《動能和動能定理》設計5

《動能和動能定理》教學設計理解領悟本節(jié)課在上節(jié)探究功與物體速度變化關系的基礎上，進一步從理論上探究動能的表達式，以及做功與物體動能變化間的關系。要著重理解動能的概念，會用動能定理解決相關的物理問題。 教學目標:（一）知識與技能1．使學生進一步理解動能的概念，掌握動能的計算式．2．結合教學，對學生進行探索研究和科學思維能力的訓練．3．理解動能定理的確切含義，應用動能定理解決實際問題（二）過程與方法1．運用演繹推導方式推導動能定理的表達式．2．理論聯系實際，學習運用動能定理分析解決問題的方法．（三）情感、態(tài)度與價值觀通過動能定理的演繹推導．感受成功的喜悅，培養(yǎng)學生對科學研究的興趣．教學重點:動能定理及其應用．教學難點:對動能定理的理解和應用．教學過程:基礎級1.對三個具體問題的分析在本章第１節(jié)“追尋守恒量”中，我們已經知道物體由于運動而具有的能量叫做動能。上一節(jié)又探究了功與物體速度變化的關系，物體的動能一定與物體的運動速度的二次方成正比。那么，動能還與哪些因素有關呢？為了探究動能的表達式，讓我們來分析三個具體問題：圖5—40Fmlv1v2①

如圖5—40所示，在光滑的水平面上，一質量為m、初速度為圖5—40Fmlv1v2解：由牛頓第二定律有F=ma，由勻變速直線運動公式有v22－v12=2al,圖5—41m圖5—41mv1hv2Fmg②

如圖5—41所示，將質量為m的小球從離地h高處以初速度v1豎直向下拋出，所受空氣阻力恒為F，求小球落地時的速度v2。解：由牛頓第二定律有mg－F=ma，由勻變速直線運動公式有

v22－v12=2ah,m圖5—42lm圖5—42lv1v2FmgFNθm③

如圖5—42所示，用一水平力F將質量為m的物塊推上傾角為θ的光滑斜面。物塊的初速度為v1，位移為l，求物塊的末速度v2。解：由牛頓第二定律有Fcosθ－mgsinθ=ma，由勻變速直線運動公式有

v22－v12=2al,解得。2.動能表達式的確立將上述三個具體問題所得的結論適當變換，可依次得到如下的表達式：①；②；③。仔細研究上述三個表達式，可以發(fā)現它們有著相同的特點：第一，式中的與v相關，因而與動能Ek相關，且與v2成正比也與前面的探究相一致；第二，始末兩態(tài)的之差與力的功W相等，因而與前面重力勢能、彈性勢能的研究相一致，即功是它的變化的量度?？梢?，就是我們尋找的動能的表達式。至此，我們可以定義質量為m的物體，以速度v運動時的動能為Ek=。3.對動能的深入理解關于動能，可從以下四方面來加深理解：動能具有相對性，參考系不同，速度就不同，所以動能也不等。一般都以地面為參考系描述物體的動能。動能是狀態(tài)量，是表征物體運動狀態(tài)的物理量。物體的運動狀態(tài)一旦確定，物體的動能就唯一地被確定了。物體的動能對應于某一時刻運動的能量，它僅與速度的大小有關，而與速度的方向無關。動能是標量，且恒為正值。由動能的表達式可知，動能的單位與功的單位相同，因為

1kg·(m/s)2=1(kg·m/s2)·m=1N·m=1J。4.動能定理及其表達式在上述三個具體問題所得結論的變換式中，我們可以看到，式子左邊均為合力對物體所做的功，式子右邊均為物體動能的變化。這就是說，力（合力）在一個過程中對物體所做的功，等于物體在這個過程中動能的變化。這就是動能定理，其數學表達式為

