第五章卡方測(cè)驗(yàn)

第五章

卡方檢驗(yàn)第五章連續(xù)型資料資料離散型資料小樣本大樣本第一節(jié)

χ2的定義和分布ui~N(0,1)n一、χ2的定義和分布1、連續(xù)性資料的χ2定義：多個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)離差平方值的總和。

數(shù)量性狀(計(jì)數(shù)資料)質(zhì)量性狀2、次數(shù)資料的χ2定義其中：Oi－觀察次數(shù)

Ei－理論次數(shù)

k－觀察值類型數(shù)（或狀態(tài)數(shù)）次數(shù)資料

χ2統(tǒng)計(jì)量的意義為了便于理解，現(xiàn)結(jié)合一實(shí)例說明χ2(讀作卡方)統(tǒng)計(jì)量的意義。根據(jù)遺傳學(xué)理論，動(dòng)物的性別比例是1:1。統(tǒng)計(jì)某羊場(chǎng)一年所產(chǎn)的876只羔羊中，有公羔428只，母羔448只。按1:1的性別比例計(jì)算，公、母羔均應(yīng)為438只。以A表示實(shí)際觀察次數(shù)，T表示理論次數(shù)，可將上述情況列成表5-1。表5.1羔羊性別實(shí)際觀察次數(shù)與理論性別實(shí)際觀察次數(shù)A理論次數(shù)TA-T（A-T）2/T公428（A

1）438（T

1）-100.2283母448（A

2）438（T2）100.2283合計(jì)87687600.4566

二、χ2檢驗(yàn)的應(yīng)用

方差同質(zhì)性測(cè)驗(yàn)適合性測(cè)驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)第二節(jié)方差的同質(zhì)性檢驗(yàn)1、一個(gè)樣本方差的同質(zhì)性檢驗(yàn)【例4.20】（P71）[例5.1]硫酸銨施于水田表層試驗(yàn)，得4個(gè)小區(qū)的稻谷產(chǎn)量為517、492、514、522(kg)，計(jì)得樣本方差為175.6(kg)2。現(xiàn)要測(cè)驗(yàn)H0:對(duì)HA:，采用顯著水平=0.05。據(jù)可算得：

查附表4，在v=n－1=3時(shí)，/2和(1－

/2)水平的臨界值為：，。現(xiàn)，大于，在0.22～9.35范圍外，符合H0的概率小于0.05，H0被否定。結(jié)論:這一樣本并非從的總體中所抽取的。

若測(cè)驗(yàn)該樣本總體方差是否小于某給定總體方差C，則作一尾測(cè)驗(yàn)，即H0：≤C對(duì)HA：＞C,如果算得的＞，則否定H0，否則接受H0；這里應(yīng)用分布的右邊一尾。如果測(cè)驗(yàn)其是否大于C，則H0：≥C對(duì)HA：＜C，若算得的＜，則否定H0；這里應(yīng)用分布的左邊一尾。假設(shè)兩個(gè)樣本的樣本容量分別為n1和n2方差分別為S12和S22

，總體方差分別為σ12和σ22，當(dāng)檢驗(yàn)總體方差σ12和σ22是否同質(zhì)時(shí)，可用F檢驗(yàn)：當(dāng)F﹤Fα?xí)r，p>α,接受H0：σ12=σ22，即認(rèn)為兩個(gè)樣本的方差是同質(zhì)的；當(dāng)F＞Fα?xí)r，p<α,否定H0，接受HA：σ12≠σ22，即認(rèn)為兩個(gè)樣本的方差不是同質(zhì)的?！纠?.21】（P71）第三節(jié)適合性檢驗(yàn)一、適合性測(cè)驗(yàn)的定義

適合性測(cè)驗(yàn)是指根據(jù)調(diào)查結(jié)果測(cè)驗(yàn)未知總體是否符合已知理論規(guī)律的統(tǒng)計(jì)方法。二、適合性測(cè)驗(yàn)的步驟1．提出假設(shè):２．確定顯著水平３．檢驗(yàn)計(jì)算

求卡平方值，然后與標(biāo)準(zhǔn)的卡方值進(jìn)行比較．v=1(即k=2)時(shí)v≥2(即k≥3)時(shí)注意：適合性檢驗(yàn)一般為否定區(qū)在右尾的測(cè)驗(yàn)。４．統(tǒng)計(jì)推斷接受或否定無效假設(shè)，并作出專業(yè)上的解釋

