第1講 組合概率

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)河南師范大學(xué)概率教研室

概率模型概率模型變量是隨機(jī)變量

變量間關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜現(xiàn)實(shí)世界充滿不確定性有諸多不確定因素

不存在確定的函數(shù)關(guān)系往往借助于模擬仿真方法隨機(jī)現(xiàn)象的模擬一.隨機(jī)變量的模擬掌握成功模擬具有特定分布的隨機(jī)變量的方法,是模擬隨機(jī)現(xiàn)象的重要方面.例1老鼠在哪個(gè)房間？

在任一時(shí)刻觀察老鼠在有3個(gè)房間的迷宮內(nèi)的情況,老鼠所在房號(hào)X

是一個(gè)隨機(jī)變量,模擬X的分布律.例11.1.doc兩種模擬方法

1．利用理論分布，基于對(duì)問(wèn)題的實(shí)際、合理的假設(shè),選擇適當(dāng)?shù)睦碚摲植寄M隨機(jī)變量.2.基于實(shí)際數(shù)據(jù)的頻率做近似模擬.方法評(píng)價(jià)缺點(diǎn)：限于十分簡(jiǎn)單的情況.問(wèn)題越復(fù)雜,數(shù)學(xué)處理變得越困難,并且丟失了試驗(yàn)數(shù)據(jù)的信息.*方法2

優(yōu)點(diǎn)：完全與觀察數(shù)據(jù)相符,并且隨實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜程度增大不會(huì)產(chǎn)生更大的困難,僅增大工作量而已.應(yīng)用中常將兩種模擬方法結(jié)合使用

*方法1

優(yōu)點(diǎn)：可以計(jì)算各種可能結(jié)果的概率,便于進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和處理.缺點(diǎn)：不便于進(jìn)行數(shù)學(xué)分析,不得不依賴于模擬得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.二.利用理論分布重點(diǎn)闡述怎樣根據(jù)變量特點(diǎn)合理選擇理論分布來(lái)模擬隨機(jī)變量.

1．均勻分布需掌握幾種重要的概率理論分布均勻分布隨機(jī)變量X的取值具有“均勻性”.

均勻性特點(diǎn)均勻分布隨機(jī)變量X

落在(a,b)內(nèi)任意子區(qū)間的概率只與子區(qū)間的長(zhǎng)度有關(guān),而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān).

可以假設(shè)具有這種性質(zhì)的隨機(jī)變量服從均勻分布

例2穿越公路模型

穿越公路者在60秒的期間內(nèi)的每一時(shí)刻都可能到達(dá)公路旁,用[0,60](單位:秒)上的均勻分布隨機(jī)變量模擬穿越公路者到達(dá)路旁的時(shí)刻是合理的.

渡口模型中假設(shè)車身長(zhǎng)度服從均勻分布,處理起來(lái)雖然較簡(jiǎn)單但卻顯然不合理.

2．正態(tài)分布

正態(tài)分布隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)是正態(tài)分布由兩個(gè)參數(shù)μ和σ唯一確定：μ0xf(x)f(x)0xμσ小σ大位置參數(shù)分布特點(diǎn)：有3σ—原則：實(shí)用判別方法:較多獨(dú)立的、微小變量疊加而成的隨機(jī)變量,可以用正態(tài)分布來(lái)模擬.判別方法1.2.doc原理分析例*考試成績(jī)服從正態(tài)分布；*單峰、對(duì)稱；*數(shù)學(xué)期望μ確定概率曲線的中心位置；*標(biāo)準(zhǔn)差σ確定概率曲線的“寬窄”程度.

*測(cè)試誤差服從正態(tài)分布；*人的身高服從正態(tài)分布；…

3．指數(shù)分布

指數(shù)分布隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為０f(x)x壽命T則服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.

上述假設(shè)從技術(shù)上講就是電子元件未出現(xiàn)“老化”現(xiàn)象.對(duì)一些壽命長(zhǎng)的元件,在穩(wěn)定運(yùn)行的初期階段老化很輕微,這種假設(shè)是合理的.＊指數(shù)分布比較確切地描述了電子元件在穩(wěn)定階段的壽命分布情況.指數(shù)分布常用來(lái)描述“壽命”問(wèn)題.設(shè)電子元件的壽命為T(mén)，假定元件在t時(shí)刻尚正常工作的條件下,其瞬時(shí)失效率總保持為常數(shù)λ,即有指數(shù)分布具有無(wú)后效性(馬氏性):對(duì)任意的實(shí)數(shù)s>0，t>0，均有永遠(yuǎn)年輕性

人類在50歲或60歲以前的壽命分布接近指數(shù)分布.