W=Ek2－Ek1。5.關于合力的功通常，動能定理數學表達式中的W有兩種表述：一是每個力單獨對物體做功的代數和，二是合力對物體所做的功。這樣，動能定理亦相應地有兩種不同的表述：1.外力對物體所做功的代數和等于物體動能的變化。2.合外力對物體所做的功等于物體動能的變化。我們在本章第2節(jié)“做一做”欄目的學習中，已經證明了“幾個力對一個物體做功的代數和，等于這幾個力的合力對這個物體所做功的和”。所以，當幾個力同時對物體做功時，可以先求出物體所受的合力，再求出合力的功；也可以先求出各個力的功，再求出功的代數和，這兩者是相同的。然而，當幾個力對物體做功有先后時，那就只能先求出各個力的功，再求出功的代數和。6.關于動能的變化動能只有正值，沒有負值，但動能的變化卻有正有負。“變化”是指末狀態(tài)的物理量減去初狀態(tài)的物理量，而不一定是大的減小的，有些書上稱之為“增量”。動能的變化量為正值，表示物體的動能增加了，對應于合力對物體做正功；物體的變化量為負值，表示物體的動能減小了，對應于合力對物體做負功，或者說物體克服合力做功。7.動能定理的適用范圍動能定理是從牛頓第二定律F=ma和勻變速直線運動公式

v22－v12=2al推導而得的，雖然它是在受恒力作用、物體做直線運動的特殊條件下得到的，但是，當物體受變力作用或做曲線運動時，我們可把過程分解成許多小段，認為物體在每小段受恒力作用、做直線運動。因此，無論作用在物體上的合力的大小和方向是否改變，物體是沿直線運動還是沿曲線運動，結論仍然成立。也就是說，動能定理適用于直線運動，也適用于曲線運動；適用于恒力做功，也適用于變力做功。力可以是各種性質的力，既可以同時作用，也可以分段作用。只要求出和確定各力做功的多少和正負即可。值得注意的是，在推導動能定理的過程中應用了只能在慣性參考系中成立的牛頓第二定律，因而動能定理也只適用于慣性參考系。而對于不同的慣性參考系，雖然力對物體做的功、物體的動能、動能的變化都不相同，但動能定理作為一個力學規(guī)律在不同的參考系中仍然成立。動能定理適用于在慣性參考系中運動的任何物體。動能定理中涉及的物理量有F、l、m、v、W、Ek等，在處理含有上述物理量的力學問題時，可以考慮使用動能定理。由于只需從力在各段位移內的功和這段位移始末兩狀態(tài)動能變化去研究，無需注意其中運動狀態(tài)變化的細節(jié)，又由于功和動能都是標量，無方向性，無論是對直線運動或曲線運動，計算都會特別方便。當題給條件涉及力的位移效應，而不涉及加速度和時間時，用動能定理求解一般比用牛頓第二定律和運動學公式求解簡便。用動能定理還能解決一些用牛頓第二定律和運動學公式難以求解的問題，如變力作用過程、曲線運動等問題。8.應用動能定理解題的一般步驟及注意點應用動能定理解題的一般步驟是：5.選取研究對象，確定研究過程；6.分析問題受力，明確做功情況；7.根據初、末狀態(tài)，確定初、末動能；8.應用動能定理，列出方程求解。應用動能定理解題應注意以下幾點：1.正確分析物體受力，要考慮物體所受的所有外力，包括重力。2.有些力在物體運動全過程中不是始終存在的，若物體運動過程中包含幾個物理過程，物體運動狀態(tài)、受力等情況均發(fā)生變化，則在考慮外力做功時，必須根據不同情況分別對待。3.若物體運動過程中包含幾個不同的物理過程，解題時可以分段考慮也可視全過程為一整體，用動能定理解題，后者往往更為簡捷。2.對教材兩道例題的提示教材中的兩道例題，分別以飛機起飛和汽車滑行為背景，應用動能定理求出了飛機的牽引力及汽車受到的阻力。兩題均可應用牛頓運動定律結合運動學公式求解，而應用動能定理求解比較方便。在題后的“思考與討論”欄目中提出“阻力做功，汽車的動能到哪里去了”？事實上，汽車的動能轉化成了內能。發(fā)展級2.關于系統(tǒng)的動能定理教材中得到的動能定理