例:玉米花粉粒中形成淀粉粒或糊精是一對(duì)相對(duì)性狀。淀粉粒遇碘呈藍(lán)色反應(yīng)，因而可以用碘試法直接觀察花粉粒的分離現(xiàn)象。某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)觀察淀粉質(zhì)與非淀粉質(zhì)玉米雜交的F1代花粉粒，經(jīng)碘處理后有3437粒呈藍(lán)色反應(yīng)，3482粒呈非藍(lán)色反應(yīng)。根據(jù)遺傳學(xué)理論可假設(shè)玉米花粉粒碘反應(yīng)為1∶1，由此可以計(jì)得3437+3482=6919?；ǚ壑校{(lán)色反應(yīng)與非藍(lán)色反應(yīng)的理論次數(shù)應(yīng)各為3459.5粒。設(shè)以O(shè)代表觀察次數(shù)，E代表理論次數(shù)，可將上列結(jié)果列成表7.2。表5.2玉米花粉粒碘反應(yīng)觀察次數(shù)與理論次數(shù)碘反應(yīng)觀察次數(shù)(O)理論次數(shù)(E)O－E(O－E)2/E藍(lán)色3437(O1)3459.5(E1)－22.50.1463非藍(lán)色3482(O2)3459.5(E2)＋22.50.1463總數(shù)6919691900.2926

此處要推論是否符合1∶1分離，只要看觀察次數(shù)與理論次數(shù)是否一致，故可用測(cè)驗(yàn)，可分為四個(gè)步驟：

（1）設(shè)立無效假設(shè)，即假設(shè)觀察次數(shù)與理論次數(shù)的差異由抽樣誤差所引起，即H0：花粉粒碘反應(yīng)比例為1∶1與HA：花粉粒碘反應(yīng)比例不成1∶1。

（2）確定顯著水平=0.05。

（3）在無效假設(shè)為正確的假定下，計(jì)算超過觀察值的概率，這可由計(jì)得值后，按自由度查附表6得到。試驗(yàn)觀察的值愈大，觀察次數(shù)與理論次數(shù)之間相差程度也愈大，兩者相符的概率就愈小。

（4）依所得概率值的大小，接受或否定無效假設(shè)在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往并不需要計(jì)算具體的概率值。若實(shí)得≥時(shí)，則H0發(fā)生的概率小于等于，屬小概率事件，H0便被否定；若實(shí)得＜時(shí)，則H0被接受。

例如表5.2資料，查附表4，當(dāng)時(shí)=3.84，實(shí)得

=0.2926小于，所以接受H0。即認(rèn)為觀察次數(shù)和理論次數(shù)相符，接受該玉米F1代花粉粒碘反應(yīng)比率為1∶1的假設(shè)。[例]大豆花色一對(duì)等位基因的遺傳研究，在F2獲得表7.3所列分離株數(shù)。問這一資料的實(shí)際觀察比例是否符合于3∶1的理論比值。表5.3大豆花色一對(duì)等位基因遺傳的適合性測(cè)驗(yàn)花色F2代實(shí)際株數(shù)(O)理論株數(shù)(E)O－E|O－E|－1/2(|O－E|－1/2)2/E紫色208216.75－8.758.250.3140白色8172.25＋8.758.250.9420總數(shù)28928901.2560

H0：大豆花色F2分離符合3∶1比率；HA：不符合3∶1比率。顯著水平=0.05。由于該資料只有k=2組，，故在計(jì)算值時(shí)需作連續(xù)性矯正。

由可得：

查附表6，?，F(xiàn)故應(yīng)接受H0，說明大豆花色這對(duì)性狀是符合3∶1比率，即符合一對(duì)等位基因的表型分離比例。

分離比例一類的適合性測(cè)驗(yàn)計(jì)算時(shí)，也可以不經(jīng)過計(jì)算理論次數(shù)，而直接得出(5·13)

其中，A和a分別為顯性組和隱性組的實(shí)際觀察次數(shù)；n=A+a，即總次數(shù)。本例資料代入(5.13)有：與(7·12)算得的值相同。

對(duì)于僅劃分為兩組(如顯性與隱性)的資料，如測(cè)驗(yàn)其與某種理論比率的適合性，則其值皆可用類似(5.13)的簡(jiǎn)式求出。這些簡(jiǎn)式列于表5.4。表5.4