若瞬時(shí)失效率是時(shí)間的函數(shù)λ(t),試確定壽命Ｔ的分布.(參見(jiàn)電子科大教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》p76).思考

4．泊松分布和泊松流離散型隨機(jī)變量X的分布律為稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布.

事件流：隨時(shí)間的推移，逐個(gè)出現(xiàn)的隨機(jī)事件列A1，A2，…An，…t0A1A2A3An例3在渡口模型中，從渡船靠岸開(kāi)始計(jì)時(shí)，將第i輛汽車的到達(dá)看成隨機(jī)事件Ai發(fā)生，隨汽車連續(xù)不斷地開(kāi)到碼頭，就形成了一個(gè)事件流

A1，A2，…，Ai，…；*工作臺(tái)上工件的逐件到達(dá)；*機(jī)場(chǎng)跑道中飛機(jī)的逐架到達(dá)；*港口船舶的逐艘到達(dá)；*電話交換臺(tái)電話的到達(dá)；*餐廳顧客的到達(dá);*工廠中機(jī)器故障的發(fā)生,…記N(t)為[0,t]時(shí)間內(nèi)各事件發(fā)生的總次數(shù)0t)N(t)=3)N(t)=7N(t)是隨機(jī)變量隨機(jī)變量族｛N(t),t＞0｝是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程(計(jì)數(shù)過(guò)程).

將工件、飛機(jī)、船只、電話、就餐的顧客及破損的機(jī)器等統(tǒng)稱為顧客.

稱{N(t),t＞0｝為顧客的到達(dá)過(guò)程,通常關(guān)心對(duì)每一時(shí)刻

t，在[0，t]時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)

N(t)的分布；2)事件流A1，A2，…，Ai，…中兩個(gè)事件發(fā)生的間隔時(shí)間具有什么分布.

形成泊1.2.doc松流的條件重要定理：1.如果顧客的到達(dá)過(guò)程是一個(gè)泊松過(guò)程，則在[0,t]期間內(nèi)有n個(gè)顧客到達(dá)的概率為并且，顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔

T1，T2，…，Ti，…相互獨(dú)立,都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.2.若顧客流到達(dá)的間隔時(shí)間是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列：T1,T2,…,Ti，…且Ti，i=1,2,…均服從參數(shù)為λ指數(shù)分布,則在［0，t］內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)｛N(t)，t>0｝是一個(gè)泊松過(guò)程.

例4.穿越公路模型用均值為1/q的指數(shù)分布隨機(jī)變量模擬兩車經(jīng)過(guò)同一地點(diǎn)的時(shí)間間隔，相當(dāng)于假設(shè)通過(guò)該點(diǎn)的汽車流構(gòu)成了一個(gè)泊松流，[0,t]時(shí)間內(nèi)到達(dá)的汽車數(shù)目N(t)服從泊松分布.隨機(jī)變量X～B(n,p)，其分布律為隨機(jī)變量X是

n

次獨(dú)立貝努里試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的總次數(shù),其中p=P(A).

5．二項(xiàng)分布三.利用概率模型重點(diǎn)闡述利用概率的特點(diǎn)計(jì)算某些特定概率.

1．古典概型需掌握幾種重要的概率模型.具有如下特點(diǎn)的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判?(1)試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)樣本點(diǎn);(2)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.*中學(xué)學(xué)過(guò)的利用排列組合計(jì)算的概率.

2．幾何概型

具有如下特點(diǎn)的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判?(1)試驗(yàn)的樣本空間有無(wú)限個(gè)樣本點(diǎn);(2)試驗(yàn)中落入A中的可能性與A的面積成正比,而與A的位置和形狀無(wú)關(guān).例5甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)會(huì)面,并約定先到者應(yīng)等候另一個(gè)人20分鐘,過(guò)時(shí)即可離去,求兩人能夠會(huì)面的概率.利用概率模型的例題一.報(bào)童的訣竅報(bào)童每天清晨從報(bào)社購(gòu)進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒(méi)有賣掉的報(bào)紙退回。設(shè)報(bào)紙每份的購(gòu)進(jìn)價(jià)為b，零售價(jià)為a，退回價(jià)為c，假設(shè)a>b>c。即報(bào)童售出一份報(bào)紙賺a-b，退回一份賠b-c。報(bào)童每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙?zhí)啵u不完會(huì)賠錢(qián)；購(gòu)進(jìn)太少，不夠賣會(huì)少掙錢(qián)。試為報(bào)童籌劃一下每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，以獲得最大收入。問(wèn)題報(bào)童售報(bào)：a(零售價(jià))

