遞推公式求通項(xiàng)的幾種方法

求通項(xiàng)常見的幾種方法利用遞推公式求通項(xiàng)常見的幾種方法其他方法類型1

這種類型求的方法一般主要采用逐差或累加法。逐差法：化簡(jiǎn)得

累加法：例：已知數(shù)列滿足，

①求②證明①解：=3+1=4，=9+4=13②證法1（累加法）：由得

累加得：根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)的公式，得證法2（逐差法）由已知得：

∴

類型2這種類型求的方法一般有累乘法，也稱逐商相乘法。步驟：（1）把原遞推公式轉(zhuǎn)化為（2）利用恒等式即例（2004年高考全國(guó)卷Ⅰ）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)考題剖析將以上n個(gè)式子相乘，得解：由題可得再聯(lián)合已知式，可得當(dāng)時(shí)，即又∴

類型3

這種類型一般主要利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列。步驟：1）設(shè)

2）去括號(hào)得，

3）與已知遞推式比較，得，即

4）代入1）中式子，得以p為公比的等比數(shù)列例（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)=_______________解法一（構(gòu)造數(shù)列---待定系數(shù)法）：設(shè)再聯(lián)合原遞推式可得，=3令，則再由得，=4即為以4為首項(xiàng)且以2為公比的等比數(shù)列，∴解法二（累加法）：設(shè)，則再由，得即

為以4為首項(xiàng)且以2為公比的等比數(shù)列，則累加得：解法三（迭代法）：∴解法四（特征根法）：①找出其齊次遞推關(guān)系②得到特征方程x-2=0,特征根為x=2③得到通解為④設(shè)特解A是待定常數(shù)⑤代入原遞推關(guān)系式，得

A=2A+3，得A=-3⑥得到，為待定常數(shù)。⑦根據(jù)，可得即類型4

（其中p,q均為常數(shù)）這種類型求通項(xiàng)的方法一般有待定系數(shù)法。步驟：1）把原遞推公式轉(zhuǎn)化為2）去括號(hào)得3）聯(lián)合原遞推式，可得4）解出可得是以t為公比的等比數(shù)列5）根據(jù)4），最后可把它化到類型1的形式進(jìn)行求解例（2006年高考福建卷）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)則

與已知等式比較，得解得，s=1,t=2或s=2,t=1考題剖析方法一

取s=1,t=2,得即是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴（類型1的形式）①根據(jù)累加法，可得（經(jīng)驗(yàn)證，n=1也滿足）方法二取s=2,t=1,得（類型3的形式）②根據(jù)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，得方法三綜合聯(lián)立方法一、二的①②，可得方法四（特征根法）①特征方程為解出特征根②得到通解為（，為待定數(shù)）。③根據(jù)初始條件，得④解方程組，得=-1，=1.⑤代入②，得類型5這種類型一般利用與

消去或與

（2006，陜西,理,20本小題滿分12分)已知正項(xiàng)數(shù)列，其前n項(xiàng)和滿足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)。解：由①，可知解之得又②由①-②得當(dāng)不成等比數(shù)列，∴當(dāng)滿足，∴則類型6這種類型的一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為類型3步驟：1）將原遞推式取倒數(shù)，得2）令,得例（2006年高考江西卷）已知數(shù)列滿足，且求數(shù)列的通項(xiàng)公式?？碱}剖析解：①原遞推式取倒數(shù)，得②用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列（類型3的步驟），設(shè)③去括號(hào)，化簡(jiǎn)，與所求遞推式比較，得則是以公比為的等比數(shù)列。④由③，得類型7

這種類型的一般有下面兩種方法①兩邊同除以，轉(zhuǎn)化成類型3，進(jìn)行求解。②兩邊同除以時(shí)，就化成類型1，運(yùn)用累加法或逐差法解決。考題剖析例.已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一：對(duì)已知式兩邊同除以，得令，則用類型3的待定系數(shù)法求解，得∴解法二：對(duì)已知式兩邊同除以，得

用類型1的累加法可得，方法1周期性例題剖析解析：這種題一般都是通過求出前幾項(xiàng)，驗(yàn)證找出其周期性。解：故是周期為3的周期數(shù)列，故類型8步驟：1）構(gòu)造輔助數(shù)列使方法2數(shù)學(xué)歸納法由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法。推理：證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。例（2002年北京春季高考）已知點(diǎn)的序列是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，…，是線段的中點(diǎn)，…(1)寫出之間的關(guān)系式(2)設(shè)，計(jì)算，又此推測(cè)的通項(xiàng)公式，并加以證明考題剖析解析：（1）∵是線段的中點(diǎn)∴（2）猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。(i)n=1時(shí)已知結(jié)論成立。(ii)假設(shè)n=