工程電磁場高斯定律

1-2高斯定律根據(jù)物體的靜電表現(xiàn)，可分為三類：導(dǎo)電體（導(dǎo)體）、絕緣體（電介質(zhì)）、半導(dǎo)體。1.導(dǎo)體存在大量的可自由移動的電荷conductor2.絕緣體理論上認(rèn)為一個自由移動的電荷也沒有也稱電介質(zhì)

dielectric3.半導(dǎo)體介于上述兩者之間semiconductor一.導(dǎo)體的靜電平衡條件1.靜電平衡electrostaticequilibrium導(dǎo)體內(nèi)部和表面無自由電荷的定向移動，說導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)。2.導(dǎo)體靜電平衡的條件

4.導(dǎo)體表面上的E必垂直于表面。

5.導(dǎo)體如帶電，電荷只能分布于其表面。

3.導(dǎo)體為一等位體，導(dǎo)體表面必為等位面。導(dǎo)體靜電平衡時，導(dǎo)體各點電勢相等，即導(dǎo)體是等勢體，表面是等勢面。證：在導(dǎo)體上任取兩點和導(dǎo)體等勢是導(dǎo)體體內(nèi)電場強度處處為零的必然結(jié)果靜電平衡條件的另一種表述

二、電介質(zhì)及其極化polarization+-+-無外場時：有電場時:電偶極子排列的有序程度反映了介質(zhì)被極化的程度,排列愈有序說明極化愈烈單個電偶極子電位：內(nèi)多個電偶極子電位：1.極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電位2.描述極化強弱的物理量--極化強度宏觀上無限小微觀上無限大的體積元定義單位每個分子的電偶極矩其中：

實驗結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中

—電介質(zhì)的極化率體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位矢量恒等式：3.極化強度與極化電荷的關(guān)系電荷守恒定律：電介質(zhì)對電場的影響可歸結(jié)為極化化后極化電荷或電偶極子在真空中所產(chǎn)生的作用。極化電介質(zhì)所產(chǎn)生的電位等于電荷面密度為的面積電荷與電荷體密度為的體積電荷共同產(chǎn)生的電位。三、電通量(electricflux)藉助電力線認(rèn)識電通量通過任一面的電力線條數(shù)勻強電場通過任意面積元的電通量通過任意曲面的電通量怎么計算？把曲面分成許多個面積元每一面元處視為勻強電場通過閉合面的電通量討論正與負(fù)取決于面元的法線方向的選取如面元正方向向上知>0若如紅色虛線箭頭所示則<0S規(guī)定：面元方向由閉合面內(nèi)指向面外確定的值S>0<0電力線穿入電力線穿出四、靜電場的高斯定理Gausstheorem在真空中的靜電場內(nèi)，任一閉合面的電通量等于這閉合面所包圍的電量的代數(shù)和。除以靜電平衡條件導(dǎo)體上電荷的分布由導(dǎo)體的靜電平衡條件和靜電場的基本性質(zhì)，可以得出導(dǎo)體上的電荷分布。導(dǎo)體體內(nèi)處處不帶電證明：在導(dǎo)體內(nèi)任取體積元由高斯定理體積元任取證畢導(dǎo)體帶電只能在表面！例1均勻帶電球面根據(jù)電荷分布的對稱性，選取合適的高斯面(閉合面)解:取過場點的以球心o為心的球面總電量為半徑為求：電場強度分布先從高斯定理等式的左方入手先計算高斯面的電通量再根據(jù)高斯定理解方程過場點的高斯面內(nèi)電量代數(shù)和?><><如何理解面內(nèi)場強為0?過P點作圓錐則在球面上截出兩電荷元在P點場強方向如圖在P點場強方向如圖平面角：由一點發(fā)出的兩條射線之間的夾角單位：弧度補充：立體角的概念為半徑的弧長取一般的定義：射線長為線段元對某點所張的平面角平面角立體角面元dS對某點所張的立體角：錐體的“頂角”單位球面度對比平面角，取半徑為球面面元定義式弧度計算閉合曲面對面內(nèi)一點所張的立體角球面度計算閉合平面曲線對曲線內(nèi)一點所張的平面角平面例2均勻帶電的無限長的直線線密度對稱性的分析取合適的高斯面計算電通量利用高斯定理解出例3金屬導(dǎo)體靜電平衡時,體內(nèi)場強處處為0求證:體內(nèi)處處不帶電證明：在導(dǎo)體內(nèi)任取體積元由高斯定理體積元任取證畢解:真空中的高斯定律例4真空中無限大的帶電平面，面密度為，求距平面x處的電場強度。積分得：解得：一般形式的高斯定理極化電荷證：已知真空中：已知：定義：得：U