W=Ek2－Ek1是以一個物體為研究對象的，式中

W為所有外力（包括重力、彈力）所做的功。這一定理可推廣到由幾個物體構成的物體系中去，但定理的形式應做相應的變動。因為對一個物體系來說，在狀態(tài)變化的過程中，不僅有外力做功，還可能有內力做功，內力做功也會改變系統(tǒng)的總動能。例如，系統(tǒng)內的爆炸力做功（如手榴彈爆炸），可使整個系統(tǒng)的動能增加；系統(tǒng)內的摩擦力做功，又可使整個系統(tǒng)的動能減少。若以、分別表示外力和內力對系統(tǒng)所做的功，則有。即外力與內力對系統(tǒng)所做的總功，等于系統(tǒng)在這個過程中動能的變化。這就是系統(tǒng)的動能定理。3.對功能關系的深入理解功的概念起源于早期工業(yè)革命的需要。當時的工程師們需要一個比較蒸汽機效益的辦法。在實踐中大家逐漸同意用機器舉起的物體的重量與高度之積來量度機器的輸出，并稱之為功。19世紀初，法國科學家科里奧利明確地把作用力和受力點沿力的方向的位移的乘積叫做“運動的功”。當功和能量這兩個概念在具體的物理過程中“匯合”之時，人們才進了一大步，認識到“功的重要意義在于它可以決定能量的變化，因而為研究能量轉化過程奠定了定量分析的基礎”。這是今天的物理學總把“功”和“能”捆綁在一起的原因。關于功和能的關系，我們可以從下面兩方面加以理解：做功的過程是能量轉化的過程能量有機械能、電能、內能、光能、化學能、核能等多種形式，各種形式的能可以相互轉化，在轉化過程中滿足總能量守恒。在電燈通電時，電流做功，電能轉化為內能和光能；當汽車發(fā)動機工作時，把化學能轉化為機械能；在核反應過程中，核力做功，把核能轉化為內能。要使能量的形式發(fā)生變化，必須通過做功過程才能實現。這一點和初中學過的熱傳遞有著本質的區(qū)別。在熱傳遞中過程，能量的形式并不發(fā)生變化。功是能量轉化的量度在做功使能量的形式發(fā)生變化時，做了多少功，就有多少的能量從一種形式轉化為另一種形式。例如，電阻絲通電時，若電流做了100J的功，就有100J的電能轉化為內能。從這個意義上講，功好像是一把尺子，可以用它來量度能量轉化的大小。我們在推導重力勢能、彈性勢能和動能的表達式時，正是從這一原理入手的。應用鏈接本節(jié)知識的應用主要涉及對動能概念的正確理解，以及動能定理的分析與計算?；A級例1新疆達坂城風口的風速約為v=20m/s，設該地空氣的密度為ρ=1.4kg/m3，若把通過橫截面積S=20m2的風的電能的50%提示本題所求電功率的意義是指單位時間內轉化成的電能。由可知，只要能求出單位時間內通過截面的空氣的動能△E，即可求出P。lS圖5—43解析首先建立風的“柱體模型”，如圖5—43所示，設經過時間t通過截面lS圖5—43m=ρV=ρSl=ρSvt。這部分空氣的動能為

。因為風的動能只有50%轉化為電能，所以其電功率的表達式為。代入數據得

W=×104W。點悟求解本題的關鍵有：在理解功和能的關系的基礎上建立風能（流動空氣的動能）轉化為電能的關系；正確建立風的柱體模型。例2在h高處，以初速度v0向水平方向拋出一個小球，不計空氣阻力，小球著地時速度大小為（）A.B.C.D.提示小球在下落過程中重力做功，可由動能定理計算。解析在小球下落的整個過程中，對小球應用動能定理，有，解得小球著地時速度的大小為

。正確選項為C。圖5—圖5—44θFOPQl例3一質量為

m的小球，用長為l的輕繩懸掛于O點。小球在水平拉力F作用下，從平衡位置P點很緩慢地移動到Q點，如圖5—44所示，則拉力F所做的功為（）A.mglcosθB.mgl(1－cosθ)C.FlcosθD.Flθ提示將小球從位置P很緩慢地拉到位置Q的過程中，球在任一位置均可看作處于平衡狀態(tài)。由平衡條件可得F=mgtanθ，可見，隨著θ角的增大，F也在增大。而變力的功是不能用W=Flcosθ求解的，應從功和能關系的角度來求解。解析小球受重力、水平拉力和繩子拉力的作用，其中繩子拉力對小球不做功，水平拉力對小球做功設為W，小球克服重力做功mgl(1－cosθ)。小球很緩慢移動時可認為動能始終為0，由動能定理W－mgl(1－cosθ)=0，可得

