《矩形的性質(zhì)與判定》優(yōu)生輔導(dǎo)訓(xùn)練 北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊

北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊《1.2矩形的性質(zhì)與判定》優(yōu)生輔導(dǎo)訓(xùn)練（附答案）1．如圖，矩形ABCD的對角線交于點O，點E在線段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，則∠DEC＝°．2．如圖所示，長方形紙片上畫有兩個完全相同的灰色長方形，那么剩余白色長方形的周長為（用含a，b的式子表示）．3．如圖，在矩形ABCD中，AC是矩形ABCD的對角線，并且AC平分∠DAE，AC＝12cm，AD＝9cm，動點P從點E出發(fā)，沿EA方向勻速運動，速度為1cm/s，同時動點Q從點C出發(fā)，沿CA方向勻速運動，速度為2cm/s，連接PQ，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜6），則當t＝時，△PQA為等腰三角形．4．在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若∠ACB＝30°，則∠AOB的度數(shù)是．5．如圖矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，過對角線BD的中點O作BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點E、F，則AE的長為．6．如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，若AB＝6，AD＝8，則四邊形ABOM的周長為．7．在矩形ABCD中，AC、BD交于點O．過點O作OE⊥BD交射線BC于點E，若BE＝2CE，AB＝3，則AD的長為．8．已知矩形ABCD，對角線AC、BD相交于點O，點E為BD上一點，OE＝1，連接AE，∠AOB＝60°，AB＝2，則AE的長為．9．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC邊上的一個動點，連接AE，過點D作DF⊥AE于F，連接CF，當△CDF為等腰三角形時，則BE的長是10．矩形的對角線長13，一邊長為5，則它的面積為．11．在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O且AC，BD互相平分，若添加一個條件使得四邊形ABCD是矩形，則這個條件可以是（填寫一個即可）．12．工人師傅在測量一個門框是否是矩形時，只需要用到一個直角尺，則他用到的判定方法是．13．在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，OA＝OC，OB＝OD，添加一個條件使四邊形ABCD是矩形，那么所添加的條件可以是（寫出一個即可）．14．如圖，在平行四邊形ABCD中，在不添加任何輔助線的情況下，請?zhí)砑右粋€條件，使平行四邊形ABCD是矩形．15．如圖四邊形ABCD是平行四邊形，若（添加一個條件），四邊形ABCD是矩形．16．如圖，請你添加一個適當?shù)臈l件，使平行四邊形ABCD成為矩形．（答出一個即可）17．用一把刻度尺來判定一個零件是矩形的方法是先測量兩組對邊是否分別相等，然后測量兩條對角線是否相等，這樣做的依據(jù)是．18．?ABCD，補充條件（一個即可）時，?ABCD為矩形．19．工人師傅在做門窗或矩形零件時，不僅要測量兩組對邊的長度是否相等，常常還要測量它們的兩條對角線是否相等，以確保圖形是矩形．這依據(jù)的道理是．20．將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖①所示擺放在一起，設(shè)較短直角邊為1，如圖②所示，Rt△BCD沿射線BD方向平移，在平移的過程中，當點B的移動距離為時四邊形ABC′D′為矩形．21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一動點，過點D作DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，連接EF，則線段EF的最小值是．22．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，連接EF，則EF的最小值為cm．23．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，點G為四邊形DEAF對角線交點，則線段GF的最小值為．24．如圖，將一矩形紙片ABCD沿著虛線EF剪成兩個全等的四邊形紙片．根據(jù)圖中標示的長度與角度，求出剪得的四邊形紙片中較短的邊AE的長是．25．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接MN，則線段MN的最小值為．26．如圖，若將四根木條釘成的矩形木框ABCD變形為平行四邊形A′BCD′，并使其面積為矩形ABCD面積的一半，若A′D′與CD交于點E，且AB＝2，則△ECD′的面積是．27．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，M為斜邊AB上一動點，過M作MD⊥AC，過M作ME⊥CB于點E，則線段DE的最小為．28．如圖，在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，M是BC邊上的動點，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分別是D、E．線段DE的最小值是cm．29．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，則AM的最小值為．30．如圖，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P為AB上一動點，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，則線段EF長度的最小值是．

