分給五⑵班的學(xué)生，如果其中至少有一個(gè)人分到至少4本書，那么，這個(gè)班最多有多少人？某班有16名學(xué)生，每個(gè)月教師把學(xué)生分成兩個(gè)小組．問最少要經(jīng)過幾個(gè)月，才能使該班的任意兩個(gè)學(xué)生總有某個(gè)月份是分在不同的小組里?（3）求蘋果班上有名小朋友，老師至少拿幾本書，隨意分給小朋友，才能保證至少有一個(gè)小朋友能得到不少于兩本書？海天小學(xué)五年級(jí)學(xué)生身高的厘米數(shù)都是整數(shù)，并且在厘米到厘米之間（包括厘米到厘米），那么，至少?gòu)亩嗌賯€(gè)學(xué)生中保證能找到個(gè)人的身高相同？一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽出了10道選擇題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為：基礎(chǔ)分10分，每道題答對(duì)得3分，答錯(cuò)扣1分，不答不得分。問：要保證至少有4人得分相同，至少需要多少人參加競(jìng)賽？（二）、構(gòu)造抽屜利用公式進(jìn)行解題在一只口袋中有紅色、黃色、藍(lán)色球若干個(gè)，小聰明和其他六個(gè)小朋友一起做游戲，每人可以從口袋中隨意取出個(gè)球，那么不管怎樣挑選，總有兩個(gè)小朋友取出的兩個(gè)球的顏色完全一樣．你能說明這是為什么嗎？紅、藍(lán)兩種顏色將一個(gè)方格圖中的小方格隨意涂色（見下圖），每個(gè)小方格涂一種顏色．是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？將每一個(gè)小方格涂上紅色、黃色或藍(lán)色．（每一列的三小格涂的顏色不相同），不論如何涂色，其中至少有兩列，它們的涂色方式相同，你同意嗎？從、、、、、這個(gè)偶數(shù)中至少任意取出多少個(gè)數(shù)，才能保證有個(gè)數(shù)的和是？（北京市第十一屆“迎春杯”刊賽）從1，2，3，4，…，1994這些自然數(shù)中，最多可以取個(gè)數(shù)，能使這些數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差都不等于9．（2023年第八屆“春蕾杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽）從、、、、、、、、、、和中至多選出個(gè)數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的倍．從1，3，5，7，…，97，99中最多可以選出多少個(gè)數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)?從整數(shù)1、2、3、…、199、200中任選101個(gè)數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)，其中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù).從1，2，3，……49，50這50個(gè)數(shù)中取出若干個(gè)數(shù)，使其中任意兩個(gè)數(shù)的和都不能被7整除，則最多能取出多少個(gè)數(shù)？從1，2，3，…，99，100這100個(gè)數(shù)中任意選出51個(gè)數(shù)．證明：(1)在這51個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)互質(zhì)；(2)在這51個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)的差等于50；(3)在這51個(gè)數(shù)中，一定存在9個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1．有49個(gè)小孩，每人胸前有一個(gè)號(hào)碼，號(hào)碼從1到49各不相同．現(xiàn)在請(qǐng)你挑選若干個(gè)小孩，排成一個(gè)圓圈，使任何相鄰兩個(gè)小孩的號(hào)碼數(shù)的乘積小于100，那么你最多能挑選出多少個(gè)孩子?要把61個(gè)乒乓球分裝在若干個(gè)乒乓球盒中，每個(gè)盒子最多可以裝5個(gè)乒乓球，問：至少有多少個(gè)盒子中的乒乓球數(shù)目相同？將400本書隨意分給若干同學(xué)，但是每個(gè)人不許超過11本，問：至少有多少個(gè)同學(xué)分到的書的本數(shù)相同？有蘋果和桔子若干個(gè)，任意分成堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？（難度等級(jí)※※※）在長(zhǎng)度是厘米的線段上任意取個(gè)點(diǎn)，是否至少有兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于厘米？