W=mgl(1－cosθ)。正確選項為B。點悟我們應用動能定理，由合力的功與物體動能變化的關系求得了變力所做的功。可見，動能定理在求解變力做功問題中發(fā)揮著重要作用。例4將質量m=2kg的一塊石頭從離地面H=2m高處由靜止開始釋放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深處，不計空氣阻力，求泥對石頭的平均阻力。（g取10m/s2）提示石頭的整個下落過程分為兩段，如圖5—45所示，第一段是空中的自由下落運動，只受重力作用；第二段是在泥潭中的運動，受重力和泥的阻力。兩階段的聯系是，前一段的末速度等于后一段的初速度?？紤]用牛頓第二定律與運動學公式求解，或者由動能定理求解。hH圖5hH圖5—45解法一（應用牛頓第二定律與運動學公式求解）：石頭在空中做自由落體運動，落地速度。在泥潭中的運動階段，設石頭做減速運動的加速度的大小為a，則有v2=2ah，解得

。由牛頓第二定律

，所以泥對石頭的平均阻力N=820N。解法二（應用動能定理分段求解）：設石頭著地時的速度為v，對石頭在空中運動階段應用動能定理，有

；對石頭在泥潭中運動階段應用動能定理，有。由以上兩式解得泥對石頭的平均阻力N=820N。解法三（應用動能定理整體求解）：對石頭在整個運動階段應用動能定理，有。所以，泥對石頭的平均阻力N=820N。點悟從本例提供的三種解法可以看出，應用動能定理求解，要比應用牛頓第二定律與運動學求解簡單得多；而在物體運動的全過程應用動能定理，則往往要比分段應用動能定理顯得更為簡捷。發(fā)展級例5質量為m的子彈以水平速度v1射入以速度v2沿同一方向運動的木塊中，木塊質量為M。當子彈進入木塊中深度為d時，子彈和木塊的速度分別v1’為和v2’。若木塊和子彈的相互作用力為F，木塊與水平面間的摩擦不計，試求這一過程中子彈和木塊組成的系統(tǒng)動能的損失。（用F和提示應用動能定理時，注意子彈與木塊發(fā)生的位移并不相同。圖5—46dl解析如圖5—46所示，設子彈進入木塊深度為d圖5—46dl，。由以上兩式可得系統(tǒng)動能的損失。點悟本題中，子彈和木塊組成的系統(tǒng)損失的動能轉化成了系統(tǒng)的內能。一般說來，作用于系統(tǒng)的滑動摩擦力F與系統(tǒng)內物體間相對滑動的位移d的乘積，在數值上等于因摩擦而轉化成的內能，即“摩擦生熱”Q=Fd。另外，靜摩擦力即使對物體做功，由于相對位移d為0，也不可能生熱。本題也可采用系統(tǒng)的動能定理求解：由，式中

，木塊和子彈的相互作用力對木塊做正功Fl，對子彈做負功－F(l+d)，即，可得子彈和木塊組成的系統(tǒng)動能的損失為。例6總質量為M的列車沿水平直線軌道勻速前進，其末節(jié)車廂的質量為m，中途脫節(jié)。司機發(fā)現時，機車已行駛了距離l，于是立即關閉油門，除去牽引力。設列車運動的阻力與質量成正比，機車的牽引力是恒定的。當列車的兩部分都停止時，它們間的距離是多少？提示對車頭部分與末節(jié)車廂分別應用動能定理。解析設阻力與質量的比例系數為k，機車脫鉤前的速度為v0。對車頭部分，研究脫鉤前后的全過程，根據動能定理有。對末節(jié)車廂，研究脫鉤后的過程，根據動能定理有。由于原先列車勻速運動，所以

