第13講正方形同步教學(xué)講義 人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

第13講正方形知識(shí)導(dǎo)航1．有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．2．正方形既是矩形又是菱形，它既具有矩形的性質(zhì)，又具有菱形的性質(zhì)．3．正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形．4．矩形ABCD加上一個(gè)條件：鄰邊相等，就可以得到正方形ABCD．5．菱形ABCD加上一個(gè)條件：一個(gè)角是直角，就可以得到正方形ABCD．【板塊一】正方形的簡(jiǎn)單證明和計(jì)算方法技巧有一內(nèi)角為60°的菱形，較短的正方形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)角線平分一組對(duì)角，可以用來(lái)構(gòu)造對(duì)稱的全等三角形；正方形的四邊相等，相等的邊與直角相鄰，為構(gòu)造全等三角形提供了一對(duì)邊相等，一對(duì)角相等．題型一正方形的簡(jiǎn)單證明【例1】如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，EM⊥BC，EN⊥CD，垂足分別為M，N，連接AE．求證：（1）MN＝AE；（2）AE⊥MN．【例2】如圖1，正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，M，N分別在OA，OB上，且OM＝ON．（1）求證：①BM＝CN；②CN⊥BM；（2）如圖2，若M，N分別在OA，OB的延長(zhǎng)線上，則（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1圖2題型二正方形的簡(jiǎn)單計(jì)算【例3】點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)（不與A，B重合），連接PD，將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PE，連接BE，則∠CBE等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°針對(duì)練習(xí)11．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD邊CD的中點(diǎn)，∠ABE的平分線交AD于點(diǎn)F，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．求證：AG＝BF．2．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為端點(diǎn)引兩條互相垂直的射線OM，ON，分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：OE＝OF；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求EF的最小值．3．，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是對(duì)角線AC，BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC，BD相交于點(diǎn)O．（1）如圖1，若AE＝DF，求證：AF＝BE；（2）如圖2，若點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)，DF＝BD，AF與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，求∠M的度數(shù)；（3）若正方形的邊長(zhǎng)為3，DF＝，當(dāng)射線AF與BE的夾角為45°時(shí)，則DF＝．（請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果）圖1圖2圖3【板塊二】正方形中的問(wèn)題方法技巧證“a＝b”型問(wèn)題常a，b將轉(zhuǎn)化到等腰直角三角形中解決問(wèn)題．題型三正方形中形如a＝b線段關(guān)系探究【例1】如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE，BE，DE，過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝＋．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④題型四

正方形中形如線段關(guān)系探究◆方法技巧◆

通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短或作垂線，構(gòu)造全等，構(gòu)造等腰直角三角形是解決“倍線段關(guān)系問(wèn)題”的關(guān)鍵.方法一:→補(bǔ)短法(或作垂線)→構(gòu)造等腰直角三角形方法二:→截長(zhǎng)法(或作垂線)→構(gòu)造等腰直角三角形【例2】如圖1，正方形ABCD中，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE=AB，M，N分別為AE，BC的中點(diǎn)，MN交ED于點(diǎn)H.(1)求證:∠HEB=∠HNB；

(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥ED于點(diǎn)P，連接BP，求的值.

針對(duì)練習(xí)21.如圖，在正方形ABCD中，E為BD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，且AE=EF，求證:CF=DE.2.如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊CD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C，D重合)，連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)EF，點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，連結(jié)AC，BM.(1)求證:AE=AF；(2)當(dāng)點(diǎn)E在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與C，D重合)，的值是否發(fā)生變化？(3)求的值.3.已知E是正方形BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是CD邊上一點(diǎn)，∠EAF=45°，AE，AF分別交BD于點(diǎn)G，H.(1)如圖1，求證:AE=AH；BH=BE+AB；(2)如圖2，求證:CE=HD.4.在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB延長(zhǎng)線，BC邊上的點(diǎn)，且BE=BF，連接CE，AF.(1)如圖1，求證:AF⊥CE；(2)如圖2，延長(zhǎng)AF交CE于點(diǎn)G，作CH⊥BG于點(diǎn)H，求證:AG=BH；(3)分別取AC，EF的中點(diǎn)M，N，若AB=3，BE=1，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段MN的長(zhǎng)度為_(kāi)___.【板塊三】正方形中線段的和差倍分關(guān)系題型五正方形中線段的和差關(guān)系【例1】如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC上一點(diǎn)，EG⊥AF于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G，求證:BE+BF=CG.【例2】如圖，直線MN經(jīng)過(guò)正方形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)A(不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)B，C，D)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥MN于點(diǎn)F.線段AF，CF，BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，并選擇圖1、圖2中的一種情況給予證明.

