第四章命題邏輯

第四章命題邏輯第一節(jié)負(fù)命題及其推理第二節(jié)聯(lián)言命題及其推理第三節(jié)選言命題及其推理第四節(jié)假言命題及其推理第五節(jié)命題邏輯的自然推理系統(tǒng)NP主講：莦業(yè)葵模態(tài)命題命題非模態(tài)命題簡(jiǎn)單命題是不包含其它命題的命題復(fù)合命題是由聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)若干命題而形成的命題命題的種類(lèi)復(fù)合命題有負(fù)命題、聯(lián)言命題、選言命題、假言命題等復(fù)合推理有負(fù)命題推理、聯(lián)言推理、選言推理、假言推理等。（1）小張歌唱得好并且舞跳得好。（2）他盡管工作很忙,但學(xué)習(xí)很努力。（3）生也有涯，知也無(wú)涯。

聯(lián)言命題：即合取命題，反映若干事物情況同時(shí)存在。第二節(jié)聯(lián)言命題及其推理命題形式：

p且q邏輯性質(zhì)：肢肢真，則∧真；任一肢假，則∧假pq

p∧qFFFFTFTFFTTTp∧q注：聯(lián)言命題的支命題稱為聯(lián)言支，一個(gè)聯(lián)言命題的聯(lián)言支至少有兩個(gè)，具有兩個(gè)以上聯(lián)言支的聯(lián)言命題與具有兩個(gè)聯(lián)言支的聯(lián)言命題，其邏輯性質(zhì)是相同的。第二節(jié)聯(lián)言命題及其推理在現(xiàn)代漢語(yǔ)中，表達(dá)邏輯學(xué)上合取的有：“并且”、“不僅，而且”、“不僅，還”、“既，又”、“盡管，仍然”、“…又…”、“雖然，但是”、“一方面，另一方面”、“…而…”等等。在日常用語(yǔ)中，合取詞常常被省略?！囊粍t征婚啟示中提出的基本擇偶條件

某女士提出擇偶條件，年齡25或26歲，身高180cm,身體魁偉，英俊，無(wú)任何不良嗜好，碩士畢業(yè)，國(guó)家干部，月收入7000元以上，住有豪宅，出入有名車(chē)。想一想：該女士是否容易找到理想愛(ài)人？第二節(jié)聯(lián)言命題及其推理練習(xí)：公安部網(wǎng)上通緝令

2000年7月31日，福建省福州市倉(cāng)山區(qū)發(fā)生一起故意殺人案，致使兩人死亡。2007年8月13日，福建省邵武市拿口鎮(zhèn)發(fā)生一起特大殺人案，致使4死、1重傷。經(jīng)查，陳金春有重大作案嫌疑，陳金春在逃。公安部網(wǎng)上發(fā)出A級(jí)通緝令對(duì)疑犯描述如下：

陳金春，男，40歲，福建省人，福州口音，瘦長(zhǎng)臉，黑皮膚，三角眼，身高170厘米，體形偏瘦。請(qǐng)判斷上述命題的類(lèi)型，并寫(xiě)出它的邏輯形式。聯(lián)言命題：A∧B∧C∧D∧E∧F∧G∧H∧I聯(lián)言支都為真時(shí)，則聯(lián)言命題為真。聯(lián)言支越多，鎖定范圍越小。ABCDEFGHI合取詞∧的真值表由∧的真值表,可得出∧運(yùn)算的規(guī)律:（1）∧的交換律：p∧q

q∧p（2）∧的結(jié)合律：p∧(q∧r)(p∧q)∧r（3）∧的重言（冪等）律：p∧p

ppq

p∧qFFFFTFTFFTTT第二節(jié)聯(lián)言命題及其推理

聯(lián)言推理：前提或結(jié)論是聯(lián)言命題，根據(jù)聯(lián)言命題的邏輯性質(zhì)進(jìn)行的推理。邏輯性質(zhì)：肢肢真，∧真；任一肢假，∧假1、合取引入規(guī)則2、合取消去規(guī)則推理有效式：第二節(jié)聯(lián)言命題及其推理由全部聯(lián)言支命題真推出聯(lián)言命題真的推理形式。推理形式：蘊(yùn)涵式表示為：

pq所以，p并且q（p，q）→p∧q[例]甲盜竊數(shù)額巨大，犯了盜竊罪。甲盜竊后將房屋燒毀，又犯了放火罪，所以，某甲犯了盜竊罪和放火罪。第二節(jié)聯(lián)言命題及其推理1、合取引入規(guī)則∧+由聯(lián)言命題的真，推出一個(gè)聯(lián)言支為真的推理形式。推理形式：p并且q所以,qp并且q所以,p蘊(yùn)涵式表示為：p∧q→pp∧q→q[例]言者無(wú)罪,聞?wù)咦憬?。所以，言者無(wú)罪。第二節(jié)聯(lián)言命題及其推理2、合取消去規(guī)則∧-[例1]此報(bào)告或材料不可靠，或計(jì)算有錯(cuò)誤。[例2]小李正在看書(shū)或者正在聽(tīng)音樂(lè)。[例3]要么武松打死老虎，要么老虎吃掉武松。

選言命題：即析取命題，反映若干事物情況中至少有一種情況存在的命題。注：選言命題的支命題稱為選言支。選言支可以有兩個(gè)，也可以有兩個(gè)以上。根據(jù)選言支之間是否具有并存關(guān)系，分為相容選言命題和不相容選言命題。第三節(jié)選言命題及其推理

趙勇和趙紅是兄妹，有一只共用的柜子，另外每人各有一把鎖和一把開(kāi)自己鎖的鑰匙。春天，兄妹倆在課余時(shí)間各自養(yǎng)了一盒蠶，并把蠶鎖在自己的抽屜里。蠶越長(zhǎng)越大，需要每天多次喂新鮮桑葉，兩人決定共同喂養(yǎng)，把兩盒蠶都放在共用柜子里，約定誰(shuí)先回家誰(shuí)就給蠶喂桑葉。妹妹提議給柜子上鎖。哥：“用我的鎖吧！我跑得快，比你先回家?！泵茫骸安灰欢?，有時(shí)你放學(xué)比我還晚！”哥：“你說(shuō)得有道理，但有時(shí)我比你先到家。究竟用誰(shuí)的鎖呢？”妹：“我有一個(gè)好主意，用我的鎖，再讓爸爸配一把鑰匙給你，不就解決問(wèn)題了嗎，”兄妹倆找到爸爸說(shuō)了這件事，爸爸就說(shuō)：“只要你們動(dòng)動(dòng)腦子，換一種鎖法，就不需要配鑰匙了.”案例：兄妹倆鎖柜子

