鄭州大學周小平緒論第1章

電磁場與電磁波

學習使我快樂緒論一、電磁場課程研究的內(nèi)容電磁場理論是電磁學的后續(xù)課程電磁學：

電磁場：利用麥克斯韋方程組更深入地研究電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律，介紹在實際問題中求解電磁場和電磁波問題的一些基本方法。

二、電磁場理論在專業(yè)課學習中的地位和作用

1、是一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課①、所有的信息都是通過電磁場和電磁波傳遞的，因此必須掌握電磁場和電磁波的基本規(guī)律。②、是進一步學習一些后續(xù)課程的基礎(chǔ)：微波技術(shù)、光纖通信、天線、電波傳播、電磁兼容技術(shù)、射頻電路設計……2、電磁場理論的研究與科學技術(shù)的發(fā)展

電磁場理論的研究在科學技術(shù)發(fā)展的過程中起著十分重要的作用。在國務院學位辦編的《授予博士碩士學位和培養(yǎng)研究生的學科專業(yè)簡介》中對電磁場與微波技術(shù)的表述：電子和信息領(lǐng)域內(nèi)幾乎所有重大技術(shù)進展都離不開電磁場和微波技術(shù)的突破。在通信、雷達、激光和光纖、遙感、衛(wèi)星、微電子、高能技術(shù)、生物和醫(yī)療，幾乎所有的高新技術(shù)領(lǐng)域中，電磁場和微波技術(shù)都起著關(guān)鍵的作用。①、一些重要的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明都是以電磁場理論的研究為基礎(chǔ)的。例：指南針、電話、電報、電動機、發(fā)電機……②、特別是無線電技術(shù)，完全是在電磁場理論研究的基礎(chǔ)上發(fā)明、發(fā)展起來的：1864年，麥克斯韋（英）總結(jié)了前人研究的成果，提出了系統(tǒng)的電磁場理論，并預言了電磁波的存在。1888年，赫茲（德）通過實驗證實了電磁波的存在。1895年，波波夫（俄）和馬克尼（意大利）各自獨立地實現(xiàn)了電磁波通訊試驗，開始了無線電技術(shù)的新紀元。1876年，美國貝爾發(fā)明了電話，實現(xiàn)了電聲通信。1831年，英國物理學家法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應現(xiàn)象并提出電磁感應定律，制造出了世界上第一臺發(fā)電機，并開創(chuàng)了人類應用電力的新紀元。

1865年，英國物理學家麥克斯韋在電磁學的三大實驗定律（庫侖定律、畢奧-沙伐定律和法拉第電磁感應定律）基礎(chǔ)上，提出了位移電流的基本假設，歸納總結(jié)出麥克斯韋方程，奠定了宏觀電磁理論的基礎(chǔ)。麥克斯韋方程組給出了電磁場的空間分布和隨時間變化的全部規(guī)律，預言了電磁波的存在。

這個預言于1888年被德國物理學家赫茲的實驗結(jié)果所證實，從而導致無線電通信的發(fā)明，展現(xiàn)了電磁場與電磁波應用的廣闊前景。

1895年，波波夫（俄）和馬克尼（意大利）各自獨立地實現(xiàn)了電磁波通訊試驗，開始了無線電技術(shù)的新紀元。100多年以來，無線電技術(shù)取得了巨大的進步：

△器件：電子管→晶體管→集成電路→大規(guī)模集成電路

△波段：短波→超短波→微波光波

△模擬方式→數(shù)字方式

△固定使用→移動使用

當今世界，電子信息系統(tǒng)，不論是通信、雷達、廣播、電視，還是導航、遙控遙測，都是通過電磁波傳遞信息來進行工作的。因此以宏觀電磁理論為基礎(chǔ)，電磁信息的傳輸和轉(zhuǎn)換為核心的電磁場與電磁波工程技術(shù)將充分發(fā)揮其重要作用。下面以無線電通信系統(tǒng)為例來說明。接收機接收天線饋線導行波導行波發(fā)射機發(fā)射天線饋線

