《矩形的性質(zhì)與判定》優(yōu)生輔導(dǎo)訓(xùn)練 北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《1.2矩形的性質(zhì)與判定》優(yōu)生輔導(dǎo)訓(xùn)練（附答案）1．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，則∠DEC＝°．2．如圖所示，長(zhǎng)方形紙片上畫有兩個(gè)完全相同的灰色長(zhǎng)方形，那么剩余白色長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（用含a，b的式子表示）．3．如圖，在矩形ABCD中，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，并且AC平分∠DAE，AC＝12cm，AD＝9cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜6），則當(dāng)t＝時(shí)，△PQA為等腰三角形．4．在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若∠ACB＝30°，則∠AOB的度數(shù)是．5．如圖矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)O作BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，則AE的長(zhǎng)為．6．如圖，O是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，若AB＝6，AD＝8，則四邊形ABOM的周長(zhǎng)為．7．在矩形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O．過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BD交射線BC于點(diǎn)E，若BE＝2CE，AB＝3，則AD的長(zhǎng)為．8．已知矩形ABCD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為BD上一點(diǎn)，OE＝1，連接AE，∠AOB＝60°，AB＝2，則AE的長(zhǎng)為．9．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于F，連接CF，當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí)，則BE的長(zhǎng)是10．矩形的對(duì)角線長(zhǎng)13，一邊長(zhǎng)為5，則它的面積為．11．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O且AC，BD互相平分，若添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD是矩形，則這個(gè)條件可以是（填寫一個(gè)即可）．12．工人師傅在測(cè)量一個(gè)門框是否是矩形時(shí)，只需要用到一個(gè)直角尺，則他用到的判定方法是．13．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，OA＝OC，OB＝OD，添加一個(gè)條件使四邊形ABCD是矩形，那么所添加的條件可以是（寫出一個(gè)即可）．14．如圖，在平行四邊形ABCD中，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使平行四邊形ABCD是矩形．15．如圖四邊形ABCD是平行四邊形，若（添加一個(gè)條件），四邊形ABCD是矩形．16．如圖，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使平行四邊形ABCD成為矩形．（答出一個(gè)即可）17．用一把刻度尺來(lái)判定一個(gè)零件是矩形的方法是先測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等，然后測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否相等，這樣做的依據(jù)是．18．?ABCD，補(bǔ)充條件（一個(gè)即可）時(shí)，?ABCD為矩形．19．工人師傅在做門窗或矩形零件時(shí)，不僅要測(cè)量?jī)山M對(duì)邊的長(zhǎng)度是否相等，常常還要測(cè)量它們的兩條對(duì)角線是否相等，以確保圖形是矩形．這依據(jù)的道理是．20．將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖①所示擺放在一起，設(shè)較短直角邊為1，如圖②所示，Rt△BCD沿射線BD方向平移，在平移的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距離為時(shí)四邊形ABC′D′為矩形．21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，連接EF，則線段EF的最小值是．22．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，連接EF，則EF的最小值為cm．23．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G為四邊形DEAF對(duì)角線交點(diǎn)，則線段GF的最小值為．24．如圖，將一矩形紙片ABCD沿著虛線EF剪成兩個(gè)全等的四邊形紙片．根據(jù)圖中標(biāo)示的長(zhǎng)度與角度，求出剪得的四邊形紙片中較短的邊AE的長(zhǎng)是．25．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為．26．如圖，若將四根木條釘成的矩形木框ABCD變形為平行四邊形A′BCD′，并使其面積為矩形ABCD面積的一半，若A′D′與CD交于點(diǎn)E，且AB＝2，則△ECD′的面積是．27．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，M為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作MD⊥AC，過(guò)M作ME⊥CB于點(diǎn)E，則線段DE的最小為．28．如圖，在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分別是D、E．線段DE的最小值是cm．29．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為．30．如圖，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，則線段EF長(zhǎng)度的最小值是．