>b(購(gòu)進(jìn)價(jià))

>c(退回價(jià))售出一份賺a-b；退回一份賠b-c每天購(gòu)進(jìn)多少份可使收入最大？分析購(gòu)進(jìn)太多賣不完退回賠錢(qián)購(gòu)進(jìn)太少不夠銷售賺錢(qián)少應(yīng)根據(jù)需求確定購(gòu)進(jìn)量每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的存在一個(gè)合適的購(gòu)進(jìn)量等于每天收入的期望建模

設(shè)每天購(gòu)進(jìn)n份，日平均收入為G(n)調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律——每天需求量為r的概率f(r),r=0,1,2…準(zhǔn)備求n使G(n)最大已知售出一份賺a-b；退回一份賠b-c求解將r視為連續(xù)變量結(jié)果解釋nP1P2取n使

a-b~售出一份賺的錢(qián)b-c~退回一份賠的錢(qián)0rp即購(gòu)進(jìn)的份數(shù)應(yīng)該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢(qián)與退回一份賠的錢(qián)之比。練習(xí):利用上述模型計(jì)算，若每份報(bào)紙的購(gòu)進(jìn)價(jià)為0.75元，售出價(jià)為1元，退回價(jià)為0.6元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布，報(bào)童每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)多少份報(bào)紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？問(wèn)題提出

在足球比賽中,球員在對(duì)方球門(mén)前不同的的位置起腳射門(mén)對(duì)球門(mén)的威脅是不一樣的.在正前方射門(mén)的威脅大于兩側(cè),近距離對(duì)球門(mén)的威脅大于遠(yuǎn)射.已知標(biāo)準(zhǔn)球場(chǎng)長(zhǎng)104米,寬為69米,球門(mén)高2.44米,寬為7.32米.對(duì)于職業(yè)球員假設(shè)基本素質(zhì)差別不大.根據(jù)資料顯示,射門(mén)時(shí)球的速度在10米/秒左右.結(jié)合球場(chǎng)和足球賽是實(shí)際研究問(wèn)題:二.足球門(mén)的危險(xiǎn)區(qū)域問(wèn)題

(1)針對(duì)球員在不同位置射門(mén)對(duì)球門(mén)的威脅度進(jìn)行研究,繪制出球門(mén)的危險(xiǎn)區(qū)域;(2)在有一名守門(mén)員防守的情況下,對(duì)球員射門(mén)的威脅度和危險(xiǎn)區(qū)域作近一步的研究.問(wèn)題分析

(1)球員無(wú)論從哪個(gè)地方射門(mén)都有進(jìn)與不進(jìn)兩種可能,是隨機(jī)事件;(2)影響球員射門(mén)的命中率的因素主要有球員的基本素質(zhì)和射門(mén)時(shí)的位置.我們主要研究同質(zhì)球員在球場(chǎng)上任意一點(diǎn)射門(mén)時(shí)對(duì)球門(mén)的危險(xiǎn)度.

(3)球員在球門(mén)前某處向球門(mén)內(nèi)某目標(biāo)點(diǎn)射門(mén)時(shí),球員到目標(biāo)點(diǎn)的距離決定了到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的概率.當(dāng)位置固定時(shí),球飛向球門(mén)所在的平面上的落點(diǎn)將呈現(xiàn)固定的概率分布(二維正態(tài)分布);(4)球員從球場(chǎng)上某點(diǎn)射門(mén)時(shí),必定在球門(mén)平面上確定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn),射門(mén)后球依據(jù)該概率分布落入球門(mén)所在平面.將球門(mén)視為平面上的一個(gè)區(qū)域,在該區(qū)域內(nèi)對(duì)該分布積分可得到該次射門(mén)的命中率.由于射門(mén)的目標(biāo)點(diǎn)是任意的,因此遍歷球門(mén)區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn),對(duì)命中率作積分,將其定義為球場(chǎng)上某點(diǎn)對(duì)球門(mén)的威脅度,根據(jù)威脅度的大小來(lái)確定球門(mén)的危險(xiǎn)區(qū)域.1.模型假設(shè)(1)在理想狀態(tài)下,認(rèn)為球員是同質(zhì)的,即基本素質(zhì)相同;(2)不考慮球員射門(mén)后空氣、地面對(duì)球速的影響.設(shè)球速為10米/秒;(3)球員射門(mén)只在前半場(chǎng)進(jìn)行,為此假設(shè)前半場(chǎng)為有效射門(mén)區(qū)域;(4)只考慮標(biāo)準(zhǔn)球場(chǎng):104X69(m)和球門(mén)7.32X2.44(m).2.符號(hào)說(shuō)明