發(fā)射機末級回路產(chǎn)生的高頻振蕩電流經(jīng)過饋線送到發(fā)射天線，通過發(fā)射天線將其轉(zhuǎn)換成電磁波輻射出去；到了接收端，電磁波在接收天線上感生高頻振蕩電流，再經(jīng)饋線將高頻振蕩電流送到接收機輸入回路，這就完成了信息的傳遞。在這個過程中，經(jīng)歷了電磁波的傳輸、發(fā)射、傳播、接收等過程。傳輸——導行電磁波發(fā)射和接收——天線

傳播——入射、反射、透射、繞射一些常見的天線和饋線中、短波發(fā)射天線微波接力天線卡塞格侖天線MMDS-A型微波天線MMDS-C型微波天線對數(shù)周期天線矩形波導圓波導平行雙線同軸線微帶線

要掌握天線發(fā)射和接收電磁波的機理和性能，必須掌握電磁場與電磁波的基本理論和技術(shù)。要掌握電磁波傳輸?shù)臋C理和性能，了解構(gòu)成導波系統(tǒng)的元件和器件的性能，就必須掌握電磁場與電磁波的基本理論和技術(shù)。要掌握電磁波傳播的機理和性能，了解電磁波在水下或地下如何傳播，了解在地面站和衛(wèi)星之間如何傳播，就必須掌握電磁場與電磁波的基本理論和技術(shù)?？傊?，一切無線電工程系統(tǒng)，如前面提到的移動通信、衛(wèi)星通信、雷達、電視、微波遙感……都包含許許多多電磁場與電磁波的基礎(chǔ)理論問題，而且不斷地對以電磁場與電磁波為基礎(chǔ)理論的無線電技術(shù)、微波技術(shù)提出新的課題。因而電磁場與電磁波基礎(chǔ)理論將始終發(fā)揮著重要作用，且不斷擴充其應用領(lǐng)域。③、當前，電磁場理論在一些前沿學科，例如：光纖通信、

超導研究、電子對抗、電磁兼容、生物電磁學、環(huán)境

電磁學等領(lǐng)域中，仍起著十分重要的作用。

隨著現(xiàn)代科學技術(shù)的發(fā)展，電子、電氣系統(tǒng)獲得越來越廣泛的應用。運行中的電子、電氣設備大多伴隨著電磁能量的轉(zhuǎn)換，使得高密度、寬頻譜的電磁信息充滿整個人類的生存空間，構(gòu)成極其復雜的電磁環(huán)境，出現(xiàn)了電磁干擾和電磁污染，使電子系統(tǒng)受到嚴峻的挑戰(zhàn)，人類生存受到威脅。人們面臨的一個新問題就是如何提高電子系統(tǒng)在復雜電磁環(huán)境下正常運行的能力，如何改善人類生存環(huán)境。

在這樣的背景下提出了電磁兼容的概念，逐漸形成了一門新學科——電磁兼容性（ElectromagneticCompatibility,簡寫為EMC）。電子系統(tǒng)的電磁兼容性的分析、計算、試驗都要用到大量的電磁場理論知識，應用到電路的基礎(chǔ)知識，甚至生物醫(yī)學知識?？梢哉f，電磁兼容學科是電磁場學科和其他相關(guān)學科相結(jié)合而形成的新學科。生物電磁學也是與電磁場相關(guān)聯(lián)的一門新學科，它研究電磁場與生物系統(tǒng)的相互作用、相互影響的關(guān)系，電磁場與電磁波無疑是其討論的理論依據(jù)。

