通信原理(陳啟興) 第8章 數(shù)字信號的最佳接收v3

1通信原理第8章數(shù)字信號的最佳接收2023/2/18.1引言2

最佳接收理論主要研究假設(shè)檢驗(yàn)和參數(shù)估計兩方面的問題，假設(shè)檢驗(yàn)是研究如何從噪聲中判決有用信號是否出現(xiàn)，參數(shù)估計是研究從噪聲中測量有用信號的參數(shù)。

在數(shù)字通信系統(tǒng)中，發(fā)射機(jī)的信號到達(dá)接收機(jī)時會不可避免受到噪聲和干擾的影響，接收機(jī)內(nèi)部的噪聲又進(jìn)一步加劇了信號的畸變。因此，接收機(jī)必須根據(jù)畸變了的信號，用統(tǒng)計的方法判決出接收到的是哪一個波形，盡量減少判決錯誤。在接收端，根據(jù)信號和噪聲的統(tǒng)計特性，選擇某種判決準(zhǔn)則，使接收機(jī)獲得正確判決的概率最大。2023/2/138.2數(shù)字信號的統(tǒng)計特性

假設(shè)通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為0的高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0，發(fā)送的二進(jìn)制碼元為“0”和“1”，其發(fā)送概率分別為P(0)和P(1)，顯然，P(0)+P(1)=1。

設(shè)在一個碼元持續(xù)時間Ts內(nèi)以2fH的速率抽樣，共得到k個抽樣值，即k＝2fHTs。

由于每個噪聲電壓n(t)的抽樣值ni都是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故其一維概率密度可以寫為其中，σn是噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差；i=1,2,3,…,k。2023/2/148.2數(shù)字信號的統(tǒng)計特性(續(xù))k維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為2023/2/1

當(dāng)k很大時，在一個碼元持續(xù)時間Ts內(nèi)接收的噪聲平均功率可以表示為58.2數(shù)字信號的統(tǒng)計特性(續(xù))k維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示又為2023/2/1其中，n

=(n1,n2,…,nk)為k維矢量，表示一個碼元內(nèi)噪聲的k個抽樣值。

設(shè)接收電壓r(t)為信號電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和，即r(t)=s(t)+n(t)。在發(fā)送碼元確定之后，接收電壓r(t)的隨機(jī)性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為n2，但是均值變?yōu)閟(t)。所以，當(dāng)發(fā)送碼元“0”的信號波形為s0(t)時，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為68.2數(shù)字信號的統(tǒng)計特性(續(xù))2023/2/1其中，r=s+n為k維矢量，表示一個碼元內(nèi)接收電壓的k個抽樣值；s為k維矢量，表示一個碼元內(nèi)信號電壓的k個抽樣值。

當(dāng)發(fā)送碼元“1”的信號波形為s1(t)時，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為78.3數(shù)字信號的最佳接收2023/2/1

設(shè)在一個二進(jìn)制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元“1”的概率為P(1)，發(fā)送碼元“0”的概率為P(0)，則總誤碼率Pe等于其中，P(0|1)和P(1|0)分別是發(fā)送符號“1”時錯判為“0”、發(fā)送符號“0”時錯判為“1”的條件概率或轉(zhuǎn)移概率。88.3數(shù)字信號的最佳接收(續(xù))2023/2/1

兩個錯誤轉(zhuǎn)移概率分別為總的誤碼率為

為了求出Pe最小值時的判決分界點(diǎn)r0，將上式對r0求導(dǎo)可得98.3數(shù)字信號的最佳接收(續(xù))2023/2/1

令上式等于0，可以求出最佳分界點(diǎn)r0，即

當(dāng)先驗(yàn)概率相等，即P(1)=P(0)時，f0(r0)=f1(r0)，所以最佳分界點(diǎn)r0位于圖8-1中兩條曲線交點(diǎn)處對應(yīng)的r0。

判決準(zhǔn)則還可以表示為：若

，則判為“0”；反之，若

，則判為“1”。108.3數(shù)字信號的最佳接收(續(xù))2023/2/1

如果發(fā)送“0”和發(fā)送“1”的先驗(yàn)概率相等時，上述判決準(zhǔn)則還可以簡化為：若f0(r)>f1(r)，則判為符號“0”；反之，若f0(r)<f1(r)，則判為符號“1”。這個判決準(zhǔn)則常稱為最大似然準(zhǔn)則。

在一個M進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，可能的發(fā)送符號是X1，X2，…，Xi，…，XM之一。當(dāng)發(fā)送符號Xi時，接收電壓的k

維聯(lián)合概率密度函數(shù)為

如果符號的先驗(yàn)概率相等，能量相等，則當(dāng)fi(r)>fj(r)，其中，j=1,2,3,M，且j≠i，則判為符號Xi。118.4確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)2023/2/1

