西安交通大學(xué)醫(yī)學(xué)信號處理第四章

醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波4.1維納濾波4.2自適應(yīng)濾波4.1維納濾波醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波設(shè)有一個線性系統(tǒng)，它的單位脈沖響應(yīng)是，當(dāng)輸入一個觀測到的隨機(jī)信號，簡稱觀測值，且該信號包含噪聲和有用信號，簡稱信號，也即

則輸出為

(4-1)(4-2)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波我們希望輸出得到的與有用信號盡量接近，因此稱為的估計值，用來表示，我們就有了維納濾波器的系統(tǒng)框圖．這個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)也稱為對于的一種估計器。醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波用當(dāng)前的和過去的觀測值來估計當(dāng)前的信號稱為濾波；用過去的觀測值來估計當(dāng)前的或?qū)淼男盘朜>=0，稱為預(yù)測；用過去的觀測值來估計過去的信號，N>=1，稱為平滑或者內(nèi)插。醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波系統(tǒng)框圖中估計到的信號和我們期望得到的有用信號不可能完全相同，這里用來表示真值和估計值之間的誤差

(4-3)顯然是隨機(jī)變量，維納濾波的誤差準(zhǔn)則就是最小均方誤差準(zhǔn)則

(4-4)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波4.１.1

維納濾波器的時域解（TimedomainsolutionoftheWienerfilter）

設(shè)計維納濾波器的過程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位脈沖響應(yīng)或傳遞函數(shù)的表達(dá)式，其實質(zhì)就是解維納－霍夫（Wiener－Hopf）方程。我們從時域入手求最小均方誤差下的用表示最佳線性濾波器。這里只討論因果可實現(xiàn)濾波器的設(shè)計。醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波維納霍甫方程(wiener-hopf)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波4.１.１.1

因果的維納濾波器

設(shè)是物理可實現(xiàn)的，也即是因果序列：因此，從式(4-1)、(4-2)、(4-3)、(4-4)推導(dǎo)：

(4-5)

(4-6)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波從維納－霍夫方程中解出的h就是最小均方誤差下的最佳h，。要使得均方誤差最小，則將上式對各m＝0，1，…，求偏導(dǎo)，并且等于零，得：

(4-7)(4-8)(4-9)求到，這時的均方誤差為最?。?/p>

(4-10)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波4.１.２有限脈沖響應(yīng)法求解

維納－霍夫方程

設(shè)是一個因果序列且可以用有限長（N點(diǎn)長）的序列去逼進(jìn)它，則式(4-5)－(4-10)分別發(fā)生變化：

(4-11)

(4-12)于是得到N個線性方程：寫成矩陣形式有：

簡化形式：

RxxH=Rxs

(4-17)

式中，H＝[h(0)h(1)…h(huán)(N-1)]′是待求的單位脈沖響應(yīng)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波

RxxH=Rxs

只要Rxx是非奇異的，就可以求到H：

H=Rxx－1＊Rxs

求得H后，這時的均方誤差為最?。哼M(jìn)一步化簡得：

若信號與噪聲互不相關(guān)，即，(4-19)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波【例4-1】如圖，，信號與噪聲統(tǒng)計獨(dú)立，其中噪聲是方差為1的單位白噪聲，試設(shè)計一個N＝2的維納濾波器來估計，并求最小均方誤差。醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波解得：＝0.451，＝0.165。解：依題意，已知信號的自相關(guān)和噪聲的自相關(guān)為：代入式求得最小均方誤差：醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波4.１.３預(yù)白化法求解維納－霍夫方程

醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波4.１.３預(yù)白化法求解維納－霍夫方程

隨機(jī)信號都可以看成是由一白色噪聲激勵一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)或模型的響應(yīng)，如圖4.2所示．圖4.2s(n)信號模型醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波

由于，在圖4.2的基礎(chǔ)上給出的信號模型，圖4.3所示。把這兩個模型合并最后得到維納濾波器的信號模型，圖4.4所示，其中傳遞函數(shù)用B（z）表示。