電磁波作為人類的先驅(qū)，作為地球的使者率先訪問了月球，然后才實現(xiàn)了人的登月。在人類目前尚不能進入的茫茫宇宙空間，將電磁波作為尖兵打頭陣，為人們提供信息。電磁波也將作為科學發(fā)明的先驅(qū)，照亮科學與技術(shù)發(fā)展的前進道路！例1：電子對抗（電子戰(zhàn)）⑴、定義：利用電磁能量、電磁頻譜進行的軍事對抗，包括：①、電子偵察，利用衛(wèi)星、預警飛機②、電子攻擊，電磁干擾、電磁脈沖武器(高能電磁脈沖)、石墨炸彈、激光武器……③、電子防護，抗干擾技術(shù)⑵、1991年海灣戰(zhàn)爭（美、伊拉克）①、電磁干擾：美軍利用隱形飛機、巡航導彈首先摧毀了

伊軍的指揮通信系統(tǒng)，利用電磁干擾飛機發(fā)射強大的

電磁干擾信號，覆蓋了伊拉克軍用通訊信號的整個頻

段，使伊軍的通信設備完全癱瘓了，薩達姆最后下達

的停火命令都是由美軍傳達的。②、隱身技術(shù)：利用電磁波吸收、散射(外形、涂料)……，使雷達接收不到回波信號。龐大的B－2B轟炸機的雷達截面僅和天空中的一個小鳥相當，以至于眼睛都看到飛機了，雷達還找不到。1997年我軍在臺灣海峽的軍事演習首次演習了電子戰(zhàn)，現(xiàn)在已經(jīng)具備了進行電子戰(zhàn)的能力。

抗干擾技術(shù)，怎樣在強大的電磁干擾下保證通信的暢通：猝發(fā)通信、擴頻通信、跳頻通信……,海灣戰(zhàn)爭以后，電子對抗技術(shù)又有了很大的發(fā)展。

海灣戰(zhàn)爭以后，電子對抗技術(shù)在世界上引起很大的震動，我國也非常重視，投入很大的人力、物力進行研究。例2：電磁兼容⑴、隨著科學技術(shù)的發(fā)展，越來越多的電子、電氣設備進

入了我們生活和生產(chǎn)的各個領(lǐng)域，這些設備在正常運行的同時也向外輻射電磁能量，可能對其他設備產(chǎn)生不良的影響，甚至造成嚴重的危害,這就是電磁干擾。

據(jù)統(tǒng)計,全世界空間電磁能量平均每年增長7～14％。

在有限的空間和有限的頻率資源條件下，由于各種電

子，電氣設備的數(shù)量與日俱增，使用的密集程度越來

越大，電磁干擾的嚴重性也就越來越突出。實例1：電吹風對電視機的干擾，計算機對收音機的干擾。

B1轟炸機的機頭上裝有大量的電子設備，分離試驗時這些設備都符合技術(shù)標準，把這些設備裝上機頭再測試，許多設備的性能大幅度下降，經(jīng)過專家們大量的試驗和分析，發(fā)現(xiàn)是由于這些設備之間相互的電磁干擾造成的。實例3：民兵Ⅰ導彈的飛行故障。

民兵Ⅰ導彈進行實彈飛行試驗時，前兩次都失敗了，故障現(xiàn)象相似，都是在Ⅰ級發(fā)動機關(guān)機前炸毀了，炸毀前，用于制導的計算機都受到了脈沖干擾。經(jīng)過分析和試驗，發(fā)現(xiàn)故障是由于導彈飛行到一定高度時，在相互絕緣的彈頭和彈體之間發(fā)生了靜電放電，使導彈提前爆炸。實例2：美國研制B1轟炸機時電子設備之間的電磁干擾。

英國、阿根廷馬爾維納斯群島戰(zhàn)爭中(1982年)，英國謝菲爾德號導彈驅(qū)逐艦上的雷達和通信系統(tǒng)互相干擾，為了確保通信不受干擾而暫時關(guān)閉了本艦雷達，導致沒有及時發(fā)現(xiàn)來襲的飛魚導彈，造成艦毀人亡的后果。實例5：廣州白云機場的導航系統(tǒng)受到嚴重的干擾。