想一想：兄妹倆需要怎樣一種鎖法。

相容選言命題：選言肢可同真

邏輯形式：p或q自然語(yǔ)言：或，或；可能，也可能；也許，也許邏輯性質(zhì)：肢肢假，則∨假；其余，則∨真。

當(dāng)至少有一個(gè)選言肢為真，選言命題一定為真。例：打開(kāi)柜子給蠶喂桑葉或者要哥哥打開(kāi)自己的鎖，或者要妹妹打開(kāi)自己的鎖。pqp∨qFFFFTTTFTTTT第三節(jié)選言命題及其推理p∨q∨的運(yùn)算規(guī)律∧和∨的混合運(yùn)算規(guī)律(1)∧對(duì)∨的分配律:p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)(2)∨對(duì)∧的分配律：p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)(3)吸收律：p∧(p∨q)pp∨(p∧q)p(4)德·摩根律：?(p∧q)?p∨?q?(p∨q)?p∧?q第三節(jié)選言命題及其推理(1)∨的交換律：p∨qq∨p，(2)∨的結(jié)合律：p∨(q∨r)(p∨q)∨r(3)∨的重言律：p∨p

p。用真值表檢驗(yàn)德·摩根律：?(p∧q)?p∨?q從上述真值表，可得：?(p∧q)<=>?p∨?q應(yīng)用德·摩根律的實(shí)例:并非這件衣服物美(而且)價(jià)廉

這件衣服或者物不美，或者價(jià)不廉。并非小李或者喜歡音樂(lè)，或者喜歡體育

小李既不喜歡音樂(lè)，也不喜歡體育。第三節(jié)選言命題及其推理TTFTTFFTTFFTTFTTFTFFTFFTFFTTp∨q(p∧q)p∧qqpqp齊國(guó)有一女子，長(zhǎng)得非常漂亮。到了出嫁年齡時(shí)有兩家前來(lái)求婚。一是村東一家，小伙子長(zhǎng)得英俊、聰明，但家境貧寒；一家是村西，小伙子長(zhǎng)得丑陋、愚頓，但家境殷實(shí)。父母左右為難，拿不定主意，決定征求女兒意見(jiàn)，女兒一聽(tīng)羞得滿臉通紅，被子蒙住頭不說(shuō)話。還是父親有辦法，說(shuō)：“如果你同意嫁給村東頭小伙子就伸出左手；如果你同意嫁給村西頭小伙就伸出右手?！迸畠翰患偎妓鞯赝瑫r(shí)伸出兩只手。母親“呼啦”一聲扯開(kāi)被子說(shuō)：“丫頭,你瘋了，這是什么意思？”女兒回答說(shuō)：“我想在西邊那家吃飯，東邊那家住宿?！蹦赣H罵道：“你真的瘋了，一女不嫁二夫呀！”想一想：該女子選擇有哪點(diǎn)不對(duì)？[案例]齊女擇婿邏輯形式：要么p，要么q自然語(yǔ)句：不是，就是；或，或，二者不可兼得等邏輯性質(zhì)：唯一肢真，則▽真；其余，則▽假。不相容選言命題：選言肢不同真

例：齊女要么嫁給村東一家小伙子，要么嫁給村西一家小伙子。

p

qp▽qFFFFTTTFTTTF第三節(jié)選言命題及其推理p

▽q

相容選言命題

選言肢可同真

pqp∨qFFFFTTTFTTTT邏輯形式：p∨q

邏輯性質(zhì)：肢肢假，∨假邏輯形式：p▽q邏輯性質(zhì)：唯一肢真，▽真不相容選言命題

選言肢不同真

p

qp▽qFFFFTTTFTTTF第三節(jié)選言命題及其推理海軍上將的笑話西方某國(guó)的海軍上將在一艘巡洋艦上召集全艦官兵訓(xùn)話：“你們都是這艦上的一分子嗎？”距離上將最近的一個(gè)水兵朝前跨了一步，高聲答道：“是的?！薄澳敲?，我要問(wèn)你一個(gè)問(wèn)題，”將軍指著艦上的一門(mén)炮說(shuō)，“在戰(zhàn)爭(zhēng)中，炮手陣亡時(shí)該怎么辦？”水兵環(huán)顧了一下左右，回答說(shuō)：“什么也不做！”“我是問(wèn)，如果炮手陣亡了，你該怎么辦？”將軍重復(fù)了一遍。“什么也不做！”水手還是那句話?！笆裁炊疾蛔?？難道你死了？”將軍火了?！皩?duì)，我已陣亡了?！薄拔覀兒＼娫趺磿?huì)有你這種混賬東西！”將軍破口大罵。“報(bào)告將軍，我就是那個(gè)炮手嘛！”“?。俊睂④娔康煽诖?，說(shuō)不出話來(lái)。想一想：請(qǐng)問(wèn)上將為什么出洋相？[案例分析]海軍上將的思維是這樣的：“眼前這位水手，或者是通信兵，或者是輪機(jī)手，或者是炊事員，或者是……”這是一個(gè)選言命題。

將軍什么可能情況都考慮到了，可是唯獨(dú)沒(méi)有考慮到那個(gè)水手可能就是炮手本人，即將軍所用的選言命題中，選言肢并沒(méi)有窮盡，所遺漏的選言肢，恰恰是為真的選言肢——“水手就是炮手本人”。也就是說(shuō)，將軍所用的選言命題的選言肢都是假的，整個(gè)選言命題也是假的。將軍的洋相就出在這里。

使用選言命題的注意事項(xiàng)人們?cè)谑褂眠x言命題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到選言支是否窮盡的問(wèn)題。所謂選言支窮盡與否，就是指選言命題是否反映了事物的全部可能情況。如果一個(gè)選言命題的選言支是窮盡的，就能保證至少有一個(gè)選言支是真的，反之，如果一個(gè)選言命題的選言支不是窮盡的，那么就不能保證至少有一個(gè)選言支為真，這樣的選言命題就可能假。例如，某偵查人員根據(jù)某甲或某乙到過(guò)作案現(xiàn)場(chǎng)，就得出這樣的結(jié)論：“某甲是兇手或者某乙是兇手”。但經(jīng)查，某甲和某乙都不是兇手。這說(shuō)明某偵查員所作的選言命題并沒(méi)有窮盡所有的選言支，因而是一個(gè)假命題。第三節(jié)選言命題及其推理使用選言命題的注意事項(xiàng)一個(gè)選言命題，如果選言支窮盡，它就一定是真的，但是，一個(gè)真的選言命題，其選言支不一定是窮盡的。因?yàn)橹灰粋€(gè)選言命題滿足了“至少有一個(gè)選言支是真的”這個(gè)條件，它就是真的。如上例中，如果兇手確實(shí)是某甲，即便這一選言命題的支命題不窮盡，這一選言命題也是真的。當(dāng)然，我們也應(yīng)注意到，選言支是否窮盡不是邏輯學(xué)所能解決的問(wèn)題，因?yàn)檫壿媽W(xué)只從形式上研究命題的真假性質(zhì)，而不研究?jī)?nèi)容的真假。第三節(jié)選言命題及其推理

選言推理：前提或結(jié)論是選言命題，根據(jù)選言命題的邏輯性質(zhì)進(jìn)行的推理。*

相容選言的推理

邏輯性質(zhì)：肢肢假，則∨假；其余，則∨真推理有效式：第三節(jié)選言命題及其推理1、析取消去規(guī)則2、析取引入規(guī)則*相容選言的推理推理形式：蘊(yùn)涵式：p或者q非p所以,qp或者q非q所以,p（p∨q）∧