參考答案1．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠OCD，∴∠DEC＝∠OCD＝∠ODC，設(shè)∠DEC＝∠OCD＝∠ODC＝x，則∠COD＝180°﹣2x，又∵∠COD＝∠DEC+∠EDO，∴180°﹣2x＝x+15°，解得：x＝55°，即∠DEC＝55°，故答案為：55．2．解：剩余白色長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為b，寬為（b﹣a），所以剩余白色長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)＝2b+2（b﹣a）＝4b﹣2a．故答案為4b﹣2a．3．解：∵四邊形ABCD是矩形，AC＝12cm，AD＝9cm，∴AD＝BC＝12cm，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴AB＝，∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠CAE，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAC＝∠CAE．∴EA＝EC，設(shè)EA＝EC＝xcm，則BE＝9﹣x（cm），∵AE2＝BE2＝AB2，∴，解得，x＝8，∴AE＝EC＝8cm，由題意知，PE＝tcm，CQ＝2tcm，則AP＝8﹣t（cm），AQ＝12﹣2t（cm），當(dāng)AP＝AQ時(shí)，有8﹣t＝12﹣2t，解得t＝4；當(dāng)PA＝PQ時(shí)，∠PAQ＝∠AQP＝∠ACB，∴t＝0（舍去）；當(dāng)QP＝QA時(shí)，∠QPA＝∠QAP＝∠ECA，∵∠PAQ＝∠CAE，∴t＝5．綜上，當(dāng)t＝4秒或5秒時(shí)，△PQA為等腰三角形．故答案為：4或5．4．解：∵矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠ACB＝30°，∴∠AOB＝∠OBC+∠ACB＝30°+30°＝60°．故答案為60°5．解：連接EB，∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB，設(shè)AE＝xcm，則DE＝EB＝（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2＝BE2，即：x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝，故答案為：cm．6．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，∴AC＝＝10，∵AO＝OC，∴BO＝AC＝5，∵AO＝OC，AM＝MD＝4，∴OM＝CD＝3，∴四邊形ABOM的周長(zhǎng)為AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．故答案為18．7．解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵BE＝2CE，∴BC＝CE，∵OE⊥BD，∴OC＝BC＝CE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，AD＝BC；∴BO＝CO＝BC，∴△BOC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°∴BC＝＝AD，如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，設(shè)直線OE與直線AB，CD交于點(diǎn)F，點(diǎn)H，∵AB∥CD，∴AF＝CH，∵AB∥CD，∴BF＝2CH＝2AF，∴3+AF＝2AF，∴AF＝3＝AB，且OE⊥BD，∴AO＝AB＝AF＝3，∵AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等邊三角形，∴∠ABD＝60°，∴AD＝3，故答案為：3或．8．解：如圖，連接AE，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB，且∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AO＝OB＝AB＝2，若點(diǎn)E在BO上時(shí)，∵OE＝1，∴BE＝EO＝1，且△ABO等邊三角形，∴AE⊥BO，∴AE＝＝＝，若點(diǎn)E'在OD上時(shí)，∴AE'＝＝＝，故答案為：或．9．解：①CF＝CD時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DF，垂足為點(diǎn)M．則CM∥AE，DM＝MF，延長(zhǎng)CM交AD于點(diǎn)G，∴AG＝GD＝1，∵AG∥EC，AE∥CG，∴四邊形AECG是平行四邊形，∴CE＝AG＝1，∴當(dāng)BE＝1時(shí)，△CDF是等腰三角形．②DF＝DC時(shí)，則DC＝DF＝1，∵DF⊥AE，AD＝2，∴∠DAE＝30°，∴∠AEB＝30°則BE＝∴當(dāng)BE＝時(shí)，△CDF是等腰三角形；③FD＝FC時(shí)，則點(diǎn)F在CD的垂直平分線上，故F為AE中點(diǎn)．∵AB＝1，BE＝x，∴AE＝，AF＝，∴當(dāng)BE＝2﹣時(shí)，△CDF是等腰三角形．綜上，當(dāng)BE＝1、、2﹣時(shí)，△CDF是等腰三角形．故答案為：1或或2﹣．10．解∵對(duì)角線長(zhǎng)為13，一邊長(zhǎng)為5，∴另一條邊長(zhǎng)＝＝12，∴S矩形＝12×5＝60；故答案為：60．