2002年1月20日,廣州白云機場由于附近無線尋呼臺發(fā)射機群信號的干擾（互調(diào)、帶外輻射），迫使導航系統(tǒng)關(guān)閉通信扇面，導致大量的飛機在空中盤旋等待，使九十多架航班延誤，6000多旅客滯留機場。美國航空無線電委員會(RTCA)也曾在一份文件中提到，一位旅客在飛機上使用調(diào)頻收音機使飛機導航系統(tǒng)的指示偏離10°以上＊。實例4：英國謝菲爾德號導彈驅(qū)逐艦的慘?、啤㈦姶偶嫒莸亩x

采用一定的技術(shù)手段，使同一電磁環(huán)境中的各種電子、電氣設備都能正常工作，并且不干擾其他設備的正常工作，這就是電磁兼容（英文：ElectromagneticCompatibility，縮寫為EMC)。在國家標準GB/T4365-1995中對電磁兼容嚴格的定義是：設備或系統(tǒng)在其電磁環(huán)境中能正常工作且不對該環(huán)境中任何事物構(gòu)成不能承受的電磁騷擾的能力。⑶、電磁兼容研究的內(nèi)容

電磁兼容性學科研究的對象不僅限于各種電子、電氣設備，而且包括各種電磁環(huán)境（自然電磁干擾、核電磁脈沖、靜電放電、人為電磁輻射等）對人體的生態(tài)效應，信息處理設備因電磁泄漏造成的泄密等等＊

。

可以看出：許多新技術(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展都與電磁理論的研究有關(guān)，有的專家指出：電磁場理論的研究是一個新技術(shù)的生長點。電磁兼容性涉及的領(lǐng)域十分廣泛，通信、廣播電視、科學儀器、信息設備、航空、航天、機車、艦船、電力、軍工、醫(yī)療設備、計算機、家用電器等領(lǐng)域中都存在電磁干擾和電磁兼容性問題。3、電磁理論與電路的關(guān)系

我們專業(yè)的基礎(chǔ)課和專業(yè)基礎(chǔ)課可分為兩大類：

與路有關(guān)的課程：電路分析、模擬電路、數(shù)字電路、高頻電路，射頻電路設計……

這兩類課程都是研究電磁現(xiàn)象的，所用的方法不同：

與場有關(guān)的課程：電磁學、電磁場與電磁波、微波、天線、電波傳播、電磁兼容技術(shù)……

場的方法：利用麥克斯韋方程組，在給定的邊界條件和初始條件下，求解空間各點的電磁場量（E、B、W……)的變化規(guī)律（逐點研究某一系統(tǒng)中的電磁過程）。

路的方法：引入電壓、電流、電阻、電容、電感等概念，在某些條件下，利用等效電路來研究一個系統(tǒng)的電磁現(xiàn)象,R、C、L等系數(shù)是由媒質(zhì)的電磁參數(shù)（σ、ε、μ）確定的。例：①、在穩(wěn)恒、低頻的條件下（λ＞＞電路的尺寸，沿電路，電壓、電流的幅度、相位處處相等），電路

中的電阻可用等效電阻代替，電場的能量都是集中在電容器中,磁場的能量都集中在電感器中，R、C、L都是集中系數(shù)——可用電路的方法（電路分析、模擬電路）（也可用場的方法）②、對一些高頻、微波問題（λ與電路的尺寸L可比，或λ＜L），沿導線電感（如圖），不能用集中的電阻器、電容器、電感器代替，稱為分布電阻、分布電容、分布電感?？捎梅植枷禂?shù)電路*計算，而這些分布系數(shù)需要用場的方法計算——場和路的方法結(jié)合。

總之，“場”和“路”是研究電磁現(xiàn)象的兩種方法，對我們系的同學來說，都應當很好的掌握。三、學習方法1、數(shù)學工具：微分、積分、矢量分析、微分方程、數(shù)學物理方程。①、顯得理論性比較強；②、利用教學工具的能力在科研和工程設計中起著非常重要的作用，希望同學們在學習電磁場課的過程中，提高利用數(shù)學工具解決實際問題的能力。③、研究天線、電波傳播、波導、諧振腔、光纖等問題，電