?p→q（p∨q）∧

?q→p[例]該案的作案人或者是甲，或者是乙；現(xiàn)已查明該案的作案人不是甲；所以，該案的作案人是乙。第三節(jié)選言命題及其推理1、析取消去規(guī)則∨-

*相容選言的推理某甲犯錯(cuò)誤或是立場(chǎng)原因或是認(rèn)識(shí)原因，某甲犯錯(cuò)誤是認(rèn)識(shí)原因；所以，某甲犯錯(cuò)誤不是立場(chǎng)原因。推理形式無(wú)效相容選言推理的兩條規(guī)則：（1）否定一部分選言支，就要肯定另一部分選言支。（2）肯定一部分選言支，不能否定另一部分選言支。p或者qp所以,非q推理形式是：第三節(jié)選言命題及其推理*相容選言的推理[例]地板上腳印是該案的重要證據(jù)；所以，地板上的腳印或者墻上的血跡是該案的重要證據(jù)。p所以，p或者qp→

p∨q推理形式：蘊(yùn)涵式：第三節(jié)選言命題及其推理2、析取引入規(guī)則∨+*不相容選言的推理1.否定肯定式2.肯定否定式邏輯性質(zhì)：唯一肢真，則▽真；其余，則▽假要么P，要么q非P所以q(p▽q)∧?p→q(p▽q)∧p→?q要么P，要么qP所以非q推理有效式：第三節(jié)選言命題及其推理練習(xí)：某單位要從100名報(bào)名者中挑選20名獻(xiàn)血者進(jìn)行體檢。最不可能被挑選上的是1993年以來(lái)已經(jīng)獻(xiàn)過(guò)血，或是1995年以來(lái)在獻(xiàn)血體檢中不合格的人。

如果上述斷定是真的，則以下哪項(xiàng)所言及報(bào)名者最有可能被選上？（）

A.校長(zhǎng)1995年獻(xiàn)過(guò)血，他的血型是O型，醫(yī)用價(jià)值很高。

B.小王是區(qū)獻(xiàn)血標(biāo)兵，近年來(lái)每年獻(xiàn)血，他堅(jiān)決要求獻(xiàn)血

C.小劉1996年報(bào)名鮮血，因“澳抗”陽(yáng)性體檢不合格，這次出具了“澳抗”轉(zhuǎn)陰的證明，并堅(jiān)決要求獻(xiàn)血。

D.大陳最近一次獻(xiàn)血時(shí)間在1992年，他因公截肢，血管中流動(dòng)著義務(wù)獻(xiàn)血者的血.他說(shuō)我比任何人都有理由獻(xiàn)血.

有一個(gè)土耳其商人想找一個(gè)聰明的助手協(xié)助他經(jīng)商。有兩人Ａ和Ｂ前來(lái)應(yīng)聘，土耳其商人將他們帶到一個(gè)黑房中，打開(kāi)電燈對(duì)他們說(shuō)：“桌上有五頂帽子，三黑二紅，我現(xiàn)在關(guān)燈并把帽子位置弄亂，然后我們各摸一頂帽子戴上，我開(kāi)燈后你們盡快說(shuō)出自己所戴帽子顏色?！蓖瑫r(shí)商人將剩下兩頂帽子藏起來(lái)，接著開(kāi)燈，商人頭上戴的是紅色的，Ａ和Ｂ你看我，我看你，無(wú)法判斷，過(guò)一會(huì)，Ａ說(shuō)：“我戴的黑色！”商人說(shuō)：“好，你被錄取了。”為什么？[案例]土耳其商人和帽子[案例分析]已知材料：共有帽子3黑2紅，商人戴了1紅,同時(shí)他把2帽子藏起來(lái)；A推導(dǎo)出自己戴的是黑帽子。假設(shè)自己是A，看見(jiàn)商人戴的是紅帽子，B則存在兩種可能：①Ｂ戴紅帽子，②Ｂ戴黑帽子。令p:Ｂ戴紅帽子,q:Ｂ戴黑帽子，有選言命題p▽q

如果p真,那么A可以立刻報(bào)出自己戴黑帽子。由于故事中說(shuō)兩人互相對(duì)視無(wú)法判斷，表明A看見(jiàn)B戴黑帽子，即q真，那么A也猜不出自己戴什么帽子，但A馬上發(fā)現(xiàn)B也不做聲，從而推測(cè)是因?yàn)樽约捍鞯氖呛诿弊?，所以B也不知道他自己戴的是什么顏色的帽子，于是A搶先一步報(bào)出自己戴的是黑帽子。

相容選言推理

邏輯性質(zhì)：肢肢假，∨假邏輯性質(zhì)：唯一肢真，▽真不相容選言推理第三節(jié)選言命題及其推理推理有效式：1.析取消去規(guī)則2.析取引入規(guī)則1.否定肯定式2.肯定否定式推理有效式：假言命題反映一事物情況是另一事物情況的存在條件的命題。

前件

后件

聯(lián)結(jié)詞條件命題[例1]如果天下雨，那么操場(chǎng)地面會(huì)濕。[例2]只有一個(gè)人年滿18歲，他才有選舉權(quán)。[例3]一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它能被2整除。根據(jù)前件與后件的不同條件關(guān)系有：充分條件假言命題必要條件假言命題充要條件假言命題第四節(jié)假言命題及其推理充分條件假言命題[例1]如果天下雨，那么操場(chǎng)地面會(huì)濕。反映前件是后件存在的充分條件。邏輯形式：如果p，那么q

邏輯性質(zhì)：前件真而后件假，則假；其余為真。

有前件必然有后件，無(wú)后件必然無(wú)前件。自然語(yǔ)句：如果…那么…,只要…就…,要是…就…pqp

qTFFTTTFFTFTT第四節(jié)假言命題及其推理p

qpqp

qTFFTTTFFTFTT如果給我一個(gè)支點(diǎn)，我能把地球撬起來(lái)。若天塌下來(lái)，我能頂起來(lái)。注意：當(dāng)充分條件假言命題的前件為假時(shí)，不管后件的真假，該命題的邏輯值都是“T”，邏輯學(xué)上稱為善意推定。第四節(jié)假言命題及其推理充分條件假言命題“如果太陽(yáng)從西邊出，那么…?！薄叭艄u也能下蛋，那么….?！北匾獥l件假言命題[例2]只有一個(gè)人年滿18歲，他才有選舉權(quán)。反映前件是后件存在的必要條件。邏輯形式：只有p，才q

邏輯性質(zhì)：前件假而后件真，則假；其余為真。無(wú)前件必然無(wú)后件，有后件必然有前件。自然語(yǔ)句：只有…才…,除非…不…,沒(méi)有…就沒(méi)有…pqp

qFTFFFTTFTTTT第四節(jié)假言命題及其推理p

q充要條件假言命題[例3]一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它能被2整除。反映前件是后件存在的充分且必要條件。邏輯形式：當(dāng)且僅當(dāng)p，才q