接收到的兩種波形s1(t)和s0(t)是確知的，設(shè)它們的持續(xù)時間為Ts，且功率相同，高斯白噪聲的平均功率和單邊功率譜密度分別為σ2和n0。當(dāng)發(fā)送碼元為“0”時，波形為s0(t)，接收電壓r(t)的k維概率密度為

當(dāng)發(fā)送碼元為“1”時，波形為s1(t)，接收電壓r(t)的k維概率密度為128.4確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)(續(xù))2023/2/1

如果則判決接收到的波形為s0(t)，發(fā)送符號為“0”；如果則判決接收到的波形為s1(t)，發(fā)送符號為“1”。

將上兩式的兩端分別取對數(shù)，判決準(zhǔn)則可以表示為：如果則判決接收到的波形為s0(t)，發(fā)送符號為“0”；如果138.4確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)(續(xù))2023/2/1

由于事先假設(shè)了兩種符號的功率相等，即則判決接收到的波形為s1(t)，發(fā)送符號為“1”。判決準(zhǔn)則可以進(jìn)一步簡化為：如果則判決接收到的波形為s0(t)，發(fā)送符號為“0”；如果則判決接收到的波形為s1(t)，發(fā)送符號為“1”。148.4確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)(續(xù))2023/2/1158.5確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)的誤碼率2023/2/1

直接計算它們是非常不易的，現(xiàn)在用間接的方法計算錯誤轉(zhuǎn)移概率P(0|1)和P(1|0)。

概率P(1|0)就是使不等式(8-14)成立的概率，即

把r(t)=s0(t)+n(t)帶入上式，可得168.5確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

如果用一個隨機(jī)過程ξ代表上不等式的左邊，用參數(shù)a代表上不等式的右邊，則上不等式可以表示為

ξ<a

隨機(jī)過程ξ的數(shù)學(xué)期望和方差分別為178.5確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

高斯隨機(jī)過程ξ在任一時刻上的取值是一個正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其一維概率密度為188.5確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

不等式ξ<a成立的概率為概率P(1|0)可以表示為198.5確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

概率P(0|1)可以表示為總的誤碼率為208.5確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

當(dāng)P(0)=0.5，P(1)=0.5時，總誤碼率為

就先驗(yàn)概率相等的情況，討論兩種接收波形s0(t)和s1(t)對誤碼率的影響。它們的相關(guān)系數(shù)可以表示為218.5確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1其中，接收信號的碼元能量

，

。當(dāng)s0(t)=s1(t)時，＝1，為最大值；當(dāng)s0(t)=-s1(t)時，

＝－1，為最小值。所以，

的取值范圍在-1

+1。

當(dāng)接收信號的兩碼元能量相等時，令E0=E1=Eb，則相關(guān)系數(shù)可以表示為228.5確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

誤碼率可以表示為

令

，則

誤碼率又可以表示為238.5確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

誤碼率又可以表示為

對于2PSK信號，相關(guān)系數(shù)

＝-1；對于2FSK信號，等于或近似等于0；對于2ASK信號，s0(t)=0，計算誤碼率時，需要首先計算參數(shù)α248.5確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)的誤碼率（續(xù)）2023/2/1

再計算誤碼率:258.6

數(shù)字通信系統(tǒng)的匹配濾波接收法2023/2/1

用線性濾波器對接收信號濾波，使抽樣時刻上輸出信號的信噪比最大，此線性濾波器被稱為匹配濾波器。

線性接收濾波器的輸出y(t)為

輸出噪聲no(t)的平均功率No為

在抽樣時刻t0，輸出信號瞬時功率與噪聲平均功率之比r0為268.6

數(shù)字通信系統(tǒng)的匹配濾波接收法（續(xù)）2023/2/1

利用施瓦茲不等式，可以求出r0的最大值，即最大輸出信噪比為

上式等號成立的條件是

上式表明，最佳接收濾波器傳輸函數(shù)H(f)與接收信號的頻譜函數(shù)S(f)有關(guān)，它正比于S(f)的復(fù)共軛乘以一個移相因子，此濾波器被稱為匹配濾波器。278.6

數(shù)字通信系統(tǒng)的匹配濾波接收法（續(xù)）2023/2/1

匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)h(t)為

由上式可見，匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)就是信號s(t)的鏡像s(-t)在時間軸上向右平移t0，如圖8-3所示。288.6

數(shù)字通信系統(tǒng)的匹配濾波接收法（續(xù)）2023/2/1298.6

數(shù)字通信系統(tǒng)的匹配濾波接收法（續(xù)）2023/2/1

物理可實(shí)現(xiàn)的匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)必須符合因果關(guān)系，在輸入沖激脈沖加入前不應(yīng)該有沖激響應(yīng)出現(xiàn)，即當(dāng)t<0時，h(t)=0。因此，濾波器輸入信號為s(t)必須滿足條件

接收濾波器輸入端的信號s(t)在抽樣時刻t0之后必須為零。一般不希望在碼元結(jié)束之后很久才抽樣，故通常選擇在