壓、電流等概念失去了確切的意義，只能用場的方法。

①、復習性內(nèi)容：大學物理中學過內(nèi)容（在電磁場理論中也是很重要的內(nèi)容），在本課程中不作為重點，但作為預備知識，要求熟悉，可參考大學物理教材復習。2、本書內(nèi)容可分為幾部分（把握重點）②、基本內(nèi)容：電磁場課程中的基本概念、基本方法。③、閱讀性內(nèi)容：擴大知識面。④、第7章在微波技術(shù)課中講，其它章也有一些小節(jié)不講，以筆記為準，認真記筆記。3、評分方法

①、作業(yè)計入期末成績（要求平時按時完成）10%

②、實驗10%

③、期末考試80%課程網(wǎng)址：鄭州大學主頁－－教務在線－－精品課程

－－省級精品課程：電磁場與電磁波第1章矢量分析1、單位矢量eR

：只表示矢量的方向，大小是1。1.1矢量運算（參考高等數(shù)學書）點電荷場強表達式其中由源點指向場點。源點場點2、矢量加減法⑴、平行四邊形法則（或三角形法則）矢量加減法可以用平行四邊形法則如圖1.1所示

（或三角形法則圖1.2所示）⑵、分量式加減法也可以用分量分別相加減法，例如直角坐標系中兩矢量分別為圖1.1平行四邊形法則圖1.2三角形法則相加為兩矢量的夾角兩矢量的點積含義：一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標量。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律用矢量的三個分量表示為A·B=AxBx+AyBy+AzBz

3、兩矢量的標量積（點乘，結(jié)果是標量,也稱為點積、標積）：

A·B＝ABcosθ

（1.5

）

θ是A和B的夾角。4、兩矢量的矢量積（叉乘、叉積、矢積，結(jié)果是矢量）：

A×B＝C（1.6

）

方向為：右手定則，該矢量垂直于原來兩個矢量組成的平面;大小為含義：矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且三者符合右手螺旋法則。推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合律：5、兩矢量的混合積:A

·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B）6、常用矢量變換式見附錄3，會查會用在直角坐標系中，兩矢量的叉積運算如下：xyzo兩矢量的夾角

1.2空間矢量

空間任一點可用一個矢量表示，由原點指向該點。

r

、r’稱為位置矢量。圖1.3由原點指向場點的距離矢量1.3矢量場和標量場

場：如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點，都對應著某個物理量的一個確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個場。換句話說，在某一空間區(qū)域中，物理量的無窮集合表示一種場。如在教室中溫度的分布確定了一個溫度場；在空間電位的分布確定了一個電位場。場的一個重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)，除有限個點和表面外，其物理量應是處處連續(xù)的。若該物理量與時間無關(guān)，則該場稱為靜態(tài)場；若該物理量與時間有關(guān)，則該場稱為動態(tài)場或稱為時變場。

以電場為例：電場中每一點都可以定義一個電場強度矢量E1、E2…

(一一對應)，這些矢量的總和構(gòu)成一個矢量場E(x,y,z），矢量場可以用場線表示，例如：電力線……

以電場為例：電場中每一點都可以定義一個電位U1、U2…（）,這些標量的總和構(gòu)成一個標量場U(x,y,z

)，標量場可以用等值面表示，例如等位面U(x,y,z)＝常數(shù)。1、矢量場，

在許多物理系統(tǒng)中，其狀態(tài)不僅需要確定其大小，同時還需確定它們的方向，這就需要用一個矢量來描述，因此稱為矢量場，例如電場、磁場、流速場等等。2、標量場

在研究物理系統(tǒng)中溫度、壓力、密度等在一定空間的分布狀態(tài)時，數(shù)學上只需用一個代數(shù)變量來描述，這些代數(shù)變量(即標量函數(shù))所確定的場稱為標量場，如溫度場T(x,y,z)、電位場φ(x,y,z)等。1.4三種常用的正交坐標系1、直角坐標系直角坐標系中三個相互正交的單位矢量是、、，滿足如下的關(guān)系