邏輯性質(zhì)：前后件同真假，則真；其余為假自然語(yǔ)句：當(dāng)且僅當(dāng)…才…,…當(dāng)且僅當(dāng)…等pqp

qFTFFFTTTTTFF第四節(jié)假言命題及其推理p

q條件關(guān)系中，最不容易分清充分條件和必要條件。如：只有貪污腐化，才會(huì)犯大錯(cuò)誤。把“貪污腐化”當(dāng)作“犯大錯(cuò)誤”的必要條件，錯(cuò)的。

因?yàn)楦鶕?jù)必要條件假言命題的邏輯性質(zhì)，無(wú)前件就無(wú)后件，就會(huì)得出“不貪污腐化就不會(huì)犯大錯(cuò)誤”的荒謬結(jié)論。實(shí)際上，“貪污腐化”是“犯大錯(cuò)誤”的充分條件：“如果貪污腐化，那么就會(huì)犯大錯(cuò)誤?！庇秩缬腥苏f(shuō)：“如果學(xué)習(xí)方法正確，那么就能學(xué)好各門(mén)功課?！边@也是不正確的。因?yàn)椤皩W(xué)習(xí)方法正確”不是“學(xué)好各門(mén)功課”的充分條件，而是必要條件。第四節(jié)假言命題及其推理充分條件假言命題邏輯形式：p

q

邏輯性質(zhì)：有前件必然有后件邏輯形式：pq

邏輯性質(zhì)：無(wú)前件必然無(wú)后件必要條件假言命題pqp

qTFFTTTFFTFTTpqp

qFTFFFTTFTTTT第四節(jié)假言命題及其推理練習(xí)：用P、Q、R、S分別表示不同的簡(jiǎn)單命題，并將下列命題符號(hào)化。1．甲、乙、丙、丁至少有一個(gè)人是北京人。2．只有找到問(wèn)題的關(guān)鍵所在，才能解決問(wèn)題。

3．如果明天是晴天，那么我們?nèi)ゴ蚯颉?.如果小王基礎(chǔ)好，學(xué)習(xí)又努力，而且學(xué)習(xí)方法對(duì)頭，那么他就能學(xué)好邏輯。

據(jù)說(shuō)，英美聯(lián)軍攻打伊拉克的報(bào)告曾有微小改動(dòng)。正是這一改動(dòng)，讓英美出兵的理由更加充分。原英國(guó)情報(bào)委員會(huì)關(guān)于伊拉克武器報(bào)告中說(shuō)：“薩達(dá)姆只有在伊拉克遭受攻擊時(shí)，才有可能啟用生化武器?！睂＜艺J(rèn)為，如此出兵理由不足，后將其改為“如果薩達(dá)姆認(rèn)為他的政權(quán)遭受攻擊時(shí)，他將啟用生化武器。為什么說(shuō)這一改動(dòng)讓英美出兵的理由更加充分？請(qǐng)用相關(guān)的邏輯知識(shí)進(jìn)行分析。[案例]攻打伊拉克理由[案例分析]P：伊拉克遭受攻擊;Q:薩達(dá)姆將啟用生化武器。

原報(bào)告是一個(gè)必要條件的假言判斷，即P←Q。有之未必然，無(wú)之必不然。

修改后成為一個(gè)充分條件的假言判斷，即P→Q有之必然，無(wú)之未必然。斷定伊拉克如果感受到“遭受攻擊”的威脅時(shí)就一定使用生化武器，如果沒(méi)有感受到“遭受攻擊”的威脅也不一定不使用生化武器。這樣英美聯(lián)軍就堂而惶之出兵。[案例]攻打伊拉克理由假言推理：前提中有一個(gè)假言命題，根據(jù)假言命題的邏輯性質(zhì)進(jìn)行的推理。充分條件假言推理

1、肯定前件式2、否定后件式邏輯性質(zhì)：有前件必然有后件,無(wú)后件必然無(wú)前件。推理有效式：無(wú)q必?zé)op有p必有q第四節(jié)假言命題及其推理

充分條件假言推理

如果p，那么qp所以，q（pq）∧pq推理形式是：蘊(yùn)涵式表示為：1.肯定前件式有p必有q第四節(jié)假言命題及其推理［案例］曾子殺豬曾子妻要上街，孩子鬧著要跟去，其妻哄著說(shuō)，在家好好念書(shū)，我回來(lái)后殺豬給你吃?；貋?lái)后曾子真的要?dú)⒇i，決不食言。邏輯分析曾子的做法。分析：故事中有假言推理如果你在家好好念書(shū)，我回來(lái)后給你殺豬吃。孩子在家好好念書(shū)。令p、q分別代表前件和后件。P→qp∴q《世說(shuō)新語(yǔ)》記載，孔融十歲時(shí)隨父到京城洛陽(yáng)拜訪當(dāng)時(shí)朝廷的司隸校尉大名士李膺?？撮T(mén)的不讓進(jìn)，也融靈機(jī)一動(dòng)說(shuō)：“我是李大人的親戚?！北氵M(jìn)去了。李膺說(shuō)：“你是我的親戚，究竟是什么親？”孔融說(shuō)；“我的先人孔子曾經(jīng)向你的先人老子（李耳）請(qǐng)教過(guò)禮儀之事，所以我們兩家是世交?！痹谧腿藢?duì)這個(gè)小孩的回答感到驚奇。有一客人叫陳韙不以為然地說(shuō)：“小時(shí)聰明，長(zhǎng)大就不怎么樣了。”孔融來(lái)個(gè)反唇相相譏，說(shuō)：“我猜想，你小的時(shí)候必定是很聰明?！币鸷逄么笮?，陳很尷尬。陳韙為什么很尷尬？請(qǐng)用邏輯學(xué)知識(shí)分析。分析：孔融運(yùn)用了充分條件的假言推理。如果小時(shí)聰明，那么長(zhǎng)大就不怎么樣了。你小的時(shí)候必定是很聰明。所以，你現(xiàn)在就不怎么樣了。第四節(jié)假言命題及其推理P→qp∴q2.否定后件式充分條件假言推理

如果p，那么q

?q

所以，?p(pq)∧?q?p推理形式是：蘊(yùn)涵式表示為：無(wú)q必?zé)op第四節(jié)假言命題及其推理A：走，我們?nèi)タ纯刺泼?。B：唐明不在家。A：你怎么知道的？B：如果他在家，他的自行車(chē)就會(huì)停在他家門(mén)口。但是，我來(lái)時(shí)看到，他的自行車(chē)沒(méi)有停在他家門(mén)口。分析上述對(duì)話中存在的推理。如果唐明在家，那么他的自行車(chē)就會(huì)停在他家門(mén)口。他的自行車(chē)沒(méi)有停在他家門(mén)口。所以，唐明不在家。P→q?q∴?P

