第八章-回歸方程的函數(shù)形式

第八章回歸方程的函數(shù)形式回憶參數(shù)線性模型和變量線性模型（見5.4）。我們所關(guān)注的是參數(shù)線性模型，而并不要求變量Y與X一定是線性的。在參數(shù)線性回歸模型的限制下，回歸模型的形式也有多種。我們將特別討論下面幾種形式的回歸模型：(1)對數(shù)線性模型(不變彈性模型)(2)半對數(shù)模型。(3)雙曲函數(shù)模型。(4)多項(xiàng)式回歸模型。上述模型的都是參數(shù)線性模型，但變量卻不一定是線性的。8.1三變量線性回歸模型以糖炒栗子需求為例，現(xiàn)在考慮如下需求函數(shù)：Y=(8-1)此處變量Xi是非線性的。但可將式(8-1)做恒等變換表示成另一種形式：lnYi=lnA+B2lnXi(8-2)其中，ln表示自然對數(shù)，即以e為底的對數(shù)；令B1=lnA(8-3)可以將式(8-2)寫為：lnYi=B1+B2lnXi(8-4)加入隨機(jī)誤差項(xiàng)，可將模型(8-4)寫為：lnYi=B1+B2lnXi+ui(8-5)(8-5)是一個(gè)線性模型，因?yàn)閰?shù)B1和B2是以線性形式進(jìn)入模型的；形如式(8-5)的模型稱為雙對數(shù)模型或?qū)?shù)-線性(log-linear)模型。一個(gè)非線性模型可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性(參數(shù)之間)模型的：令Yi*=lnYi,Xi*=lnXi則(8-5)可寫為：Yi*=B1+B2Xi*+ui(8-6)這與前面討論的模型相似：它不僅是參數(shù)線性的，而且變形后的變量Y*與X*之間也是線性的。如果模型(8-6)滿足古典線性回歸模型的基本假定，則很容易用普通最小二乘法來估計(jì)它，得到的估計(jì)量是最優(yōu)線性無偏估計(jì)量。雙對數(shù)模型(對數(shù)線性模型)的應(yīng)用非常廣泛，原因在于它有一個(gè)特性：斜率B2度量了Y對X的彈性。如果Y代表了商品的需求量，X代表了單位價(jià)格，Y代表Y的一個(gè)小的變動(dòng)，X代表X的一個(gè)小的變動(dòng)（Y/X是dY/dX的近似），E是需求的價(jià)格彈性，定義彈性E為：E===斜率×(8-7)對于變形的模型（8-6）B2=可得B2是Y對X的彈性。因?yàn)樗詫?shù)形式的改變量就是相對改變量：圖8-1a描繪了函數(shù)式(8-1)，圖8-2b是對式(8-1)做對數(shù)變形后的圖形。圖8-1b中的直線的斜率就是價(jià)格彈性的估計(jì)值(－B2)。由于回歸線是一條直線(Y和X都采取對數(shù)形式)，所以它的斜率(－B2)為一常數(shù)；又由于斜率等于其彈性：所以彈性為一常數(shù)—它與X的取值無關(guān)。由于這個(gè)特殊的性質(zhì)，雙對數(shù)模型(對數(shù)線性模型)又稱為不變彈性模型。例8.1對炒栗子的需求回顧炒栗子一例的散點(diǎn)圖，不難發(fā)現(xiàn)需求量和價(jià)格之間是近似線性關(guān)系的，因?yàn)椴⒎撬械臉颖军c(diǎn)都恰好落在直線上。如果用對數(shù)線性模型擬合表8-1給出的數(shù)據(jù)，情況又會(huì)怎樣？OLS回歸結(jié)果如下：lnYi=3.9617-0.2272lnXise=(0.0416)(0.0250)(8-8)t=(95.233)-(9.0880)r2=0.9116可知價(jià)格彈性約為－0.23，表明價(jià)格提高1個(gè)百分點(diǎn)，平均而言需求量將下降0.23個(gè)百分點(diǎn)。截距值3.96表示了lnX為零時(shí)，lnY的平均值，沒有什么具體的經(jīng)濟(jì)含義。r2=0.9166，表示logX解釋了變量logY91%的變動(dòng)。對數(shù)線性模型的假設(shè)檢驗(yàn)線性模型與對數(shù)線性模型的假設(shè)檢驗(yàn)并沒有什么不同。在隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布(均值為0，方差為)的假定下，每一個(gè)估計(jì)的回歸系數(shù)均服從正態(tài)分布。如果用的無偏估計(jì)量代替，則每一個(gè)估計(jì)的回歸系數(shù)服從自由度為(n－k)的t分布，其中k為包括截距在內(nèi)的參數(shù)的個(gè)數(shù)。在雙變量模型中，k為2，在三變量模型中，k為3，等等。根據(jù)式(8-8)的回歸結(jié)果，很容易檢驗(yàn)每一個(gè)估計(jì)的參數(shù)在5%的顯著水平下，都顯著不為零，t值分別為9.08(b2)，95.26(b1)，均超過了t臨界值2.306(自由度為8，雙邊檢驗(yàn))。8.3多元對數(shù)線性回歸模型雙變量對數(shù)線性回歸模型很容易推廣到模型中解釋變量不止一個(gè)的情形。例如，可將三變量對數(shù)模型表示如下：lnYi=B1+B2lnX2i+B3lnX3i+ui(8-9)偏斜率系數(shù)B2、B3又稱為偏彈性系數(shù)。B2是Y對X2的彈性(X3保持不變)，即在X3為常量時(shí)，X2每變動(dòng)1%，Y變化的百分比。由于此時(shí)X3為常量，所以稱此彈性為偏彈性。類似地，B3是Y對X3的(偏)彈性(X2保持不變)。簡而言之，在多元對數(shù)線性模型中，每一個(gè)偏斜率系數(shù)度量了在其他變量保持不變的條件下，應(yīng)變量對某一解釋變量的偏彈性。例8.2柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)模型(8-9)是著名的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)(Cobb-Douglasproductionfunction)(C-D函數(shù),Y=B1X2B2X3B3)。令Y表示產(chǎn)出，X2表示勞動(dòng)投入，X3表示資本投入，式(8-9)反映了產(chǎn)出與勞動(dòng)力、資本投入之間的關(guān)系。表8-2給出1955～1974年間墨西哥的產(chǎn)出Y，用國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP度量，勞動(dòng)投入X2，以及資本投入X3的數(shù)據(jù)。得到如下回歸結(jié)果1：lnYt=-1.6524+0.3397lnX2t+0.8640lnX3tse=(0.6062)(0.1857)(0.09343)(8-10)t=(-2.73)(1.83)(9.06)p=(0.014)(0.085)(0.000)R2=0.994偏斜率系數(shù)0.3397表示產(chǎn)出對勞動(dòng)投入的彈性，即在資本投入保持不變的條件下，勞動(dòng)投入每增加一個(gè)百分點(diǎn)，平均產(chǎn)出將增加34%。類似地，在勞動(dòng)投入保持不變的條件下，資本投入每增加一個(gè)百分點(diǎn)，產(chǎn)出將平均增加0.85個(gè)百分點(diǎn)。將兩個(gè)彈性系數(shù)相加，得到一個(gè)重要的經(jīng)濟(jì)參數(shù)—規(guī)模報(bào)酬參數(shù)(returnstoscaleparameter)，它反映了產(chǎn)出對投入的比例變動(dòng)。如果兩個(gè)彈性系數(shù)之和為1，則稱規(guī)模報(bào)酬不變(例如，同時(shí)增加勞動(dòng)和資本為原來的兩倍，則產(chǎn)出也是原來的兩倍)；如果彈性系數(shù)之和大于1，則稱規(guī)模報(bào)酬遞增(increasingreturnstoscale)。如果彈性系數(shù)之和小于1，則稱規(guī)模報(bào)酬遞減(decreasingreturnstoscale)。本例中，兩個(gè)彈性系數(shù)之和為1.1857，表明當(dāng)時(shí)墨西哥經(jīng)濟(jì)是規(guī)模報(bào)酬遞增的。