任一矢量A在直角坐標系中可以表示為直角坐標系中的位置矢量為與三個坐標方向相垂直的三個面積元分別為直角坐標系中的體積元為

圖1.4直角坐標系中長度元、面積元、體積元微分線元為2、圓柱坐標系

圓柱坐標系中的三個坐標分量是r、φ、z，它們的變化范圍分別是0≤r＜∞，0≤φ≤2π，－∞＜z

＜∞

空間任一點P的位置可以用圓柱坐標系中的三個變量(r,φ,z)來表示，如圖所示。其中，r是位置矢量OP在xy面上的投影，φ是從+x軸到位置矢量OP在xy面上的投影之間圓柱坐標系三個互相垂直的坐標圖1-4圓柱坐標系一點的投影2、圓柱坐標系的夾角，z是OP在z軸上的投影。由圖1-4可以看出，圓柱坐標與直角坐標之間的關(guān)系為

圓柱坐標系中三個相互正交的單位矢量是、、，滿足如下的關(guān)系（、不是常矢量，因為它們的方向隨空間位置的變化而變化，或因為對于不同的點，、有不同的方向，這同直角坐標系不同

）

圓柱坐標系與直角坐標系之間的變換關(guān)系為或

圖1.5圓柱坐標系中長度元、面積元、體積元直角坐標系中的單位矢量與圓柱坐標系中的單位矢量的換算關(guān)系：或而且（和是如何跟隨變化的）直角坐標系中的矢量A可以利用下式換算為圓柱坐標系中的矢量

同樣，可以利用（1.31）式中變換矩陣的逆矩陣把圓柱坐標系中的矢量A換算為直角坐標系中的矢量例題1.1將矢量變換到直角坐標系中。

解：利用（1.32）式可得

或再由（1.22）和（1.23）得

所以任一矢量A在圓柱坐標系中可以表示為

圓柱坐標系中的位置矢量為

其中不顯含φ分量，已包含在的方向中。微分線元為

圖1.5圓柱坐標系中長度元、面積元、體積元可以看出，在r、φ、z增加方向上的微分元分別為dr、rdφ、dz，如圖1.5所示。如圖1.5所示。圓柱坐標系中的體積元為圓柱坐標系中與三個坐標方向相垂直的三個面積元分別為球坐標系

球坐標系中的三個坐標分量是r、θ、φ，它們的變化范圍分別是

0≤r＜∞，0≤θ≤π，0≤φ≤2π

球坐標系與直角坐標系之間的變換關(guān)系為

或球坐標系中三個相互正交的單位矢量是、、，滿足如下的關(guān)系

直角坐標系中的單位矢量與球坐標系中的單位矢量的換算關(guān)系：

球坐標系中的單位矢量都不是常矢量：或

直角坐標系中的矢量A可以利用下式換算為球坐標系中的矢量

同樣，可以利用上式中變換矩陣的逆矩陣把球坐標系中的矢量A換算為直角坐標系中的矢量

任一矢量A在球坐標系中可以表示為

球坐標系中的位置矢量為

圖1.6球坐標系中長度元、面積元、體積元可以看出，在r、θ、φ增加方向

上的微分元分別為dr、rdθ、

rsinθdφ，如圖1.6所示。微分線元為其中不顯含θ分量和φ分量，已包含在的方向中。沿r、θ和φ方向的長度增量分別為dlr=dr,dlθ=rdθ,dlφ=rsinθdφ球坐標系中的體積元為球坐標系中與三個坐標方向

相垂直的三個面積元分別為

用矢量表示

的取法(指向)有兩種情形:對開曲面上的面元,設這個開曲面是由封閉曲線l所圍成的,則當選定繞行l(wèi)的方向后,沿繞行方向按右手1.5矢量的微分1.5.1矢量場的散度，散度定理。1、矢量的通量面元矢量為其中是面元的單位法線矢量。面元大小與面元垂直的單位矢量圖法線方向的取法開曲面上的面元螺旋的姆指方向就是的方向,如圖a所示;

