《變化率與導(dǎo)數(shù)》同步練習(xí)2

《變化率與導(dǎo)數(shù)》同步練習(xí)一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)2．曲線y＝x3＋11在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()A．－9B．－3C．9 D．153．曲線y＝eq\f(sinx,sinx＋cosx)－eq\f(1,2)在點(diǎn)M(eq\f(π,4)，0)處的切線的斜率為()A．－eq\f(1,2) \f(1,2)C．－eq\f(\r(2),2) \f(\r(2),2)4．設(shè)曲線y＝ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a＝()A．1 \f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－15．若點(diǎn)P是曲線y＝x2－lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離為()A．1 \r(2)\f(\r(2),2) \r(3)6．放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變．假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量M(單位：太貝克)與時間t(單位：年)滿足函數(shù)關(guān)系：M(t)＝M02－eq\f(t,30)，其中M0為t＝0時銫137的含量．已知t＝30時，銫137含量的變化率是－10ln2(太貝克/年)，則M(60)＝()A．5太貝克 B．75ln2太貝克C．150ln2太貝克 D．150太貝克二、填空題7．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝________.8．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax－4(a∈R)，若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)P(1，f(1))處的切線的傾斜角為eq\f(π,4)，則a＝________.9．若曲線f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．三、解答題10．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(ex＋1,ex－1)；11．[文]設(shè)曲線C：y＝－lnx(0＜x≤1)在點(diǎn)M(e－t，t)(t≥0)處的切線為l.(1)求直線l的方程；(2)若直線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t)，求S(t)的最大值．12．已知曲線S：y＝3x－x3及點(diǎn)P(2,2)．(1)求過點(diǎn)P的切線方程；(2)求證：與曲線S切于點(diǎn)(x0，y0)(x0≠0)的切線與S至少有兩個交點(diǎn)．詳解答案一、選擇題1.解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f′(2)、f′(3)分別表示曲線在x＝2，x＝3處的切線的斜率，而f(3)－f(2)表示直線AB的斜率，即kAB＝f(3)－f(2)．由圖形可知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．答案：B2．解析：y′＝3x2，故曲線在點(diǎn)P(1,12)處的切線斜率是3，故切線方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.答案：C3．解析：y′＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2)＝eq\f(1,1＋sin2x)，把x＝eq\f(π,4)代入得導(dǎo)數(shù)值為eq\f(1,2).答案：B4．解析：∵y′＝2ax，∴y′|x＝1＝2a.即y＝ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線斜率為2a.直線2y－6＝0的斜率為2.∵這兩直線平行，∴它們的斜率相等，即2a＝2，解得a答案：A5．解析：設(shè)P(x0，y0)，則y′|x＝x0＝2x0－eq\f(1,x0).由2x0－eq\f(1,x0)＝1，得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2)(舍)．∴P點(diǎn)坐標(biāo)(1,1)．∴P到直線y＝x－2距離為d＝eq\f(|1－1－2|,\r(1＋1))＝eq\r(2).答案：B6．解析：因?yàn)镸′(t)＝－eq\f(1,30)M02·ln2，所以M′(30)＝－eq\f(1,60)M0ln2＝－10ln2.所以M0＝600.所以M(t)＝600×2.所以M(60)＝600×2－2＝150(太貝克)．答案：D二、填空題7．解析：f′(x)＝2x＋2f∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.答案：－48．解析：f′(x)＝－3x2＋a，y＝f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為eq\f(π,4)，即f′(1)＝taneq\f(π,4)，∴－3＋a＝1，解得a＝4.答案：49．解析：曲線f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y軸的切線，即f′(x)＝0有解．又∵f′(x)＝5ax4＋eq\f(1,x)，∴方程5ax4＋eq\f(1,x)＝0有解．∴5ax5＝－1有解．又∵x>0，∴a<0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)．答案：(－∞，0)三、解答題10．解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)法一：y′＝eq\f(ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′,ex－12)＝eq\f(exex－1－ex＋1ex,ex－12)＝eq\f(－2ex,ex－12).法二：∵y＝eq\f(ex－1＋2,ex－1)＝1＋eq\f(2,ex－1)，∴y′＝1′＋(eq\f(2,ex－1))′，即y′＝eq\f(－2ex,ex－12).11．解：(1)∵y′＝(－lnx)′＝－eq\f(1,x)(0＜x≤1)，∴在點(diǎn)M(e－t，t)處的切線l的斜率為－et，故切線l的方程為y－t＝－et(x－e－t)，即etx＋y－1－t＝0.(2)令x＝0，得y＝t＋1；再令y＝0，得x＝eq\f(t＋1,et).∴S(t)＝eq\f(1,2)(t＋1)eq\f(t＋1,et)＝eq\f(1,2)(t＋1)2e－t(t≥0)．從而S′(t)＝eq\f(1,2)e－t(1－t)(1＋t)．∵當(dāng)t∈[0,1)時，S′(t)>0；當(dāng)t∈(1，＋∞)時，S′(t)<0，∴S(t)的最大值為S(1)＝eq\f(2,e).12．解：(1)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則y0＝3x0－xeq\o\al(3,0).又f′(x)＝3－3x2，∴切線斜率k＝eq\f(y0－2,x0－2)＝3－3xeq\o\al(2,0).即3x0－xeq\o\al(3,0)－2＝(x0－2)(3－3xeq\o\al(2,0))．∴(x0－1)[(x0－1)2－3]＝0.解得x0＝1或x0＝1±eq\r(3).相應(yīng)的斜率k＝0或k＝－9±6eq\r(3)，∴切線方程為y＝2或y＝(－9±6eq\r(3))(x－2)＋2.(2)證明：與曲線S切于點(diǎn)(x0，y0)的切線方程可設(shè)為y－y0＝(3－3xeq\o\al(2,0))(x－x0)，與曲線S的方程聯(lián)立，消去y，得3x