題型六

正方形中線段的倍分關(guān)系【例3】正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AB上，且AF=BE，DF交AE于點(diǎn)H.(1)直按寫(xiě)出線段AE，DF的位置及數(shù)量關(guān)系為_(kāi)___________________；(2)如圖1，在HD上取一點(diǎn)M，使HM=HA，點(diǎn)O為MC的中點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出線段DH與DO的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖2，將直線FD沿射線AE方向平移，交線段AB于點(diǎn)N，交AE于點(diǎn)I，交CD于點(diǎn)K，若DI=DC，求的值.針對(duì)練習(xí)31.如圖，在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上，∠BAE=∠AEF.

(1)求證:∠FAE=45°；(2)求的值.2.如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，且∠1=∠2，求證:AF=BC+CF.3.正方形ABCD與正方形有公共頂點(diǎn)D，連按，，點(diǎn)M，N分別為，的中點(diǎn)，連按MN.(1)如圖1，當(dāng)C在上時(shí)，求證:C=2MN；(2)正方形DCBA繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其他條件不變，(1)的結(jié)論是否成立?加以證明【板塊四】正方形中的折疊問(wèn)題題型七正方形中折疊問(wèn)題【例1】在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將正方形沿EF折疊，使點(diǎn)B落在CD上的點(diǎn)H處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，CH交AD于點(diǎn)P.(1)如圖1，求證，AE+CH=FH；(2)如圖2，求證:∠HBP=45°；(3)求證:PE+PG+EG=HD.【例2】已知正方形ADCD的邊長(zhǎng)是2，點(diǎn)P沿A→B→C→D運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D停止.(1)如圖1，連接PD，AP，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離為x，請(qǐng)用x表示△APD的面積y(直接寫(xiě)出結(jié)果)；(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于點(diǎn)E.①如圖2，點(diǎn)P在線段BC上，將△APB沿AP翻折得到△APB′，連接DB′，求∠B′DE的度數(shù)；②如圖3，連接EC，若△CDE是等腰三角形，則DE=_____.(直接寫(xiě)出結(jié)果)針對(duì)練習(xí)41.如圖，將正方形ABCD折疊，使點(diǎn)A與CD邊上一點(diǎn)F重合(F不與D，C重合)，折痕為EM，點(diǎn)M在CB上，邊AB折疊后與邊BC交于點(diǎn)G，設(shè)正方形的周長(zhǎng)為m，△FCG的周長(zhǎng)為n，則的值為()A.B.C.D.2.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)是正方形ABCD內(nèi)的兩點(diǎn)，且BE=AB，BF=DF，∠EBF=∠CBF，求∠BEF的度數(shù).【板塊五】構(gòu)造正方形技巧題型八翻折或旋轉(zhuǎn)三角形構(gòu)成正方形【例1】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于點(diǎn)E，若AE=10，求.【例2】如圖，四辺形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E為CD上一點(diǎn)，∠BAE=45°，若CD=4，求BC的長(zhǎng)和△ABE的面積.題型九補(bǔ)全圖形成正方形【例3】如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=90°，∠BCD=150°，求∠BAD的度數(shù).【例4】如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E，K分別在BC，AB上，點(diǎn)G在BA的延長(zhǎng)線上，且CE=BK=AG.(1)求證：①DE=DG.②DE⊥DG；(2)尺規(guī)作圖:以線段DE，DG為邊作出正方形DEFG；(要求:只保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和征明)(3)連接(2)中的KF.猜想并寫(xiě)出四辺形CEFK是怎樣的特殊四辺形.并證明你的猜想；(4)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值.針對(duì)練習(xí)1

1.如圖，在四邊形AECD中，∠E=∠C=90°，AE=CE，M為EC上一點(diǎn)，若∠MAD=45°，CD=6，CM=8，求EM的長(zhǎng).2.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，D是AB上一點(diǎn)，ED⊥AB，ED=AB，連接EA，EC，若∠EAC=45°，AE=10，AD=6，求BC的長(zhǎng).【板塊六】坐標(biāo)系中的正方形題型十正方形與坐標(biāo)系的結(jié)合【例1】如圖，A(1，0)，B(0，3)，以AB為邊作正方形ABCD，求點(diǎn)C，D的坐標(biāo).【例2】已知A（a，0），B（b，0），C（a，b），其中a，b滿足．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和四邊形OACB的面積；（2）如圖，第四象限的點(diǎn)P（m，n）在射線AB上，且mn＝﹣14，求OP2－OA2的值；（3）如圖，D是OC上一點(diǎn)，ED⊥OA于點(diǎn)E，M是CD的中點(diǎn)，連接BE，EM，線段BE交OC于點(diǎn)N，求的值．（圖1）（圖2）（圖3）針對(duì)練習(xí)61．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的OA邊與x軸的夾角為30°，求B，C的坐標(biāo)．2．如圖，A（﹣3，4），四邊形OABC為正方形，AB交y軸于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．3．如圖，E（﹣2，0），A（0，4），延長(zhǎng)EA至點(diǎn)D，使AD＝AE，四邊形ADCB為正方形．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求CE的長(zhǎng)．4．在平面直