對封閉曲面上的面元,取為封閉面的外法線方向，如圖b所示。閉曲面上的面元圖

開曲面上

如果S是一個閉曲面，則如圖1.7所示。圖1.7矢量場穿過面元通量

因此矢量場A穿過整個曲面S的通量為2、矢量場的散度。⑴、穿過閉合曲面的通量及其物理意義如圖1.8所示，在矢量場A中，圍繞某一點P作一閉合曲面S，法線方向向外，則

若φ>0，則流出S面的通量大于流

入的通量，即通量由S面內(nèi)向外擴散，

說明S面內(nèi)有正源，如圖1.9所示。

圖1.8矢量場穿過閉合曲面S的通量圖1.9通量由S面內(nèi)向外擴散是矢量A穿過閉合曲面S的通量或發(fā)散量。這說明S內(nèi)必定有矢量場的源;

若Φ=0，則流入S面的通量等于流出

的通量，說明S面內(nèi)無源，如圖1.8所示。

若Φ<0，則流入S面的通量大于流出

的通量，即通量向S面內(nèi)匯集，說明S面內(nèi)

有負源，如圖1.10所示。圖1.10通量向S面內(nèi)匯集圖1.8矢量場穿過閉合曲面S的通量說明電通量由S面內(nèi)向外擴散說明電通量向S面內(nèi)匯集⑵、散度的定義

在矢量場A中，設閉合曲面S包圍的體積為ΔV，則為ΔV內(nèi)的平均發(fā)散量，令ΔV→0，就得到矢量場在P點的發(fā)散量或散度，記作：divA或▽·A，即可以看出，矢量（場）的散度是一個標量（場）a.定義：矢量場中某點的通量密度稱為該點的散度。=0(正源)?

A=0(負源)φ>0Φ<0Φ=0⑶、散度的表達式②、在圓柱坐標系和球坐標系中，P345

在圓柱坐標系中

在球坐標系中哈密頓算符為A散度3.散度定理（高斯定理）（證明P17）

矢量場A通過任一閉合曲面S的通量等于它所包圍的體積V內(nèi)A的散度的體積分，即：例：電場的高斯定理（積分形式）

利用散度定理，可以把面積分變?yōu)轶w積分，也可以把體積分變?yōu)槊娣e分；可以把麥克斯韋方程組中電場的高斯定理和磁場的高斯定理由體積分形式寫為微分形式。電場的高斯定理的微分形式穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。例題1.2已知矢量，對中心在原點的一個單位立方體驗證散度定理在直角坐標系中計算，▽·r(r)則有若在球坐標系里計算，則P244證明矢量場的散度與坐標的選擇無關(guān)。解：由于在球坐標內(nèi)，A(r)=r(r)＝err，r＝a的球面上各點的矢量為A(a)=

r(a)＝er

a，其大小處處相等，而球面上的面元矢量dS＝erdS，所以例題：矢量場A(r)＝r或r(x，y，z)，計算A(r)穿過一個球心在圓點，半徑為a的球面的通量；并計算此矢量場的散度▽

·r(r)。r(a)＝eraA(r)＝er通量:1.5.2矢量場的旋度，斯托克斯定理1、矢量的環(huán)流：矢量場A沿閉合回路L的線積分稱為環(huán)流。若ΓA≠0，則矢量場為渦旋場，場線是連續(xù)的閉合曲線。若ΓA＝0，

則矢量場A為無旋場，可以引入位的概念。所以

設有矢量場A，l為場中的一條封閉的有向曲線，定義矢量場A環(huán)繞閉合路徑l的線積分為該矢量的環(huán)量場線是渦旋的場線是發(fā)散的2、矢量場的旋度⑴、定義：設閉合回路L所圍的面積為△S，