參考答案1．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠OCD，∴∠DEC＝∠OCD＝∠ODC，設(shè)∠DEC＝∠OCD＝∠ODC＝x，則∠COD＝180°﹣2x，又∵∠COD＝∠DEC+∠EDO，∴180°﹣2x＝x+15°，解得：x＝55°，即∠DEC＝55°，故答案為：55．2．解：剩余白色長方形的長為b，寬為（b﹣a），所以剩余白色長方形的周長＝2b+2（b﹣a）＝4b﹣2a．故答案為4b﹣2a．3．解：∵四邊形ABCD是矩形，AC＝12cm，AD＝9cm，∴AD＝BC＝12cm，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴AB＝，∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠CAE，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAC＝∠CAE．∴EA＝EC，設(shè)EA＝EC＝xcm，則BE＝9﹣x（cm），∵AE2＝BE2＝AB2，∴，解得，x＝8，∴AE＝EC＝8cm，由題意知，PE＝tcm，CQ＝2tcm，則AP＝8﹣t（cm），AQ＝12﹣2t（cm），當AP＝AQ時，有8﹣t＝12﹣2t，解得t＝4；當PA＝PQ時，∠PAQ＝∠AQP＝∠ACB，∴t＝0（舍去）；當QP＝QA時，∠QPA＝∠QAP＝∠ECA，∵∠PAQ＝∠CAE，∴t＝5．綜上，當t＝4秒或5秒時，△PQA為等腰三角形．故答案為：4或5．4．解：∵矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠ACB＝30°，∴∠AOB＝∠OBC+∠ACB＝30°+30°＝60°．故答案為60°5．解：連接EB，∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB，設(shè)AE＝xcm，則DE＝EB＝（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2＝BE2，即：x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝，故答案為：cm．6．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，∴AC＝＝10，∵AO＝OC，∴BO＝AC＝5，∵AO＝OC，AM＝MD＝4，∴OM＝CD＝3，∴四邊形ABOM的周長為AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．故答案為18．7．解：如圖，當點E在BC的延長線上時，∵BE＝2CE，∴BC＝CE，∵OE⊥BD，∴OC＝BC＝CE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，AD＝BC；∴BO＝CO＝BC，∴△BOC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°∴BC＝＝AD，如圖，當點E在線段BC上時，設(shè)直線OE與直線AB，CD交于點F，點H，∵AB∥CD，∴AF＝CH，∵AB∥CD，∴BF＝2CH＝2AF，∴3+AF＝2AF，∴AF＝3＝AB，且OE⊥BD，∴AO＝AB＝AF＝3，∵AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等邊三角形，∴∠ABD＝60°，∴AD＝3，故答案為：3或．8．解：如圖，連接AE，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB，且∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AO＝OB＝AB＝2，若點E在BO上時，∵OE＝1，∴BE＝EO＝1，且△ABO等邊三角形，∴AE⊥BO，∴AE＝＝＝，若點E'在OD上時，∴AE'＝＝＝，故答案為：或．9．解：①CF＝CD時，過點C作CM⊥DF，垂足為點M．則CM∥AE，DM＝MF，延長CM交AD于點G，∴AG＝GD＝1，∵AG∥EC，AE∥CG，∴四邊形AECG是平行四邊形，∴CE＝AG＝1，∴當BE＝1時，△CDF是等腰三角形．②DF＝DC時，則DC＝DF＝1，∵DF⊥AE，AD＝2，∴∠DAE＝30°，∴∠AEB＝30°則BE＝∴當BE＝時，△CDF是等腰三角形；③FD＝FC時，則點F在CD的垂直平分線上，故F為AE中點．∵AB＝1，BE＝x，∴AE＝，AF＝，∴當BE＝2﹣時，△CDF是等腰三角形．綜上，當BE＝1、、2﹣時，△CDF是等腰三角形．故答案為：1或或2﹣．10．解∵對角線長為13，一邊長為5，∴另一條邊長＝＝12，∴S矩形＝12×5＝60；故答案為：60．