例1-7單心電纜如圖，內(nèi)外導(dǎo)體之間介質(zhì)有兩種，兩導(dǎo)體間電壓為U，求其電場分布。P17o解：在絕緣體中任意取一點P，到O點距離為ρ，過P點作同軸圓柱面，高為l，再在該面上下加兩個“蓋”，這樣就形成一個“高斯面S”,由于上下“蓋”上沒有D垂直穿過，因此應(yīng)用高斯定律：分別分析各層絕緣體中的電場強度為：由于電壓為已知，可以由電壓的計算公式：從而消去τ：于是絕緣體中場強為：通過兩個場強的公式發(fā)現(xiàn)：ρ＝ρ1時，E1最大ρ＝ρ2時，E2最大取ε1ρ

1＝ε2

ρ2時，E1＝E2且等于若單層絕緣的話，最大場強等于解:真空中的高斯定律習(xí)題：真空中無限大的帶電平面，面密度為，求距平面x處的電場強度。P5，例1-2積分得：解得：1-3基本方程、分界面上的銜接條件1.3.1基本方程(BasicEquation)靜電場是有源無旋場，靜止電荷是靜電場的源。BasicEquationandBoundaryCondition靜電場的基本方程為微分形式（旋度、散度）積分形式（環(huán)量、通量）構(gòu)成方程例1-9在真空中設(shè)半徑為a的球內(nèi)分布著電荷體密度為的電荷，已知球內(nèi)場強為式中A為常數(shù)，求及球外的電場強度。球坐標(biāo)系下:代入得：解：（1）球內(nèi)，利用微分形式高斯定律：（2）球外,利用積分形式的高斯公式得：包圍點P作高斯面()。1.3.2分界面上的銜接條件（BoundaryCondition)1.D的銜接條件（通量條件）則有根據(jù)D的法向分量不連續(xù)當(dāng)時，D的法向分量連續(xù)。介質(zhì)分界面圍繞點P作一矩形回路()。

E的切向分量連續(xù)。根據(jù)則有3.折射定理當(dāng)交界面上時，折射定律

介質(zhì)分界面2.E的銜接條件（環(huán)量條件）4、的銜接條件設(shè)P1與P2位于分界面兩側(cè)，

因此電位連續(xù)得電位的法向?qū)?shù)不連續(xù)由，其中電位的銜接條件說明（1）導(dǎo)體表面是等位面，E線與導(dǎo)體表面垂直；

導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面

解:分界面銜接條件導(dǎo)體中E＝0，分解面介質(zhì)側(cè)（2）導(dǎo)體表面上任一點的D等于該點的。

試寫出導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面上的銜接條件。解：忽略邊緣效應(yīng)圖(a)圖(b)例

試求兩個平行板電容器的電場強度。平行板電容器作業(yè)：P24：1-3-3P67：1-2P68:1-8(1)/(3)/(4)1.4邊值問題、惟一性定理1.4.1泊松方程與拉普拉斯方程泊松方程—拉普拉斯算子拉普拉斯方程當(dāng)r=0時邊值問題微分方程邊界條件初始條件場域邊界條件分界面銜接條件