其法線矢量n與L構(gòu)成右手關(guān)系，則為矢量場A

在△S內(nèi)沿n方向的平均渦旋量，令△S→0（△S

收縮成一個點P）就得到矢量場A在P點處沿n

方向的渦旋量該極限值與S

的形狀無關(guān)，但與S的方向n有關(guān)。稱為矢量場A在P

點沿n方向的環(huán)流密度這個極限的意義就是環(huán)流密度,或稱環(huán)量強度。

由于面元是有方向的,它與封閉曲線l的繞行方向成右手螺旋關(guān)系,因此在給定點處,上述極限值對于不同的面元是不同的。

為此,引入如下定義,稱為旋度(curl或rotation):

可見,矢量A的旋度是一個矢量,其大小是矢量A在給定點處的最大環(huán)流密度,其方向就是當面元的取向使環(huán)量面密度最大時,該面元矢量的方向。

它描述A在該點處的旋渦源強度。

若某區(qū)域中各點,稱A為無旋場或保守場。旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。用表示。單位面積的環(huán)量矢量場與環(huán)路之間的夾角決定大小例：一導線載有電流I，在導線周圍產(chǎn)生的磁場H，如圖1.14所示,任取一環(huán)路L，∴旋度（單位面積的環(huán)量）是一個矢量，大小：P點處(rot)nA環(huán)量密度正的最大值；方向：P點處(rot)nA取正的最大值時的方向。圖1.14載流導線的磁場環(huán)量密度矢量場與環(huán)路之間的夾角決定大?、?、旋度的表達式：②、在圓柱坐標系和球坐標系中P345。3、斯托克斯定理：矢量場沿任意閉合回路上的環(huán)量等于以L為邊界的曲面S上的旋度的積分。⑶、旋度的一個重要性質(zhì)證明：在直角坐標系中矢量場旋度的散度恒為零,即旋度有兩個重要的性質(zhì)：（1）矢量場的旋度的散度恒為零，

（2）標量場的梯度的旋度恒為零，因為旋度代表單位面積的環(huán)量，因此矢量場在閉合曲線L上的環(huán)量等于閉合曲線L所包圍曲面S上旋度的總和。例：磁場的環(huán)路定理：的環(huán)路定理(法拉第電磁感應定律)解：如圖1.17所示，在球坐標系內(nèi)，半球面上的面元矢量為dS

=err2

sinθdθdφ，在直角坐標系中，A的旋度為

例1.3(P22)：已知矢量場，對半球面驗證斯托克斯定理。

半球面S的邊界是xy平面內(nèi)的圓x2

+y2

＝1，邊界上的線元dl＝exdx＋eydy，沿邊界的環(huán)流為

1.5.3標量場的梯度標量場的等值面標量場u(x,y,z)的等值面方程為圖標量場的等值面

曲面上的各點,雖然坐標不同,但函數(shù)值相等.a.方向?qū)?shù)：空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。為最大的方向?qū)?shù)。b.梯度定義：標量場中某點梯度的大小為該點最大的方向?qū)?shù)，其方向為該點所在等值面的法線方向。數(shù)學表達式：1.5.3標量場的梯度，

例：對于電場，空間各點的電位

構(gòu)成一個標量場，任選兩個等位面

，

，如圖1.18所示，可以看出沿不同的方梯度方向：指向標量增加率最大的方向(等值面的法線方向)。

梯度數(shù)值：該方向上標量的增加率。1、定義：標量（場）的梯度是一個矢量（場），表示某一

點處標量場的變化率，向，

的變化率不同，

為

增大方向等位面的法線矢量，為任意方向。可以看出：

圖1.18電位的變化率2、梯度的表達式

（1）在直角坐標系中，因此沿

方向，

的變化率最大。根據(jù)定義電位

的梯度為（2）在圓柱坐標系和球坐標系中P3453、梯度的一個重要性質(zhì)

根據(jù)這一性質(zhì)，若一矢量場的旋度處處為0，則可以引入標量位。即▽×A＝0，A可以寫為A＝－▽u1.6亥姆霍茲定理：時變電場、時變磁場：自己寫