充分條件假言推理

1]如果甲是案犯，那么甲有作案時(shí)間，事實(shí)上甲不是案犯，所以，甲沒(méi)有作案時(shí)間。2]如果甲是案犯，那么甲一定到過(guò)作案現(xiàn)場(chǎng)，事實(shí)上甲到過(guò)作案現(xiàn)場(chǎng)，所以，甲是案犯。(pq)∧qp(pq)∧?p?q無(wú)效推理式充分條件假言推理的兩條規(guī)則：（1）肯定前件就肯定后件，否定后件就否定前件。（2）否定前件不能否定后件，肯定后件不能肯定前件。第四節(jié)假言命題及其推理邏輯性質(zhì)：無(wú)前件必然無(wú)后件，有后件必然有前件。

必要條件假言推理

1、否定前件式2、肯定后件式推理有效式：有q必有p無(wú)p必?zé)oq(pq)∧?p?q(pq)∧qp第四節(jié)假言命題及其推理只有你學(xué)習(xí)努力，才能取得好成績(jī)。你學(xué)習(xí)不努力。所以，你不能取得好成績(jī)。

必要條件假言推理

第四節(jié)假言命題及其推理1、否定前件式無(wú)p必?zé)oqPq?P∴?q(pq)∧?p?q

必要條件假言推理

第四節(jié)假言命題及其推理除非發(fā)生了意外情況，這趟列車(chē)不會(huì)停在這個(gè)地方。它既然停在這個(gè)地方。可見(jiàn)，發(fā)生了意外情況。2、肯定后件式有q必有p(pq)∧qpPqq∴P

必要條件假言推理

第四節(jié)假言命題及其推理只有小A在作案現(xiàn)場(chǎng)，他才是殺人兇手。有人證明小A在作案現(xiàn)場(chǎng)。所以，小A是殺人兇手。只有小A在作案現(xiàn)場(chǎng)，他才是殺人兇手。小A不是殺人兇手。所以，小A不在作案現(xiàn)場(chǎng)。(pq)∧pq(pq)∧?

q?

p無(wú)效推理式必要條件假言推理的兩條規(guī)則：（1）否定前件就要否定后件，肯定后件就要肯定前件。

（2）肯定前件不能肯定后件，否定后件不能否定前件。

充要條件假言推理

邏輯性質(zhì)：前件與后件互為充分條件和必要條件。1、肯定前件式2、否定后件式推理有效式：無(wú)q必?zé)op有p必有q3、否定前件式4、肯定后件式有q必有p無(wú)p必?zé)oq第四節(jié)假言命題及其推理充分條件（pq）∧（qr

）（pr）（pq）∧（qr）（?r?p）肯定式否定式必要條件肯定式否定式（pq）∧（qr）（rp）（pq）∧（qr）（?p?r）混合條件肯定式否定式（pq）∧（qr）（pr）（pq）∧（qr）（?p?r）

假言連鎖推理

兩個(gè)以上假言命題作前提的推理第四節(jié)假言命題及其推理假言易位推理（pq）（?q?p）（pq）（qp）充分條件假言易位推理必要條件假言易位推理充要條件假言易位推理(pq)(qp)第四節(jié)假言命題及其推理如：如果寒潮到來(lái)，那么氣溫就會(huì)下降。如果氣溫沒(méi)有下降，那么寒潮沒(méi)有到來(lái)。反三段論有效式為：p∧qr

?r∧p

?q例：如果小張考試及格并且大田考試不及格，則小娜考試一定不及格。如果以上便是是真的，那么再加上什么前提，可以得出結(jié)論：大田考試及格了。（）A.小張考試及格而大田考試不及格B.小張與小娜考試都不及格C.小張考試不及格而小娜考試及格D.小張與小娜考試都及格了第四節(jié)假言命題及其推理√假言三段論第四節(jié)假言命題及其推理利用蘊(yùn)涵詞的傳遞性進(jìn)行的推理。推理式為：pqq

rpr例：名不正則言不順，言不順則事不成，所以，名不正則事不成。由2個(gè)假言命題和1個(gè)選言命題組成的推理。如果你娶到一個(gè)好老婆，你會(huì)獲得人生的幸福。如果你娶到一個(gè)壞老婆，你會(huì)成為一個(gè)哲學(xué)家。你或者娶到好老婆，或者娶到一個(gè)壞老婆，所以，你或者獲得人生的幸福，或者成為一個(gè)哲學(xué)家。第四節(jié)假言命題及其推理假言選言推理(二難推理)

假言選言推理（二難推理）分類(lèi)：簡(jiǎn)單構(gòu)成式、簡(jiǎn)單破壞式、復(fù)雜構(gòu)成式、復(fù)雜破壞式pr?prp∨?p∴rpqpr?q∨?r∴?ppqrsp∨r∴q∨

s簡(jiǎn)單構(gòu)成式結(jié)論不帶析取肯定前件式前件不同后件同簡(jiǎn)單破壞式結(jié)論不帶析取否定后件式后件不同前件同復(fù)雜構(gòu)成式結(jié)論帶析取肯定前件式前后件均不同pqrs?q∨?s∴?p∨

?r復(fù)雜破壞式結(jié)論帶析取否定后件式前后件均不同[案例]聰明的蘇特拉斯第四節(jié)假言命題及其推理聰明的蘇特拉斯遇見(jiàn)年輕的蘇丹國(guó)王說(shuō)：“陛下，您知道不知道我是全國(guó)最會(huì)撒謊的人？國(guó)王搖頭說(shuō)：“如果你能使我相信你說(shuō)的謊話，那我就給你一磅金幣?！碧K特拉斯說(shuō)：“陛下，這一磅金幣我拿定了。聽(tīng)好啦，我現(xiàn)在開(kāi)始撒謊。在三十年前，我的父親和您的父親老國(guó)王陛下在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，兩人閑得無(wú)聊賭起錢(qián)來(lái)，結(jié)果您的父親老國(guó)王陛下輸了，當(dāng)時(shí)向我父親借一磅金幣，后來(lái)這兩位老人家先后去世，這個(gè)錢(qián)一直沒(méi)有還?！眹?guó)王氣得跳起來(lái)說(shuō)：“胡說(shuō)，你撒謊?！闭?qǐng)用邏輯知識(shí)分析蘇特拉斯為什么這么肯定地說(shuō)這一磅金幣我拿定了。[案例]聰明的蘇特拉斯蘇特拉斯是用二難推理來(lái)得出結(jié)論的，其推理如下：如果你信我是說(shuō)謊，則按約定給我一鎊金幣如果你不信我是說(shuō)謊，則按法律給我一鎊金幣你或信，或不信總之，你得給我一鎊金幣P：你信我是說(shuō)謊，q:按約定給我一鎊金幣，r:按法律給我一鎊金幣推理形式如下：pq?prp∨?p