強制邊界條件有限值自然邊界條件有限值泊松方程拉普拉斯方程1.4.2邊值問題場域邊界條件1）第一類邊界條件（狄里赫利條件)2）第二類邊界條件（諾依曼條件)3）第三類邊界條件已知邊界上電位及電位法向?qū)?shù)的線性組合已知邊界上導(dǎo)體的電位已知邊界上電位的法向?qū)?shù)(即電荷面密度或電力線)例1-12試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊值問題。

（陰影區(qū)域）圖纜心為正方形的同軸電纜

解：根據(jù)場分布的對稱性確定計算場域，邊值問題1.4.3惟一性定理（UniquenessTheorem)惟一性定理：在靜電場中，滿足給定邊界條件的電位微分方程的解是唯一的。解析法積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法有限差分法有限元法邊界元法矩量法積分方程法數(shù)值法1.8.1電容器的電容（CapacitanceofCapacitor)CapacitanceandDistributedCapacitance1.8電容及部分電容定義：單位：

電容只與兩導(dǎo)體的幾何尺寸、相互位置及周圍的介質(zhì)有關(guān)。

工程上的電容器：電力電容器，電子線路用的各種小電容器。電容的計算思路：設(shè)解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q，則同心球殼間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時（孤立導(dǎo)體球的電容）例1.8.1試求同心球殼電容器的電容。圖同心球殼電容器思考：無限長同軸導(dǎo)體圓柱面間的電容如何計算？1.8.2部分（分布）電容（DistributedCapacitance)圖三導(dǎo)體靜電獨立系統(tǒng)多導(dǎo)體系統(tǒng)靜電獨立系統(tǒng)部分電容基本概念導(dǎo)體的電位與電荷的關(guān)系為約束條件1.已知導(dǎo)體的電荷，求電位和電位系數(shù)導(dǎo)體i電位的貢獻(xiàn)；

ai

i

—自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體i上電荷對

a—電位系數(shù)，表明各導(dǎo)體電荷對各導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；

ai

j—互有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體j上的電荷對導(dǎo)體i電位的貢獻(xiàn)；ai

j=aji

矩陣形式2.已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù)

b—靜電感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；

bii—自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體i電位對導(dǎo)體i電荷的貢獻(xiàn)；

bij—互有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體j電位對導(dǎo)體i電荷的貢獻(xiàn)。βij＝βij矩陣形式：3.已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容矩陣形式部分電容的性質(zhì)靜電獨立系統(tǒng)中n＋1個導(dǎo)體有個部分電容Ci

j均為正值，

部分電容是否為零，取決于兩導(dǎo)體之間有否電力

線相連；

部分電容可將場的概念與電路結(jié)合起來。圖部分電容與電容網(wǎng)絡(luò)所以靜電屏蔽在工程上有廣泛應(yīng)用。靜電屏蔽

三導(dǎo)體系統(tǒng)的方程為：

4.靜電屏蔽當(dāng)時，

說明1號與2號導(dǎo)體之間無靜電聯(lián)系，實現(xiàn)了靜電屏蔽。1.9靜電能量與力1.9.1靜電能量(ElectrostaticEnergy)ElectrostaticEnergyandForce1.用場源表示靜電能量q3從移到c點，所需能量q2從移到b點，需克服q1的電場力做功，q1從移到a點不受力，所需能量W1=0，點電荷的能量總能量推廣1：

若有n個點電荷的系統(tǒng)，靜電能量為單位：J（焦耳）推廣2：

若是連續(xù)分布的電荷，

2.用場量表示靜電能量矢量恒等式能量密度因當(dāng)時，面積分為零，故能量1.9.2靜電力(ElectrostaticForce)1.虛位移法(VirtualDisplacementMethod)功=廣義力×廣義坐標(biāo)廣義力f：企圖改變廣義坐標(biāo)的力。廣義坐標(biāo)g：距離、面積、體積、角度。力的方向：f的正方向為g