11．解：∵對角線AC與BD互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，要使四邊形ABCD成為矩形，需添加一個條件是：AC＝BD或有個內(nèi)角等于90度．故答案為：AC＝BD或有個內(nèi)角等于90度．12．解：用直角尺測量門框的三個角是否都是直角，如果都是直角，則四邊形是矩形．故答案為：三個角是直角的四邊形為矩形13．解：添加的條件是：AC＝BD或∠ABC＝90°；理由如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，當AC＝BD時，四邊形ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）；當∠ABC＝90°時，四邊形ABCD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）．故答案為：AC＝BD或∠ABC＝90°．14．解：添加條件：∠ABC＝90°或AD⊥AB（答案不唯一）．理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形（矩形的定義）．故答案是：∠ABC＝90°．15．解：根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，可以添加∠ABC＝90°；根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，可以添加AC＝BD；故答案為∠ABC＝90°或AC＝BD．16．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當AC＝BD或∠BAD＝90°或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠ADC＝90°時，平行四邊形ABCD成為矩形；故答案為：AC＝BD或∠BAD＝90°或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠ADC＝90°．17．解：先測量兩組對邊是否分別相等，可判定是否是平行四邊形，然后測量兩條對角線是否相等可判定是否是矩形，所以這樣做的依據(jù)是：對角線相等的平行四邊形是矩形，故答案為：對角線相等的平行四邊形是矩形．18．解：添加的條件是AC＝BD，理由是：∵AC＝BD，四邊形ABCD是平行四邊形，∴平行四邊形ABCD是矩形，故答案為：AC＝BD19．解：因為門窗所構(gòu)成的形狀是矩形，所以根據(jù)矩形的判定（對角線相等的平行四邊形為矩形）可得出．故答案為：對角線相等的平行四邊形是矩形．20．解：如圖：當四邊形ABC′D是矩形時，∠B′BC′＝90°﹣30°＝60°，∵B′C′＝1，∴BB′＝，當點B的移動距離為時，四邊形ABC′D′為矩形．故答案為：．21．解：如圖，連接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，∴四邊形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂線段最短可得CD⊥AB時，線段EF的值最小，此時，S△ABC＝BC?AC＝AB?CD，即×12×5＝×13?CD，解得：CD＝，∴EF＝．故答案為：．22．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC為直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四邊形AEPF為矩形，連接AP，如圖，EF＝AP，當AP的值最小時，EF的值最小，當AP⊥BC時，AP的值最小，根據(jù)△ABC面積公式，×AB?AC＝×AP?BC，∴AP＝＝＝，∴EF的最小值為．故答案為．23．解：連接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴當AD⊥BC時，AD的值最小，此時，△ABC的面積＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴EF的最小值為，∵點G為四邊形DEAF對角線交點，∴GF＝EF＝；故答案為：．24．解：過F作FQ⊥AD于Q，則∠FQE＝90°，∵四邊形ABCD是長方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，∴四邊形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝4，∴AE＝CF＝×（10﹣4）＝3，故答案為：3．25．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴當AD⊥BC時，AD的值最小，此時，△ABC的面積＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值為；故答案為：．26．解：作A'F⊥BC于F，如圖所示：則∠A'FB＝90°，根據(jù)題意得：平行四邊形A′BCD′的面積＝BC?A'F＝BC?AB，∴A'F＝AB＝1，∴∠D＝∠B＝30°，∴BF＝A'F＝，∵四邊形ABCD是矩形，四邊形A′BCD′是平行四邊形，∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，∴CD⊥A'D'，∴A'F∥CD，∴四邊形A'ECF是矩形，∴CE＝A'F＝1，A'E＝CF，∴DE＝BF＝，∴△ECD的面積＝DE×CE