∴q∨r[分析][案例]聰明的蘇特拉斯二難推理案例1如果加息力度過(guò)大，勢(shì)必影響經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)；如果加息力度過(guò)小，又難以抑制物價(jià)上漲勢(shì)頭。這不惟對(duì)中國(guó)央行是這樣，即使各國(guó)央行也經(jīng)常處在相似的夾縫中，左右為難。中國(guó)人民銀行日本中央銀行——日本銀行大樓。美聯(lián)儲(chǔ)總部農(nóng)產(chǎn)品降價(jià)，農(nóng)民苦；農(nóng)產(chǎn)品漲價(jià)，農(nóng)民也得不到什么好處。有評(píng)論指出：農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)入市場(chǎng)的過(guò)程中，中間環(huán)節(jié)太多，市場(chǎng)上的農(nóng)產(chǎn)品漲價(jià)了，農(nóng)民鮮能從中得益，掙錢(qián)的是中間環(huán)節(jié)；農(nóng)產(chǎn)品價(jià)跌了，虧的也是農(nóng)民。（王學(xué)良文，2007年6月21日，來(lái)源：文摘報(bào)）二難推理案例2破斥錯(cuò)誤的二難推理推理形式評(píng)估前提審查（充分條件存在否？選言支窮盡否？）構(gòu)造相反的二難推理例：如果天氣過(guò)熱，那么人會(huì)難受；如果天氣過(guò)冷，那么人也會(huì)很難受；天氣或者過(guò)熱或者過(guò)冷；總之，人都會(huì)很難受。無(wú)效推理式第四節(jié)假言命題及其推理如果歐提勒士這場(chǎng)官司勝訴，那么按合同的約定，他應(yīng)付給我另一半學(xué)費(fèi)。

如果歐提勒士這場(chǎng)官司敗訴，那么按法庭的判決，他也應(yīng)付給我另一半學(xué)費(fèi)。

這場(chǎng)官司或勝訴或敗訴。

所以他應(yīng)付給我另一半學(xué)費(fèi)。

推理形式：pqrs

p∨r

q∨s半費(fèi)之訟如果我這場(chǎng)官司勝訴，那么按法庭的判決，我不應(yīng)付給他另一半學(xué)費(fèi)。

如果我這場(chǎng)官司敗訴，那么按合同的約定，我也不應(yīng)付給他另一半學(xué)費(fèi)。

我這場(chǎng)官司或勝訴或敗訴。

所以我不應(yīng)付給他另一半學(xué)費(fèi).

推理的形式：pq

rs

p∨r

q∨s普羅達(dá)哥拉斯的“二難推理”歐提勒士的“二難推理”負(fù)命題：否定某個(gè)命題的命題。(1)并非選修邏輯的學(xué)生都是文科生。(2)如果它是三角形，則內(nèi)角和等于180°，這個(gè)觀點(diǎn)不對(duì)。負(fù)命題的支命題可以是簡(jiǎn)單命題，也可以是復(fù)合命題。第一節(jié)負(fù)命題及其推理負(fù)命題：否定某個(gè)命題的命題。邏輯形式：并非P

自然語(yǔ)言：并非；并不是；是假的；是不對(duì)的邏輯性質(zhì)：負(fù)命題的真假與被否定的命題的真假是相反的。

p

p

FT

TF第一節(jié)負(fù)命題及其推理p

第一節(jié)負(fù)命題及其推理負(fù)命題推理邏輯性質(zhì)：負(fù)命題的真假與被否定命題的真假是相反的.推理有效式：1.雙重否定引入規(guī)則??+2.雙重否定消去規(guī)則??-例：小王是有優(yōu)點(diǎn)的。所以，小王不是沒(méi)有優(yōu)點(diǎn)的。P??P聯(lián)言命題負(fù)命題推理?（p∧q）（?p∨?q）否定合取得析取，分配否定到變項(xiàng)充分條件假言命題負(fù)命題推理相容選言命題負(fù)命題推理不相容選言命題負(fù)命題推理?（p∨q）（?p∧?q）否定析取得合取，分配否定到變項(xiàng)德摩根定律．．?(p▽

q)（p∧q）∨(?p∧?q)?（pq）（p∧?q）必要條件假言命題負(fù)命題推理充要條件假言命題負(fù)命題推理?（pq）（?p∧q）?（pq）（p∧?q）∨（?p∧q）負(fù)命題的負(fù)命題推理?（?p）p負(fù)命題的等值推理第一節(jié)負(fù)命題及其推理真值聯(lián)結(jié)詞：反映復(fù)合命題與支命題之間真假關(guān)系的聯(lián)結(jié)詞。五個(gè)基本的真值聯(lián)結(jié)詞：?

∧∨

真值形式：由真值聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的復(fù)合命題與復(fù)合推理的推理形式。如：pq，p∧q

q真值聯(lián)結(jié)詞和真值表真值表：顯示一個(gè)真值形式在它的命題變項(xiàng)的各種真值組合下所取真值的圖表。命題變項(xiàng)的真值組合情況的數(shù)量與命題變項(xiàng)的數(shù)量有關(guān)。

n個(gè)命題變項(xiàng)可能有的真假組合是2n個(gè)。運(yùn)用真值表，可以判定任一真值形式是否為:重言式、矛盾式、可滿足式。真值聯(lián)結(jié)詞和真值表復(fù)合命題形式根據(jù)其真假情況可分成三種。1、重言式指常真的式子，也就是無(wú)論命題變項(xiàng)如何賦值（即變項(xiàng)無(wú)論為真還是為假），它總是真的。如，p→p就是個(gè)重言式。2、矛盾式指常假的式子，也就是無(wú)論命題變項(xiàng)如何賦值，它總是假的，如，p∧?p就是個(gè)矛盾式。3、可滿足式指可真可假的式子，也就是在命題變項(xiàng)賦值中，復(fù)合命題公式可能為真，也可能為假。如，p∧q就是個(gè)可滿足式。真值聯(lián)結(jié)詞和真值表

重言式反映邏輯規(guī)律，是進(jìn)行正確推理的依據(jù)，所以邏輯學(xué)特別關(guān)注重言式。在現(xiàn)代邏輯中，復(fù)合命題推理形式可以表達(dá)成一個(gè)蘊(yùn)涵式，蘊(yùn)涵式的前件是各個(gè)前提的命題形式的合取式，其后件是結(jié)論的命題形式，一切正確的推理形式均表現(xiàn)為重言式。因此，要判定推理是否有效，只需判定其推理蘊(yùn)涵式是否為重言式。

判定方法主要是真值表法。真值聯(lián)結(jié)詞和真值表第一，找出給定真值形式里的所有變項(xiàng)，列出這些變項(xiàng)的各種真值組合情況。[例1]：（p→q∧q）

p其中變項(xiàng)為p、q，其真值組合情況為：pqFFFTTFTT真值聯(lián)結(jié)詞和真值表（真值表中“T”表示真，“F”表示假。）真值表法的判定程序有三個(gè)步驟。P

q

p

q

q∧q

p→q∧q

(p→q∧q)→p

FFFTTFTT

第二，式子的構(gòu)成過(guò)程，由簡(jiǎn)到繁地列舉出該式子的各個(gè)組成部分，最后為該式子本身。以[例1]為例：（p→q∧q）

p(1)(2)(3)(4)(5)真值聯(lián)結(jié)詞和真值表P

q

p

q

q∧q

p→q∧q

（p→q∧q）→p

FFTTFTTFTTFFTTTFFTFFTTTTFFFT

第三，根據(jù)五個(gè)真值聯(lián)結(jié)詞的性質(zhì)，一步步地計(jì)算出每個(gè)組成部分的真值，最后得出該式子的真值。如果這個(gè)式子在各種情況下都是真的，就判定它是重言式，否則就判定它不是重言式。

