《有理數(shù)》知識(shí)回眸

有理數(shù)》知識(shí)回眸“有理數(shù)”是在小學(xué)已學(xué)正數(shù)和零的意義及其運(yùn)算的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，它是我們今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)與式的基礎(chǔ)，現(xiàn)將本章知識(shí)作如下梳理，供學(xué)習(xí)參考。一. 知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)相反數(shù)絕對(duì)值運(yùn)算律—交結(jié)分換相反數(shù)絕對(duì)值運(yùn)算律—交結(jié)分換合配律律二.復(fù)習(xí)目標(biāo)要求進(jìn)一步感受引入負(fù)數(shù)的必要性，會(huì)用正、負(fù)數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題中具有相反意義的數(shù)量。理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)。能借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，會(huì)求有理數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值，會(huì)比較有理數(shù)的大小。掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算法則，理解有理數(shù)的運(yùn)算律，會(huì)進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算以及運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。4．能用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較大的數(shù)，掌握近似數(shù)與有效數(shù)字的概念。5．會(huì)用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有理數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算。三.重點(diǎn)難點(diǎn)關(guān)鍵重點(diǎn)：有理數(shù)有關(guān)概念的理解和有理數(shù)的運(yùn)算。難點(diǎn)：對(duì)有理數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算定律的正確理解和熟練運(yùn)用。關(guān)鍵：有理數(shù)運(yùn)算順序和符號(hào)的確定。四.知識(shí)要點(diǎn)提煉.概念1有理數(shù)： 和 統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù).2數(shù)軸:規(guī)定了 、 、 的直線叫數(shù)軸.TOC\o"1-5"\h\z3.相反數(shù): 相等, 相反的兩個(gè)數(shù)叫互為相反數(shù).零的相反數(shù)是 .在數(shù)軸上看,表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn),分別在 的兩側(cè),而且到 的距離相等.通常用a與—a表示一對(duì)相反數(shù)；若a,b互為相反數(shù)，則a+b= .絕對(duì)值:一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是 ,一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是 .零的絕對(duì)值是 .在數(shù)軸上看，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到 的距離.倒數(shù):乘積是 的兩個(gè)數(shù)叫互為倒數(shù).1.通常用a(a豐0)與 表示一對(duì)相反數(shù)；a倒數(shù)等于它本身的數(shù)是___和 .(3) 沒(méi)有倒數(shù).科學(xué)記數(shù)法:把一個(gè)大于10的數(shù)表示成ax10n的形式(其中, <a<_,n ).有效數(shù)字:從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè) 數(shù)字起,到 止,所有數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字.法則有理數(shù)加法法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取 的符號(hào),并把 相加；.絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加,取 的符號(hào),并用 的絕對(duì)值減去 絕對(duì)值；TOC\o"1-5"\h\z.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得 ；.一個(gè)數(shù)與零相加仍得 .有理數(shù)減法法則:減去一個(gè)數(shù),等于加上這個(gè)數(shù)的 .有理數(shù)乘法法則:.兩數(shù)相乘,同號(hào)得 , 得負(fù),并把絕對(duì)值相乘；.任何數(shù)與零相乘仍得 ；.幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘,積的符號(hào)由 決定,當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí),積為 ；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí),積為 .有理數(shù)除法法則:.除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的 ；.兩數(shù)相除,同號(hào)得 ,異號(hào)得 ,并把絕對(duì)值相除..零除以任何一個(gè)不等于零的數(shù)都得 .冪的符號(hào)法則:正數(shù)的任何次冪都是 數(shù)；負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是 數(shù),負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是___數(shù)；零的任何次冪都是 .有理數(shù)混合運(yùn)算順序:(1).先算 ,再算 ,最后算 ..同級(jí)運(yùn)算,按照從___到___的順序進(jìn)行；.如果有括號(hào),就先算小括號(hào)里的,再算 .有理數(shù)的大小比較法則:.正數(shù)都 零,負(fù)數(shù)都 零,正數(shù) 一切負(fù)數(shù)；.兩個(gè)正數(shù),絕對(duì)值大的數(shù)就___；.兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的 ..在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù), 邊的數(shù)總比 邊的數(shù)大..運(yùn)算律力口法交換律：a+b二b+a加法結(jié)合律：(a+b)+c二a+(b+c)乘法交換律：ab二ba乘法結(jié)合律:(ab)c二a(bc)

