《函數(shù)與方程》習(xí)題3

《函數(shù)與方程》習(xí)題（3）一、選擇題1．下列圖象表示的函數(shù)中能用二分法求零點的是（）解析：圖A沒有零點，因此不能用二分法求零點．圖B的圖象不連續(xù)．圖D在x軸下方?jīng)]有圖象，故只有C圖可用二分法求零點．答案：C2．函數(shù)f（x）＝lnx－eq\f(1,x－1)的零點的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個解析：本題考查了學(xué)生的畫圖能力，構(gòu)造函數(shù)等方法．這種題型很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．構(gòu)建函數(shù)h（x）＝lnx，g（x）＝eq\f(1,x－1)，f（x）的零點個數(shù)即h（x）與g（x）交點的個數(shù)．畫出圖象可知有兩個交點.選C.答案：C3．下列函數(shù)中在區(qū)間[1,2]上一定有零點的是（）A．f（x）＝3x2－4x＋5 B．f（x）＝x3－5x－5C．f（x）＝mx－3x＋6 D．f（x）＝ex＋3x－6解析：對選項D，∵f（1）＝e－3＜0，f（2）＝e2＞0，∴f（1）f（2）＜0.答案：D4．若函數(shù)f（x）＝x3－3x＋a有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（－2,2） B．[－2,2] C．（－∞，－1） D．（1，＋∞）解析：本題考查了函數(shù)零點的判斷方法及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．由于函數(shù)f（x）是連續(xù)的，故只需兩個極值異號即可．f′（x）＝3x2－3，令3x2－3＝0，則x＝±1，只需f（－1）f（1）＜0，即（a＋2）（a－2）＜0，故a∈（－2,2）．答案：A二、填空題5．已知方程2x－1＋2x2－a＝0有兩根，則a的范圍是________________．解析：原方程化為，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)y＝2x－1和y＝－2x2＋a的圖象，如右圖．要使方程有兩根，必須兩個函數(shù)的圖象有兩個交點．由于函數(shù)y＝2x－1的圖象與y軸的交點是（0,eq\f(1,2)），所以，當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，拋物線的頂點與指數(shù)函數(shù)在y軸的交點重合；當(dāng)a＞eq\f(1,2)時，它們必有兩個交點．答案：6．已知y＝x（x－1）（x＋1）的圖象如圖所示，今考慮f（x）＝x（x－1）（x＋1）＋，則方程f（x）＝0①有三個實根；②當(dāng)x＜－1時，恰有一實根（有一實根且僅有一實根）；③當(dāng)－1＜x＜0時，恰有一實根；④當(dāng)0＜x＜1時，恰有一實根；⑤當(dāng)x＞1時，恰有一實根．則正確的結(jié)論有.解析：∵f（－2）＝－2×（－3）×（－1）＋＝－＜0，f（－1）＝＞0，即f（－2）·f（－1）＜0，∴在（－2，－1）內(nèi)有一個實根．由圖中知：方程f（x）＝0在（－∞，－1）上，只有一個實根，所以②正確．又∵f（0）＝＞0，由圖知f（x）＝0在（－1,0）上沒有實數(shù)根，所以③不正確．又∵f（）＝×（－）×＋＝－＜0，f（1）＝＞0，即f（）f（1）＜0，所以f（x）＝0在（,1）上必有一個實根，且f（0）·f（）＜0，∴f（x）＝0在（0,）上也有一個實根．∴f（x）＝0在（0,1）上有兩個實根，④不正確．由f（1）＞0且f（x）在（1，＋∞）上是增函數(shù)，∴f（x）＞0，f（x）＝0在（1，＋∞）上沒有實根．∴⑤不正確．并且由此可知①也正確．答案：①②7.x0是方程ax＝logax（0＜a＜1）的解，則x0,1，a這三個數(shù)的大小關(guān)系是？解析：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝ax和y＝logax的圖象，可以看出：x0＜1，logax0＜1，∴x0＞a，∴a＜x0＜1.答案：a＜x0＜1三、解答題8．設(shè)f（x）在[0,1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且0≤f（x）≤1.證明：至少有一點c∈[0,1]，使f（c）＝c.證明：如果f（0）＝0或f（1）＝1，就取c＝0或c＝1即可．現(xiàn)設(shè)f（0）＞0，f（1）＜1.令F（x）＝f（x）－x，則F（x）在[0,1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線．∵F（0）＝f（0）－0＞0，F(xiàn)（1）＝f（1）－1＜0，∴F（0）·F（1）＜0，∴至少有一點c∈（0,1），使F（c）＝0，即f（c）＝c.綜上所述，在每種情形都至少有一點c∈[0,1]，使f（c）＝c成立．9．已知a、b是不全為0的實數(shù)，求證：方程3ax2＋2bx－（a＋b）＝0在（0,1）內(nèi)至少有一個根．證明：若a＝0時，則b≠0，此時方程的根為x＝eq\f(1,2)，滿足題意．當(dāng)a≠0時，令f（x）＝3ax2＋2bx－（a＋b）．（1）若a（a＋b）＜0，則f（0）·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－（a＋b）·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)a))＝eq\f(1,4)a（a＋b）＜0，所以f（x）＝0在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)有一實根．（2）若a（a＋b）≥0，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))f（1）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)a))（2a＋b）＝－eq\f(1,4)a2－eq\f(1,4)a（a＋b）＜0，所以f（x）＝0在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內(nèi)有一實根．綜上f（x）＝0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有一根．10．對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）＝x0成立，則稱x0為f（x）的不動點，已知函數(shù)f（x）＝ax2＋（b＋1）x＋b－1（a≠0）（1）當(dāng)a＝1，b＝－2時，求f（x）的不動點；（2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；解答：（1）當(dāng)a＝1，b＝－2時，f（x）＝x2－x－3，由題意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3故當(dāng)a＝1，b＝－2時，f（x）的不動點－1,3.（2）∵f（x）＝ax2＋（b＋1）x＋b－1（a≠0）恒有兩個不動點，∴x＝ax2＋（b＋1）x＋b－1，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有兩相異實根，∴Δ＝b2－4ab＋4a＞0（b∈R）于是Δ′＝（4a）2－16a＜0解得0＜a＜1，故當(dāng)b∈R，f（x）恒有兩個相異的不動點時，0＜a選做題：1．已知函數(shù)y＝f（x）（x∈R）滿足f（x＋3）＝f（x＋1），且x∈[－1,1]時，f（x）＝|x|，則y＝f（x）與y＝log5x的圖象交點的個數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6解析：由f（x＋3）＝f（x＋1）知f（x＋2）＝f（x）故f（x）是周期為2的函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出y＝f（x）與y＝log5x的圖象，可以看出，交點個數(shù)為4.答案：B2．已知函數(shù)f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如