仍以[例1]為例：（p→q∧q）

p

真值聯(lián)結(jié)詞和真值表由真值表可知，（p→q∧q）

p在命題變項(xiàng)各種組合中取值都為真，所以該式子是重言式。練習(xí)：判定下列公式是否是重言式：p→p，p∧p，p∧p。解：用真值表法判定如下：p

p

p→p

p∧p

p∧p

FTTFFTFTTF可見(jiàn)，p→p為重言式，而p∧p是可滿足式，p∧p是矛盾式。真值聯(lián)結(jié)詞和真值表簡(jiǎn)化的真值表——?dú)w謬賦值法：

先假定要判定的真值形式的值為假，然后一一賦值，如果出現(xiàn)矛盾情況，則說(shuō)明假設(shè)不成立，原真值形式為真，真值形式為重言式，否則不為重言式。解：用歸謬賦值法進(jìn)行判定：p∧qp∨q0101100例：試判定真值形式p∧qp∨q是否為重言式。上述真值形式的賦值中，p既真又假，q既真又假，矛盾，原真值形式為重言式。真值聯(lián)結(jié)詞和真值表重要的重言等值式1.空全律p∧0=0p∧1=pp∨0=pp∨1=12.矛盾律p∧

p=0p∨p=1

3.冪等律p∧p=pp∨p=p4.雙否律p=p5.交換律p∧q=q∧pp∨q=q∨p6.結(jié)合律p∧(q∧r)=(p∧q)

∧r

p∨(q∨r)=(p∨q)∨r

7.分配律p∧(q∨r)=(p∧q)

∨(p∧r)

p∨(q∧r)=(p∨q)∧(p∨r)

8.蘊(yùn)涵律p→q=

p∨q9.蘊(yùn)否律(p→q)=p∧

q

10.德摩根律

(p∧q)=p∨q

(p∨q)=p∧q重要的重言等值式11.等值律p?q=

(p→q)∧(q→p)=(p∨q)

∧(q∨p)

p?q=

(p∧q)∨(p∧q)12.加元律p=p∧(q∨q)p=p∨(q∧q)13.吸收律p∧(p∨q)=pp∨(p∧q)

=p14.并項(xiàng)消去律(p∧q)

∨(p∧q)=p

(p∨q)∧(p∨q)=p15.反項(xiàng)吸收律p∧(

p∨q)=p∧qp∨(

p∧q)=

p∨q重要的重言等值式練習(xí)：列出A、B兩命題的真值表，并回答當(dāng)A、B恰有一個(gè)為假時(shí),某公司是否錄用小黃?是否錄用小林?

A：如果某公司錄用小黃，那么就不錄用小林。

B：某公司沒(méi)有錄用小黃。

(p：某公司錄用了小黃，q：某公司錄用了小林）

當(dāng)A、B恰有一個(gè)為假時(shí)，p真q假，即錄用小黃，不錄用小林。命題練習(xí)：列表說(shuō)明，在大王與小李不同時(shí)上場(chǎng)比賽的已知條件下，（1）“如果大王不上場(chǎng)，那么小李上場(chǎng)比賽”與（2）“要么大王不上場(chǎng)比賽，要么小李不上場(chǎng)比賽”的真假情況是否相同。

（令p:“大王上場(chǎng)比賽”，q:“小李上場(chǎng)比賽”）

已知條件：p，q不同時(shí)為真。（1）

p→q（2）

p▽

q真值表的方法判定：

pqp

q

p→q

p▽

qＴＴFＦＴＦＴＦFＴＴＴＦＴTＦＴＴＦＦTＴＦＦ可見(jiàn)，當(dāng)滿足條件時(shí)，命題（1）和（2）是等值的，即是可同真同假的。一、什么是命題自然推理

所謂自然推理，就是從給定的前提出發(fā)，運(yùn)用推理的有效式即根據(jù)推理規(guī)則進(jìn)行的推理。自然推理和公理化推理不同，它不預(yù)設(shè)公理，只是根據(jù)規(guī)則，從給定的前提出發(fā)得出結(jié)論。這似乎更符合人們?nèi)粘Ｋ季S的習(xí)慣，因此，稱之為自然推理。自然推理是判定推理形式是否有效的又一種方法，也是指導(dǎo)有效推理的一種方法。自然推理的基本思想是確定一些推理規(guī)則，依據(jù)這些規(guī)則，從真前提只會(huì)推出真結(jié)論。第五節(jié)命題邏輯的自然推理系統(tǒng)NP因此，當(dāng)我們要判定一個(gè)推理是否有效時(shí)，就要從前提出發(fā)，依據(jù)推理規(guī)則，能否形式地推出預(yù)期的結(jié)論。如果能推出，就說(shuō)明該推理如果前提真，結(jié)論就一定真，因而是有效的；反之，如果推不出，則說(shuō)明該推理即使前提真，結(jié)論也不一定真，因而是無(wú)效的。同時(shí)，這些具有保真性的推理規(guī)則，也可以指導(dǎo)我們從給定的前提進(jìn)行有效的推導(dǎo)。自然推理并不僅用于判定和指導(dǎo)命題推理。當(dāng)我們運(yùn)用它來(lái)判定和指導(dǎo)復(fù)合命題推理時(shí)，就稱之為命題自然推理。第五節(jié)命題邏輯的自然推理系統(tǒng)NP二、命題自然推理的基本規(guī)則（Ｐ140-141頁(yè)）（一）基本推導(dǎo)規(guī)則（二）常用派生規(guī)則（三）等值轉(zhuǎn)換規(guī)則第五節(jié)命題邏輯的自然推理系統(tǒng)NP第五節(jié)命題邏輯的自然推理系統(tǒng)NP（一）基本推導(dǎo)規(guī)則（p，q）→p∧q1、合取引入規(guī)則∧+p∧q→pp∧q→q2、合取消去規(guī)則∧-(p∨q)∧

?p→q(p∨q)∧?q→p3、析取消去規(guī)則∨-p→

p∨q4、析取引入規(guī)則∨+q

→

p∨q5、蘊(yùn)涵引入規(guī)則→

+(條件證明規(guī)則)(pq)∧pq6、蘊(yùn)涵消去規(guī)則→

-

7、否定消去規(guī)則﹁

-

∨的運(yùn)算規(guī)律∧和∨的混合運(yùn)算規(guī)律(1)∧對(duì)∨的分配律:p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)(2)∨對(duì)∧的分配律：p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)(3)吸收律：p∧(p∨q)pp∨(p∧q)p(4)德·摩根律：?(p∧q)?p∨?q?(p∨q)?p∧?q第三節(jié)選言命題及其推理(1)∨的交換律：p∨qq∨p，(2)∨的結(jié)合律：p∨(q∨r)(p∨q)∨r(3)∨的重言律：p∨p

p。例：請(qǐng)證明以下推論是有效的。

Ｊ∨Ｋ→Ｎ

Ｍ

Ｎ→Ｍ∴Ｋ第五節(jié)命題邏輯的自然推理系統(tǒng)NP三、直接證明在推理規(guī)則的控制下，不借助假設(shè)，只根據(jù)已知前提逐步得出結(jié)論的證明方法。證明:(1)Ｊ∨Ｋ→Ｎ(2)Ｍ