在邊長(zhǎng)為3的正三角形內(nèi)，任意放入10個(gè)點(diǎn)，求證：必有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于1．在一個(gè)直徑為厘米的圓內(nèi)放入七個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)證明一定有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于厘米9條直線的每一條都把一個(gè)正方形分成兩個(gè)梯形，而且它們的面積之比為2∶3。證明：這9條直線中至少有3條通過同一個(gè)點(diǎn)。如圖，能否在行列的方格表的每一個(gè)空格中分別填上，，這三個(gè)數(shù)，使得各行各列及對(duì)角線上個(gè)數(shù)的和互不相同？并說明理由．（南京市第三屆“興趣杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽C卷第12題）如下圖=1\*GB3①，、、、四只小盤拼成一個(gè)環(huán)形，每只小盤中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盤中的全部糖果，也可取出2只相鄰盤中的全部糖果.要使1至13粒糖果全能取到，四只盤中應(yīng)各有粒糖果.把各只盤中糖果的粒數(shù)填在下圖=2\*GB3②中.圖=1\*GB3①圖=2\*GB3②如右圖，分別標(biāo)有數(shù)字的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)上，開始時(shí)相對(duì)的滾珠所標(biāo)的數(shù)字都不相同．當(dāng)兩個(gè)圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)．時(shí)鐘的表盤上按標(biāo)準(zhǔn)的方式標(biāo)著1，2，3，…，11，12這12個(gè)數(shù)，在其上任意做n個(gè)120°的扇形，每一個(gè)都恰好覆蓋4個(gè)數(shù)，每?jī)蓚€(gè)覆蓋的數(shù)不全相同．如果從這任做的n個(gè)扇形中總能恰好取出3個(gè)覆蓋整個(gè)鐘面的全部12個(gè)數(shù)，求n的最小值．模塊三、最不利原則（2023年第六屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”中國(guó)青年數(shù)學(xué)論壇趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽決賽）“走美”主試委員會(huì)為三～八年級(jí)準(zhǔn)備決賽試題．每個(gè)年級(jí)道題，并且至少有道題與其他各年級(jí)都不同．如果每道題出現(xiàn)在不同年級(jí)，最多只能出現(xiàn)次．本屆活動(dòng)至少要準(zhǔn)備道決賽試題．有一個(gè)布袋中有40個(gè)相同的小球，其中編上號(hào)碼1、2、3、4的各有10個(gè)，問：一次至少要取出多少個(gè)小球，才能保證其中至少有3個(gè)小球的號(hào)碼相同？黑色、白色、黃色的筷子各有8根，混雜地放在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩雙筷子。問至少要取多少根才能保證達(dá)到要求？有紅、黃、藍(lán)、白4色的小球各10個(gè)，混合放在一個(gè)布袋里．一次摸出小球8個(gè)，其中至少有幾個(gè)小球的顏色是相同的？?jī)蓚€(gè)布袋各有12個(gè)大小一樣的小球，且都是紅、白、藍(lán)各4個(gè)。從第一袋中拿出盡可能少的球，但至少有兩種顏色一樣的放入第二袋中；再?gòu)牡诙心贸霰M可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每種顏色的球不少于3個(gè)。這時(shí)，兩袋中各有多少個(gè)球？一個(gè)玻璃瓶里一共裝有44個(gè)彈珠，其中：白色的2個(gè)，紅色的3個(gè)，綠色的4個(gè)，藍(lán)色的5個(gè)，黃色的6個(gè)，棕色的7個(gè)，黑色的8個(gè)，紫色的9個(gè)．如果要求每次從中取出1個(gè)彈珠，從而得到2個(gè)相同顏色的彈珠，請(qǐng)問最多需要取幾次？（2023年中國(guó)臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔賽復(fù)賽）在張卡片上不重復(fù)地編寫上~，請(qǐng)問至少要隨意抽出幾張卡片才能保證所抽出卡片上的數(shù)相乘后之乘積可被整除？一副撲克牌，共54張，問：至少?gòu)闹忻龆嗌購(gòu)埮撇拍鼙ＷC