F=kMg。由以上三式聯立解得，列車的兩部分都停止時，它們間的距離是。點悟本題也可應用牛頓第二定律結合運動學公式求解，請同學們不妨一試，但用動能定理求解的簡便之處是顯而易見的。本題還可以用功能補償的思路來解，求解過程更簡單：假設中途脫節(jié)時，司機立即發(fā)覺，并立即關閉油門，則車廂和機車會停在同一地點。但因行駛了距離l后才發(fā)現而關閉油門，在此過程中，牽引力做功kMgl，這部分功可用來補償機車多行駛一段距離而克服阻力所做的功k(M－m)g·△s，即kMgl=k(M－m)g·△s，由此解得。課本習題解讀[問題與練習]1.由動能的表達式可知：a.質量不變，速度增大到原來的2倍，動能是原來的4倍；b.速度不變，質量增大到原來的2倍，動能是原來的2倍；c.質量減半，速度增大到原來的4倍，動能是原來的8倍；d.速度減半，質量增大到原來的4倍，動能不變。2.由動能定理

可知，在題目所述的兩種情況下,(v22－v12)較大的，需要做的功較多。速度由10km/h加速到20km/h的情況下：v22－v12=202(km/h)2－102(km/h)2=300(km/h)2；速度由50km/h加速到60km/h的情況下：v22－v12=602(km/h)2－502(km/h)2=1

100(km/h)2?？梢姡笠环N情況所做的功較多。3.設平均阻力為，根據動能定理有，解得

N=×103N。子彈在木板中運動5cm時，所受木板的阻力各處不同，題目所說的平均阻力是對這5cm說的。4.人在下滑過程中，著力和阻力做功，設人受到的阻力為F，根據動能定理有，解得人滑至底端時的速度為m/sm/s≈5.66m/s?？梢?，用動能定理求解本題，要比用牛頓第二定律結合運動學公式求解來得簡捷。5.設人將足球踢出的過程中，人對球做的功為W；從人踢球到球上升至最大高度的過程中，重力做功為WG。在從人踢球到球上升至最大高度的過程中對球應用動能定理，有，即

，故JJ=150J。練習鞏固（5—7）基礎級1.某物體在恒力作用下，從靜止開始做直線運動，若t表示時間，l表示位移，則物體的動能（）A.與t成正比B.與t2成正比C.與l成正比D.與l2成正比2.一物體在水平方向的兩個平衡力（均為恒力）作用下，沿水平方向做勻速直線運動。若撤去一個水平力，且保持另一個水平力不變，則有（）A.物體的動能可能減少B.物體的動能可能不變C.物體的動能可能增加D.余下的那個力一定對物體作正功3.甲、乙兩個滑塊以相同的初動能在同一水平面上滑行，若甲的質量大于乙的質量，兩滑塊與水平面間的動摩擦因數相同，則最后當它們均靜止時滑行的距離（）A.相等B.甲大C.乙大D.無法比較4.某運動員臂長l，將質量為m的鉛球推出。鉛球出手時的速度大小為v0，方向與水平方向成30°角，則運動員對鉛球做了多少功？5.人從高h處將一質量為m的小球水平拋出，不計空氣阻力，測得球落地時速度的大小為v，則人拋球時對球做了多少功？6.質量為1kg的鐵球，由離泥漿地面3m高處自由落下，陷入泥漿中30cm后靜止，則重力對鐵球所做的功是多少？鐵球克服泥漿阻力所做的功是多少？（g取10m/s2）7.一架小型噴氣式飛機的質量為5×103kg，在跑道上從靜止開始滑行時受到的發(fā)動機的牽引力為×104N，設飛機在運動中的阻力是它所受重力的倍，飛機離開跑道的起飛速度為60m/s，求飛機在跑道上滑行的距離。（g取10m/s圖5圖5—47F8.如圖5—47所示，在摩擦可忽略的水平面上停著一輛小車，小車的左端放著一只箱子。在水平恒力F作用下，把箱子從小車的左端拉至右端卸下。如果一次小車被制動，另一次小車未被制動，小車可沿地面運動，在這兩種情況下有（）A.箱子與車面之間的摩擦力一樣大

B.水平恒力F所做的功一樣大C.箱子獲得的加速度一樣大

D.箱子獲得的動能一樣大9.自行車上坡，坡高5.0m，坡長100m，車與人共重×102N，人蹬車的牽引力為78N，車在坡底的速度為5.0m/s，到坡頂時速度為3.0m