圖4.3x的信號模型圖4.4維納濾波器的輸入信號模型醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為它的z變換就等于。圖4.2中輸出信號的自相關(guān)函數(shù)為，根據(jù)卷積性質(zhì)有醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波

(4-22)

對式（4－22）進(jìn)行Z變換得到系統(tǒng)函數(shù)和相關(guān)函數(shù)的z變換之間的關(guān)系：

(4-23)同樣，對圖4.4進(jìn)行z變換得

(4-24)如果已知觀測信號的自相關(guān)函數(shù)，求它的z變換，然后找到該函數(shù)的成對零點(diǎn)、極點(diǎn)，取其中在單位圓內(nèi)的那一半零點(diǎn)、極點(diǎn)構(gòu)成另外在單位圓外的零、極點(diǎn)構(gòu)成，這樣就保證了是因果的，并且是最小相位系統(tǒng)圖4.4中利用卷積性質(zhì)還可以找到互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系：從圖4.4可得

(4-26)

由于系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，即是一個物理可實現(xiàn)的最小相位系統(tǒng)，則也是一個物理可實現(xiàn)的最小相移網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。我們就可以利用式（4－26）對進(jìn)行白化，即把當(dāng)作輸入，當(dāng)作輸出，是系統(tǒng)傳遞函數(shù)。醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波將圖4.1重新給出，待求的問題就是最小均方誤差下的最佳，如圖4.5（a）所示，為了便于求這個，將圖4.5（a）的濾波器分解成兩個級聯(lián)的濾波器：和G（z），如圖4.5（b）所示，則

(4-27)（a）（b）圖4.5利用白化方法求解模型醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波白化法求解維納－霍夫方程步驟如下：１）對觀測信號的自相關(guān)函數(shù)求z變換得到２）利用等式找到最小相位系統(tǒng)３）利用均方誤差最小原則求解因果的

G（z）４），即得到維納－霍夫方程的系統(tǒng)函數(shù)解醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波步驟3,G的求解過程按圖4.5（b）有

(4-28)均方誤差為由于代入上式，并且進(jìn)行配方得

(5-29)均方誤差最小也就是上式的中間一項最小，所以

(4-30)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波注意，這里的是因果的。對該式求單邊z變換，得到

(4-31)所以維納－霍夫方程的系統(tǒng)函數(shù)解表示為利用帕塞伐爾定理，上式可用z域來表示

(4-34)因果的維納濾波器的最小均方誤差為：

(4-33)由式

(4-32)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波【例4-2】已知圖4.1中，且與統(tǒng)計獨(dú)立，其中的自相關(guān)序列為，是方差為1的單位白噪聲，試設(shè)計一個物理可實現(xiàn)的維納濾波器來估計，并求最小均方誤差。解：依題意，已知醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波步驟2由于，容易找到最小相位系統(tǒng)和白噪聲方差步驟1醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波步驟3利用式

對括號里面求反變換，注意括號內(nèi)的收斂域為，取因果部分，也就是第一項，所以醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波步驟4最小均方誤差為：4.1.4維納濾波的誤差性能曲面

維納－霍夫方程矩陣形式如下：

RxxH=Rxs

最小均方誤差：J（Hopt）==min(J(H))當(dāng)N=2時，J(H)=J(h(0),h(1))是一個二元二次函數(shù)，如圖所示，在曲面的底面偏導(dǎo)為零均方誤差最小min(J(H))，這時H為Hopt醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波

醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波

M=N醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波RxsRxs=Rxs4.2自適應(yīng)濾波醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波4.2.1y(n)yd(n)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波自適應(yīng)濾波器的組成、分類與結(jié)構(gòu)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波已經(jīng)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波3.按自適應(yīng)算法分類自適應(yīng)濾波器按自適應(yīng)算法可分為LMS自適應(yīng)濾波器、RLS自適應(yīng)濾波器等。醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波4.2.2醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波4.2.S(n)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波S(n)S(n)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波S(n)S(n)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波x(n-k)e(n)醫(yī)學(xué)信號處理第四章生物醫(yī)學(xué)信號的自適應(yīng)濾波x(n-k)e(n)醫(yī)學(xué)信號處理第四章