測(cè)驗(yàn)兩組資料與某種理論比率符合度的值公式理論比率(顯性∶隱性)

公式1∶1(|A-a|-1)2/n2∶1(|A-2a|-1.5)2/2n3∶1(|A-3a|-2)2/3n15∶1(|A-15a|-8)2/15n9∶7(|7A-9a|-8)2/63n13∶3(|3A-13a|-8)2/63nr∶1[|A-ra|-(r+1)/2]2/rn[例]兩對(duì)等位基因遺傳試驗(yàn)，如基因?yàn)楠?dú)立分配，則F2代的四種表現(xiàn)型在理論上應(yīng)有9∶3∶3∶1的比率。有一水稻遺傳試驗(yàn)，以稃尖有色非糯品種與稃尖無色糯性品種雜交，其F2代得表5.5結(jié)果。試檢查實(shí)際結(jié)果是否符合9∶3∶3∶1的理論比率。表7.5F2代表型的觀察次數(shù)和根據(jù)9∶3∶3∶1算出的理論次數(shù)表現(xiàn)型稃尖有色非糯稃尖有色糯稻稃尖無色非糯稃尖無色糯稻總數(shù)觀察次數(shù)(O)491769086743理論次數(shù)(E)417.94139.31139.3146.44743O－E73.06-63.31-49.3139.560

首先，按9∶3∶3∶1的理論比率算得各種表現(xiàn)型的理論次數(shù)E，如稃尖有色非糯稻E=743×(9/16)=417.94，稃尖有色糯稻E=743×(3/16)=139.31，…。

H0：稃尖和糯性性狀在F2的分離符合9∶3∶3∶1；HA：不符合9∶3∶3∶1。顯著水平：=0.05。然后計(jì)算值

因本例共有k=4組，故=k-1=3。查附表6，

,現(xiàn)實(shí)得,所以否定H0，接受HA，即該水稻稃尖和糯性性狀在F2的實(shí)際結(jié)果不符合9∶3∶3∶1的理論比率。

這一情況表明，該兩對(duì)等位基因并非獨(dú)立遺傳，而可能為連鎖遺傳。

測(cè)驗(yàn)實(shí)際結(jié)果與9∶3∶3∶1理論比率的適合性，也可不經(jīng)過計(jì)算理論次數(shù)而直接用以下簡(jiǎn)式(5·14)

上式中的a1、a2、a3、a4分別為9∶3∶3∶1比率中各項(xiàng)表現(xiàn)型的實(shí)際觀察次數(shù)，n為總次數(shù)。如本例，可由(7·14)算得：

前面的=92.696，與此=92.706略有差異，系前者有較大計(jì)算誤差之故。實(shí)際資料多于兩組的值通式則為：(5·15)上式的mi為各項(xiàng)理論比率，ai為其對(duì)應(yīng)的觀察次數(shù)。如本例，亦可由(5·15)算得與此一致。第四節(jié)獨(dú)立性檢驗(yàn)一、獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義

根據(jù)處理及考察指標(biāo)的多少分為不同的列聯(lián)表：獨(dú)立性檢驗(yàn)又叫次數(shù)資料的相依性檢驗(yàn)。它是檢驗(yàn)兩個(gè)以上因子彼此之間是相互獨(dú)立的還是相互影響的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。二、獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)的步驟注意：獨(dú)立性檢驗(yàn)同樣為否定區(qū)在右尾的測(cè)驗(yàn)。2×2列聯(lián)表是指橫行和縱行皆分為兩組的資料。在作獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)時(shí)，其=(2－1)(2－1)=1，故計(jì)算值時(shí)需作連續(xù)性矯正。表5.52×2列聯(lián)表的一般形式一、2×2表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)c1c2總和r1o11o12R1=o11+o12r2o21o22R2=o21+o22總和C1