----半場(chǎng)上的一個(gè)球門(mén)所在的地面以上的半平面;A(x,y)-----球場(chǎng)上的點(diǎn),(x,y)為其坐標(biāo);B(x,z)-----球門(mén)內(nèi)的點(diǎn),(x,z)為其坐標(biāo);P(x,y)--從球場(chǎng)上A點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)球門(mén)內(nèi)B點(diǎn)射門(mén)時(shí),命中球門(mén)的概率;D(x,y)-----球場(chǎng)(x,y)上點(diǎn)對(duì)球門(mén)的威脅度;k-----球員的基本素質(zhì);d-----球場(chǎng)上A點(diǎn)到球門(mén)內(nèi)B的直線距離;-----直線AB在地面上的投影與球門(mén)平面的夾角,為銳角.模型假設(shè)和符號(hào)說(shuō)明:首先建立空間坐標(biāo)系,一球門(mén)的底邊中點(diǎn)為原點(diǎn)o,地面為xoy面,球門(mén)所在的平面為xoz面.問(wèn)題(1):根據(jù)前面對(duì)問(wèn)題的分析,假設(shè)素質(zhì)為k的球員從A()點(diǎn)向距離為d的球門(mén)內(nèi)目標(biāo)點(diǎn)B()射門(mén)時(shí),球在目標(biāo)平面上的落點(diǎn)為二維正態(tài)分布,且隨機(jī)變量x,z是相互獨(dú)立的.其密度函數(shù)為其中方差與球員素質(zhì)k成反比,與射門(mén)點(diǎn)A和目標(biāo)點(diǎn)B之間的距離d成正比,偏角越大方差越小,當(dāng)夾角為90度時(shí)(即正對(duì)球門(mén)中心),方差僅與k、d有關(guān).由此確定的表達(dá)式為模型建立與求解:在密度函數(shù)中,關(guān)于變量x,z是對(duì)稱的,但實(shí)際中球只能落在地面上,即,為此令則取兩者的比值即為這次射門(mén)命中球門(mén)的概率對(duì)命中球門(mén)的概率在球門(mén)區(qū)域D內(nèi)做積分,定義為球場(chǎng)上某點(diǎn)A對(duì)球門(mén)的威脅度,即綜合以上分析,對(duì)球場(chǎng)上任意一點(diǎn)A(x,y)對(duì)球門(mén)的威脅度為其中要求解該問(wèn)題較困難,只能采用數(shù)值積分的方法求解.首先確定反應(yīng)球員基本素質(zhì)的參數(shù)k.根據(jù)一般職業(yè)球員的情況,認(rèn)為球員在球門(mén)的正前方即夾角為0,距離球門(mén)10米處向球門(mén)勁射,標(biāo)準(zhǔn)差為1,由標(biāo)準(zhǔn)差的公式的k=10.問(wèn)題(2):假設(shè)守門(mén)員站在射門(mén)在垂直射門(mén)線平面上的投影區(qū)域中心位置是最佳防守位置.球員在球場(chǎng)上某點(diǎn)對(duì)球門(mén)內(nèi)任意一點(diǎn)B(x,z)起腳射門(mén),經(jīng)過(guò)時(shí)間t到達(dá)球門(mén)平面,球到達(dá)該點(diǎn)時(shí),守門(mén)員對(duì)球都有一個(gè)撲獲概率,下面分析這個(gè)函數(shù)的形式.

當(dāng)t一定時(shí),應(yīng)該是一個(gè)以守門(mén)員為中心向周圍輻射衰減的二維函數(shù),當(dāng)t減小時(shí),曲面的峰度應(yīng)增高,而面積減小,與二維正態(tài)密度函數(shù)類似,因此采用該函數(shù)形式表示撲獲函數(shù),參數(shù)t表示從起腳射出到球到達(dá)球門(mén)的時(shí)間,即守門(mén)員的反應(yīng)時(shí)間,該時(shí)間越長(zhǎng),曲面越光滑.因此其中c為守門(mén)員的反應(yīng)系數(shù),根據(jù)“紙條實(shí)驗(yàn)”取c=1/7.于是可得守門(mén)員防