5.分配律:a(b+c)=ab+ac（請(qǐng)同學(xué)們對(duì)照教材完成以上知識(shí)填空）數(shù)學(xué)思想總結(jié)數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)體現(xiàn)，是形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法的靈魂。本章的數(shù)學(xué)思想，歸納起來(lái)主要有以下三種：（一） 轉(zhuǎn)化思想所謂“轉(zhuǎn)化”就是將所要求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為另一個(gè)較易解決的問(wèn)題或已經(jīng)解決的問(wèn)題。具體地說(shuō)，就是把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)，”把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把“復(fù)雜”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單”的問(wèn)題。數(shù)學(xué)解題過(guò)程的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化過(guò)程。通過(guò)有理數(shù)的學(xué)習(xí)，我們知道，有理式實(shí)質(zhì)上就是比小學(xué)學(xué)過(guò)的數(shù)多了一類(lèi)數(shù)——負(fù)數(shù)，任何一個(gè)有理數(shù)都是由“符號(hào)”和“絕對(duì)值”兩部分組成。有理數(shù)的各種運(yùn)算都是先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。而符號(hào)確定以后，絕對(duì)值的計(jì)算就是同學(xué)們?cè)谛W(xué)已經(jīng)學(xué)過(guò)的問(wèn)題了。再如，有理數(shù)的減法運(yùn)算是轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加法運(yùn)算（減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)）進(jìn)行，有理數(shù)的除法運(yùn)算是轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的乘法運(yùn)算（除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)）來(lái)進(jìn)行。（二） .分類(lèi)討論思想當(dāng)被研究的問(wèn)題包含多種情況，不能一概而論時(shí)，必須按可能出現(xiàn)的所有情況來(lái)分別討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論，這種處理問(wèn)題的思維方法稱(chēng)為分類(lèi)討論思想。分類(lèi)討論思想的目的在于克服思維的片面性，防止漏解。譬如，在研究有理數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值、有理數(shù)的加法法則、乘法法則、乘方運(yùn)算的符號(hào)法則時(shí)，都是按有理式分成正數(shù)、負(fù)數(shù)、零三類(lèi)分別進(jìn)行研究的。（三） ．?dāng)?shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)（量）與（圖）形結(jié)合起來(lái)，分析、研究、解決問(wèn)題的一種思想方法。數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，以直觀輔助抽象的思考，以抽象研究直觀的細(xì)節(jié)。用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示有理數(shù)，就是最簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，對(duì)于理解有理數(shù)的絕對(duì)值、相反數(shù)等概念以及有理數(shù)的大小比較等，更有直觀性。探究實(shí)踐指導(dǎo)123636例1.把-口，-2,-5,-23按從小到大的順序排列。123636【思維方式】首先求出它們的絕對(duì)值，即比較］1,2,5,23的大小，仔細(xì)觀察這四個(gè)故可將它們的分子化成相同，再比較它12363_故可將它們的分子化成相同，再比較它12363_3663636因?yàn)?二= 113322453023'所以363636361263<<<—即<—<一<333024231152因此363612—<—<—<—解答：分?jǐn)?shù)。容易看出，它們的分子具有一定的倍數(shù)關(guān)系們的大小。36'233623【評(píng)注】：比較數(shù)（式）大小的方法有多種，歸納起來(lái)有：（1）化為同分母分?jǐn)?shù)；（2）化為同分子分?jǐn)?shù)；（3）作差法；（4）作商法?？傊?，這些方法都要根據(jù)題目的自身特點(diǎn)選用不同的方法，而不是一味地套用某種方法。例2.計(jì)算—j72x(-1)3-7-18>-3x3【思維方式】：此題中含有多種括號(hào)，去括號(hào)的一般方法是由內(nèi)向外，即依次去掉小、中、大括號(hào)。也可以由外向內(nèi)去括號(hào)，去大括號(hào)時(shí)，把中括號(hào)看成一項(xiàng)，去中括號(hào)時(shí)，把小括號(hào)看成一項(xiàng)，最后去小括號(hào)。本題采用由外向內(nèi)去括號(hào)較簡(jiǎn)便。72解答：原式二2x(-1)3-7-—x18—3x3=-2-7-14-2=—25評(píng)注】：一般方法是大多數(shù)同學(xué)都能想到的，但對(duì)于有特殊特征的式子我們就要用非一般思維才能巧妙地解決問(wèn)題，這就要我們平時(shí)多練習(xí)，多積累。例3例3．計(jì)算：+++...++———————— —— ——【思維方式】：式中的分母全是99，再觀察分子，依次是從1到296，也即是共296個(gè)分?jǐn)?shù)相加。又分子中的1+296=297恰好是分母99的3倍，可以看出將第1項(xiàng)與倒數(shù)第1項(xiàng)，第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)，??，首尾等距離的項(xiàng)結(jié)合相加的和為3，只需計(jì)算有多少個(gè)3即可。TOC\o"1-5"\h\z1 2—6 2 2—5 148 14—解答：原式二(+ )+( + )+…+( + )—— —— —— —— —— ——二3+3+?+3(296十2=148個(gè)3)=3x148=444【評(píng)注】：在數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中，經(jīng)常可見(jiàn)到一些特殊的和式的求和，求解這類(lèi)題目的方法很多，如“湊整”、“拆項(xiàng)”、“倒序相加”、“錯(cuò)位相減”等，這仍然需要我們平時(shí)多練習(xí)，多積累。幾點(diǎn)注意事項(xiàng)1．?dāng)?shù)軸是理解有理數(shù)概念與運(yùn)算的重要工具，數(shù)與表示數(shù)的圖形(這里的數(shù)軸)相結(jié)合的思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想。2．對(duì)于有理數(shù)的基本概念，要能從不同的角度去理解、認(rèn)識(shí)。例如相反數(shù)的概念，