=o11+o21C2

=o12+o22T[例]調(diào)查經(jīng)過種子滅菌處理與未經(jīng)種子滅菌處理的小麥發(fā)生散黑穗病的穗數(shù)，得相依表5.7，試分析種子滅菌與否和散黑穗病穗多少是否有關(guān)。表5.7防治小麥散黑穗病的觀察結(jié)果處理項(xiàng)目發(fā)病穗數(shù)未發(fā)病穗數(shù)總數(shù)種子滅菌26(34.7)50(41.3)76種子未滅菌184(175.3)200(208.7)384總數(shù)210250460

假設(shè)H0：兩變數(shù)相互獨(dú)立，即種子滅菌與否和散黑穗病病穗多少無關(guān)；HA：兩變數(shù)彼此相關(guān)。顯著水平=0.05。根據(jù)兩變數(shù)相互獨(dú)立的假定，算得各組格的理論次數(shù)。如種子滅菌項(xiàng)的發(fā)病穗數(shù)O11=26，其理論次數(shù)E11=(210×76)/460=34.7，即該組格的橫行總和乘以縱行總和再除以觀察總次數(shù)(下同)；同樣可算得

O12=50的E12=(250×76)/460=41.3；

O21=184的E21=(210×384)/460=175.3；

O22=200的E22=(250×384)/460=208.7。以上各個(gè)E值填于表5.7括號(hào)內(nèi)。以上各個(gè)E值代入有

這里=(2－1)(2－1)=1，查附表4，，現(xiàn)實(shí)得，故P<0.05，應(yīng)否定H0。即種子滅菌與否和散黑穗病發(fā)病高低有相關(guān)，種子滅菌對(duì)防治小麥散黑穗病有一定效果。2×2表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)也可不經(jīng)過計(jì)算理論次數(shù)而直接得到值。2×2表的一般化形式如表5.8。按表中的符號(hào)表5.82×2表的一般化形式a11a12R1a21a22R2C1C2n(7·16)如本例各觀察次數(shù)代入(7·16)可得：二、2×C表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)2×C表是指橫行分為兩組，縱行分為C≥3組的相依表資料。在作獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)時(shí)，其=(2－1)(c－1)=c－1。由于c≥3,故不需作連續(xù)性矯正。[例5.9]進(jìn)行大豆等位酶Aph的電泳分析，193份野生大豆、223份栽培大豆等位基因型的次數(shù)列于表5.9，試分析大豆Aph等位酶的等位基因型頻率是否因物種而不同。表5.9野生大豆和栽培大豆Aph等位酶的等位基因型次數(shù)分布物種等位基因型總計(jì)123野生大豆G.soja29(23.66)68(123.87)96(45.47)193栽培大豆G.max22(27.34)199(143.13)2(52.53)223總計(jì)5126798416H0：等位基因型頻率與物種無關(guān)；HA：兩者有關(guān)，不同物種等位基因型頻率不同。顯著水平=0.05。根據(jù)H0算得各觀察次數(shù)的相應(yīng)理論次數(shù)：如觀察次數(shù)29的E=(193×51)/416=23.66，觀察次數(shù)22的E=(223×51)/416=27.34，…；將其填于表7.9的括號(hào)內(nèi)。再代入可得：

此處=(2－1)(3－1)=2。查附表6，，現(xiàn)，P<0.05，應(yīng)否定H0，接受HA。即不同物種Aph等位基因型頻率有顯著相關(guān)，或者說不同物種的Aph等位基因型頻率有顯著差別。2×C表獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)的值，也可直接由下式得到。2×C表的一般化形式如表5.10。(7·17)(i=1，2，3，…，c)表5.102×C表的一般化形式橫行因素縱行因素總計(jì)12…i…c1a11a12…a1i…a1cR12a21a22…a2i…a2cR2總計(jì)C1C2…Ci…Ccn三、r×c表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)

若橫行分r組，縱行分c組，且r≥3，c≥3，則為r×c相依表。對(duì)r×c表作獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)時(shí)，其=(r－1)(c－1)，計(jì)求值不需要連續(xù)性矯正。[例5.10]表5.11為不同灌溉方式下水稻葉片衰老情況的調(diào)查資料。試測(cè)驗(yàn)稻葉衰老情況是否與灌溉方式有關(guān)。表5.11水稻在不同灌溉方式下葉片的衰老情況灌溉方式綠葉數(shù)黃葉數(shù)枯葉數(shù)總計(jì)深水146(140.69)7(8.78)7(10.53)160淺水183(180.26)