《二次函數(shù)圖象與二次方程根的分布》學(xué)案

《二次函數(shù)的圖象與二次方程根的分布》學(xué)案（一）．一元二次方程根的基本分布——零分布所謂一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相對(duì)于零的關(guān)系。比如二次方程有一正根，有一負(fù)根，其實(shí)就是指這個(gè)二次方程一個(gè)根比零大，一個(gè)根比零小，或者說(shuō)，這兩個(gè)根分布在零的兩側(cè)。設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)根為x1，x2，且x1≤x2。（1）x1＞0，x2＞0EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,x1＋x2＝－\f(b,a)＞0,x1x2＝\f(c,a)＞0))，EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＞0,f(0)＝c＞0,b＜0))或\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＜0,f(0)＝c＜0,b＞0))上述推論結(jié)合二次函數(shù)圖象不難得到。（2）x1＜0，x2＜0EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,x1＋x2＝－\f(b,a)＜0,x1x2＝\f(c,a)＞0))，EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＞0,f(0)＝c＞0,b＞0))或\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＜0,f(0)＝c＜0,b＜0))由二次函數(shù)圖象易知它的正確性。（3）x1＜0＜x2EQ\f(c,a)＜0af（0）＞0（4）①x1＝0，x2＞0c＝0且EQ\f(b,a)＜0；②x1＜0，x2＝0c＝0且EQ\f(b,a)＞0。（二）．一元二次方程根的非零分布——k分布設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩實(shí)根為x1，x2，且x1≤x2。k為常數(shù)。則一元二次方程根的k分布（即x1、x2相對(duì)于k的位置）有以下若干結(jié)論。（1）k＜x1≤x2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＞k))（2）x1≤x2＜kEQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＜k))。（3）x1＜k＜x2af（k）＜0。特殊地=1\*GB3①x1＜0＜x2ac＜0。=2\*GB3②x1＜1＜x2a（a＋b＋c）＜0。（4）有且僅有一個(gè)根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2f（k1）f（k2）＜0（5）k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2EQ\b\lc\{(\a\al(a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＜0,f(p1)＜0,f(p2)＞0))或\b\lc\{(\a\al(a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＞0,f(p1)＞0,f(p2)＜0))（6）k1＜x1≤x2＜k2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＞0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))或\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＜0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))由于二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為二次方程的根，所以我們通?？山柚魏瘮?shù)的圖象來(lái)討論二次方程的實(shí)根分布情況。題型一、二次函數(shù)的最值問(wèn)題例1、求在區(qū)間上的最大值和最小值。［分析］解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是判別函數(shù)的定義域各區(qū)間上的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題。［評(píng)注］（1）利用單調(diào)性求最值或值域應(yīng)先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性。（2）求解二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，應(yīng)判斷它的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，若含有字母應(yīng)注意分類討論，解題時(shí)最好結(jié)合圖象解答。例2、已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值。分析：這是一個(gè)逆向最值問(wèn)題，若從求最值入手，首先應(yīng)搞清二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，如果的最大值與二次函數(shù)系數(shù)的正負(fù)有關(guān)，也與對(duì)稱軸的位置有關(guān)，但f（x）的最大值只可能在端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得，解答時(shí)必須用討論法。［評(píng)注］這里函數(shù)的最大值一是與的符號(hào)有關(guān)。另外也與對(duì)稱軸和區(qū)間的端的遠(yuǎn)近有關(guān)，不分情況討論就無(wú)法確定題型二、一元二次方程的實(shí)根分布問(wèn)題例3、（1）關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求的取值范圍；（2）關(guān)于的方程有兩實(shí)根都在內(nèi)，求的取值范圍；（3）關(guān)于x的方程有兩實(shí)根在外，求m的取值范圍（4）關(guān)于的方程有兩實(shí)根，且一個(gè)大于4，一個(gè)小于4，求的取值范圍.解（1）（2）（3）（4）[評(píng)注]求解二次方程根的分布問(wèn)題，結(jié)合二次函數(shù)圖象，主要考慮三個(gè)方面的問(wèn)題（1）判別式（2）對(duì)稱軸（3）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值題型三、二次函數(shù)的綜合問(wèn)題例4、已知二次函數(shù)．（1）若a＞b＞c，且f（1）＝0，證明f（x）的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；（2）m∈Rf（m）＝－a（3）若對(duì)，方程有2個(gè)不等實(shí)根，解:（1）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).（2），∴1是的一個(gè)根，由韋達(dá)定理知另一根為，∴在（1，＋∞）單調(diào)遞增，，即存在這樣的m使（3）令，則是二次函數(shù).有兩個(gè)不等實(shí)根，且方程的根必有一個(gè)屬于.例5、（1）已知函數(shù)，若有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（1）有解，即有解有解有解所以（2）當(dāng)時(shí)，恒成立又當(dāng)時(shí)，，所以【評(píng)注】“有解”與“恒成立”是很容易搞混的兩個(gè)概念。一般地，對(duì)于“有解”與“恒成立”，有下列常用結(jié)論：（1）恒成立；（2）恒成立;（3）有解；（4）有解例6:（1）若函數(shù)在區(qū)間上有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍。解：（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，恒有，即恒有.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以（2）由題意知，不等式，即的解是，易解得，，則，解方程，得[評(píng)注]“有意義”與“定義域”是兩個(gè)不同的概念。一般地，在某個(gè)條件下函數(shù)“有意義”，是指在該條件下，使得函數(shù)有意義的某個(gè)式子總成立；而若某個(gè)條件為函數(shù)的“定義域”，則是指使得函數(shù)有意義的自變量的范圍就是該條件。小結(jié)：二次函數(shù)是高中知識(shí)與大學(xué)知識(shí)的主要紐帶，函數(shù)綜合題往往以二次函數(shù)為載體，考查函數(shù)的值域、奇偶性、單調(diào)性及二次方程實(shí)根分布問(wèn)題、二次不等式的解集問(wèn)題等，考查形式靈活多樣，考查思想涉及到數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等，高考在此設(shè)計(jì)的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于課本要求，在學(xué)習(xí)中一方面要加強(qiáng)訓(xùn)練，一方面要提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．習(xí)題四1．設(shè)，二次函數(shù)的圖象為下列之一：則的值為（）A．1 B． C． D．2．方程的兩根都大于2，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）4、若關(guān)于的方程在（0，1）內(nèi)恰有一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。5、已知關(guān)于的方程，探究為何值時(shí)（1）方程有一根（2）方程有一正一負(fù)兩根（3）兩根都大于1（4）一根大于1一根小于16、已知二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)且其圖象的頂點(diǎn)恰好在的圖象上。（1）求的解析式。（2）設(shè)在的最小值為，求的表達(dá)式7、設(shè)，若0，求證：（1）方程有實(shí)根；（2）；（3）設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，則8、已知二次函數(shù)設(shè)不等式的解集為A，又知集合若，求的取值范圍。9、（1）求的值域（2）關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的范圍。10、已知函