(3)Ｎ→Ｍ(4)N(5)(Ｊ∨Ｋ)(6)Ｊ∧Ｋ(7)Ｋ上述表明推論有效。(2)(3)否后(1)(4)否后(5)德摩根(6)∧-練習(xí)：證明以下推論是有效的。第五節(jié)命題邏輯的自然推理系統(tǒng)NP１.(P∨Q)∨R

P∨(Q∧P

）

∴Q→R2.H→Ｉ∧KＩ→Ｏ∨ＨＯ

∴Ｈ←→Ｉ證明：(1)(P∨Q)∨R(2)P∨(Q∧P

）

(3)P

(2)吸收(4)P∨

(Q∨R)(1)交換(5)Q∨R(3)(4)∨-

(6)Q→R(5)蘊(yùn)析上述表明推論有效。證明：(1)H→Ｉ∧K(2)Ｉ→Ｏ∨Ｈ

(3)Ｏ

(4)Ｉ∨(Ｏ∨Ｈ)(2)蘊(yùn)析(5)Ｏ∨(Ｉ∨Ｈ)(4)交換(6)Ｉ∨Ｈ(3)(5)∨-

(7)Ｉ→Ｈ

(6)蘊(yùn)析(8)

H∨(Ｉ∧K)(1)蘊(yùn)析(9)(

H∨Ｉ)∧(

H∨

K)

(8)結(jié)合(10)

H∨Ｉ(9)∧-(11)Ｈ→Ｉ(10)蘊(yùn)析(12)Ｈ←→Ｉ(7)(11)等值上述表明推論有效。條件證明也可表達(dá)為如下模式：Pr前提Ｐ假設(shè)…Q由Pr或Ｐ推得的命題∴Ｐ→Q第五節(jié)命題邏輯的自然推理系統(tǒng)NP三、條件證明如果從前提Pr或假設(shè)Ｐ推出Ｑ，那么僅從前提Pr就可以推出Ｐ→Ｑ。[例]在一起兇殺案中，公安人員掌握了如下情況：（1）甲或乙是兇手；（2）如果甲是兇手，那么作案地點(diǎn)不在辦公室；（3）如果丙的證詞真實(shí)，則辦公室里有槍聲；（4）只有作案地點(diǎn)在辦公室，丙的證詞才不真實(shí)。公安人員因此得出：如果辦公室里無(wú)槍聲，那么兇手是乙不是甲.問(wèn)：此推理是否有效？解：簡(jiǎn)單命題用符號(hào)表示如下：p：甲是兇手q：乙是兇手r：作案地點(diǎn)在辦公室s：丙證詞真實(shí)t：辦公室里有槍聲

前提:(1)p∨q(2)p→r(3)s→t(4)s

→r結(jié)論：t→p∧q第五節(jié)命題邏輯的自然推理系統(tǒng)NP

前提:(1)p∨q(2)p→r(3)s→t(4)s→r結(jié)論：t→p∧q證明如下：（5）t假設(shè)（6）s(3)(5)否后（7）r(6)(4)肯前（8）p

(2)(7)否后（9）q(1)(8)∨-

（10）p∧q(8)(9)∧+（11）t→p∧q(5)-(10)條件證明

行11是由前提合乎邏輯地推出的結(jié)論,這表明公安人員的推理有效。第五節(jié)命題邏輯的自然推理系統(tǒng)NP[練習(xí)]在一起集團(tuán)作案中，偵查人員了解到如下情況：（1）甲和乙不同時(shí)作案；（2）如果丙作案，那么乙也作案；（3）如果丁作案，那么甲也作案；（4）或者戊和已不同時(shí)作案，或者丙作案。據(jù)此，偵查人員做出推斷，如果丁和已一同作案，那么戊不會(huì)作案。問(wèn)：這一推斷正確嗎？解：簡(jiǎn)單命題用符號(hào)表示如下：p：甲作案q：乙作案r：丙作案s：丁作案t：戊作案u：已作案

前提:(1)(p∧q)(2)

r→q

(3)

s→p(4)

(t∧u)∨r結(jié)論：(s∧u)→t第五節(jié)命題邏輯的自然推理系統(tǒng)NP

前提:(1)(p∧q),(2)

r→q,(3)

s→p,(4)

(t∧u)∨r結(jié)論：(s∧u)→t證明:（5）s∧u假設(shè)

（6）s(5)∧－

（7）p(3)(6)肯前（8）p∨q(1)德摩根（9）q(7)(8)∨-

（10）r(2)(9)否后（11）(t∧u)(4)(10）∨-

（12）t∨u(11)德摩根（13）u(5)∧－（14）t(12)(13)∨-

（15）(s∧u)→t(5)-(14)條件證明所以，偵查人員的推斷正確。條件證明也可表達(dá)為如下模式：Pr前提

Ｐ假設(shè)…Q∧Ｑ由Pr或假設(shè)推出的邏輯矛盾∴Ｐ第五節(jié)命題邏輯的自然推理系統(tǒng)NP三、反證法如果從前提Pr和假設(shè)Ｐ推出Ｑ∧Ｑ，那么僅從前提Pr可以推出Ｐ。證明如下:(1)Ｆ∨Ｎ前提(2)Ｎ→Ｂ∧Ｊ前提(3)Ｂ∨Ｆ→Ｄ前提(4)D假設(shè)

(5)(Ｂ∨Ｆ)(3)(4)否后(6)Ｂ∧Ｆ(5)德摩根(7)Ｆ(6)∧－(8)N(1)(7)∨-

(9)Ｂ∧Ｊ(2)(8)肯前

(10)B(9)∧－(11)Ｂ(6)∧－(12)Ｂ∧Ｂ(10)(11)∧+(13)D(4)-(12)反證法求證下面推論：

Ｆ∨ＮＮ→Ｂ∧ＪＢ∨Ｆ→Ｄ∴Ｄ[例1]：在一起兇殺案中，偵查人員了解到一些情況：（1）兇手是甲或乙或丙；（2）只有是盜竊殺人案，甲才是兇手；（3）如果是盜竊殺人案，那么被害人的財(cái)物會(huì)丟失；（4）如果乙是兇手，那么案件發(fā)生在中午12點(diǎn)以后；（5）案件發(fā)生在中午12點(diǎn)以前，并且被害人的財(cái)物沒(méi)有丟失。問(wèn)：誰(shuí)是兇手？解：簡(jiǎn)單命題用符號(hào)表示如下：

p:甲是兇手q:乙是兇手

r:丙是兇手s:本案是盜竊殺人案

t:被害人的財(cái)物丟失u:案件發(fā)生在中午12點(diǎn)以后

已知前提:(1)p∨q∨r(2)p→s(