R2值為0.995，表明(對數(shù))勞動(dòng)力和資本解釋了大約99.5%的(對數(shù))產(chǎn)出的變動(dòng)，表明了模型很好地?cái)M合了樣本數(shù)據(jù)。8.4半對數(shù)模型：被解釋變量是對數(shù)形式用來測量被解釋變量的增長率（相對變動(dòng)率）例8.4美國消費(fèi)信貸的增長率表8-3給出了美國1973～1987年間消費(fèi)者信貸的數(shù)據(jù)?，F(xiàn)求此期間信貸的增長率(Y)。復(fù)利計(jì)算公式：Yt=Y0(1+r)t(8-11)其中，Y0—Y的初始值Yt—第t期的Y值r—Y的增長率(復(fù)利率)將式(8-11)兩邊取對數(shù)，得：lnYt=lnY0+tln(1+r)令B1=lnY0B2=ln(1+r)可得lnYt=B1+B2t引進(jìn)隨機(jī)誤差項(xiàng)，得：lnYt=B1+B2t+ut(8-12)用普通最小二乘法來估計(jì)模型，得到如下回歸結(jié)果：lnYt=12.007+0.0946tse=(0.0319)(0.0035)t=(376.40)(26.03)R2=0.9824形如式(8-12)的回歸模型稱為半對數(shù)模型，因?yàn)閮H有一個(gè)變量以對數(shù)形式出現(xiàn)。斜率0.0946表示Y的年增長率為9.46%，因?yàn)?，在諸如式(8-12)的半對數(shù)模型中，斜率度量了給定解釋變量的絕對變化所引起的Y的比例變動(dòng)或相對變動(dòng)。將此相對改變量乘以100，就得到增長率。利用微分，可以證明：B2=8.5線性對數(shù)模型：解釋變量是對數(shù)形式度量解釋變量每變動(dòng)1%所引起的被解釋變量的絕對改變量。例8.5美國GNP與貨幣供給假定聯(lián)儲(chǔ)很關(guān)注貨幣供給的變動(dòng)對GNP的影響。表8-4給出了GNP和貨幣供給(用M2度量)的數(shù)據(jù)?？紤]下面模型：Yt=B1+B2lnX2t+ut(8-13)其中，Y=GNP，X=貨幣供給。用微分，可以證明：(8-14)因此，模型(8-13)中的斜率系數(shù)度量了Y的絕對變化量和X的相對變化量的比值。若乘以100，則式(8-14)給出了X每變動(dòng)一個(gè)百分點(diǎn)引起的Y的絕對變動(dòng)量?；貧w結(jié)果：Yt=-16329.0+2584.8lnXtt=(-23.494)(27.549)R2=0.9832發(fā)現(xiàn)貨幣供給每增加一個(gè)百分點(diǎn)，平均而言，GNP將增加25.84億美元。形如式(8-13)的線性對數(shù)模型常用于研究解釋變量每變動(dòng)1%，相應(yīng)應(yīng)變量的絕對變化量的情形。當(dāng)然，模型可以有不止一個(gè)的對數(shù)形式的解釋變量。每一個(gè)偏斜率系數(shù)度量了在其他變量保持不變的條件下，某一給定變量X每變動(dòng)1%所引起的應(yīng)變量的絕對改變量。8.6雙曲函數(shù)模型形如下式的模型稱為雙曲函數(shù)模型：Yi=B1+B2（）+ui(8-15)該模型變量之間是非線性，因?yàn)閄以倒數(shù)形式進(jìn)入模型的，但模型是參數(shù)線性模型。模型的顯著特征是，隨著X的無限增大，(1/Xi)將接近于零，Y將逐漸接近B1漸進(jìn)值或極值。雙曲函數(shù)模型的一些可能的形狀：平均固定成本若Y表示生產(chǎn)的平均固定成本(AFC)，也即總固定成本除以產(chǎn)出，X代表產(chǎn)出，則隨著產(chǎn)出的不斷增加，AFC將逐漸降低，最終接近其漸進(jìn)線(X=B1)。菲利普斯曲線(Philipscurve)工資的變化對失業(yè)水平的反映是不對稱的：失業(yè)率每變化一個(gè)單位，則在失業(yè)率低于自然失業(yè)率UN水平時(shí)的工資上升的比在當(dāng)失業(yè)率在自然失業(yè)率水平以上時(shí)快。B1表明了漸進(jìn)線的位置。菲利普斯曲線這條特殊的性質(zhì)可能是由于制度的因素，比如工會(huì)交易勢力