11．解：∵對(duì)角線AC與BD互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，要使四邊形ABCD成為矩形，需添加一個(gè)條件是：AC＝BD或有個(gè)內(nèi)角等于90度．故答案為：AC＝BD或有個(gè)內(nèi)角等于90度．12．解：用直角尺測(cè)量門框的三個(gè)角是否都是直角，如果都是直角，則四邊形是矩形．故答案為：三個(gè)角是直角的四邊形為矩形13．解：添加的條件是：AC＝BD或∠ABC＝90°；理由如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)AC＝BD時(shí)，四邊形ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）；當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）．故答案為：AC＝BD或∠ABC＝90°．14．解：添加條件：∠ABC＝90°或AD⊥AB（答案不唯一）．理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形（矩形的定義）．故答案是：∠ABC＝90°．15．解：根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可以添加∠ABC＝90°；根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，可以添加AC＝BD；故答案為∠ABC＝90°或AC＝BD．16．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)AC＝BD或∠BAD＝90°或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠ADC＝90°時(shí)，平行四邊形ABCD成為矩形；故答案為：AC＝BD或∠BAD＝90°或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠ADC＝90°．17．解：先測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等，可判定是否是平行四邊形，然后測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否相等可判定是否是矩形，所以這樣做的依據(jù)是：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故答案為：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．18．解：添加的條件是AC＝BD，理由是：∵AC＝BD，四邊形ABCD是平行四邊形，∴平行四邊形ABCD是矩形，故答案為：AC＝BD19．解：因?yàn)殚T窗所構(gòu)成的形狀是矩形，所以根據(jù)矩形的判定（對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形）可得出．故答案為：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．20．解：如圖：當(dāng)四邊形ABC′D是矩形時(shí)，∠B′BC′＝90°﹣30°＝60°，∵B′C′＝1，∴BB′＝，當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距離為時(shí)，四邊形ABC′D′為矩形．故答案為：．21．解：如圖，連接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，∴四邊形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂線段最短可得CD⊥AB時(shí)，線段EF的值最小，此時(shí)，S△ABC＝BC?AC＝AB?CD，即×12×5＝×13?CD，解得：CD＝，∴EF＝．故答案為：．22．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC為直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四邊形AEPF為矩形，連接AP，如圖，EF＝AP，當(dāng)AP的值最小時(shí)，EF的值最小，當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，根據(jù)△ABC面積公式，×AB?AC＝×AP?BC，∴AP＝＝＝，∴EF的最小值為．故答案為．23．解：連接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小，此時(shí)，△ABC的面積＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴EF的最小值為，∵點(diǎn)G為四邊形DEAF對(duì)角線交點(diǎn)，∴GF＝EF＝；故答案為：．24．解：過(guò)F作FQ⊥AD于Q，則∠FQE＝90°，∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，∴四邊形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝4，∴AE＝CF＝×（10﹣4）＝3，故答案為：3．25．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小，此時(shí)，△ABC的面積＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值為；故答案為：．26．解：作A'F⊥BC于F，如圖所示：則∠A'FB＝90°，根據(jù)題意得：平行四邊形A′BCD′的面積＝BC?A'F＝BC?AB，∴A'F＝AB＝1，∴∠D＝∠B＝30°，∴BF＝A'F＝，∵四邊形ABCD是矩形，四邊形A′BCD′是平行四邊形，∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，∴CD⊥A'D'，∴A'F∥CD，∴四邊形A'ECF是矩形，∴CE＝A'F＝1，A'E＝CF，∴DE＝BF＝，∴△ECD的面積＝DE×CE