鄭州大學(xué)周小平緒論第1章

電磁場(chǎng)與電磁波

學(xué)習(xí)使我快樂緒論一、電磁場(chǎng)課程研究的內(nèi)容電磁場(chǎng)理論是電磁學(xué)的后續(xù)課程電磁學(xué)：

電磁場(chǎng)：利用麥克斯韋方程組更深入地研究電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律，介紹在實(shí)際問題中求解電磁場(chǎng)和電磁波問題的一些基本方法。

二、電磁場(chǎng)理論在專業(yè)課學(xué)習(xí)中的地位和作用

1、是一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課①、所有的信息都是通過電磁場(chǎng)和電磁波傳遞的，因此必須掌握電磁場(chǎng)和電磁波的基本規(guī)律。②、是進(jìn)一步學(xué)習(xí)一些后續(xù)課程的基礎(chǔ)：微波技術(shù)、光纖通信、天線、電波傳播、電磁兼容技術(shù)、射頻電路設(shè)計(jì)……2、電磁場(chǎng)理論的研究與科學(xué)技術(shù)的發(fā)展

電磁場(chǎng)理論的研究在科學(xué)技術(shù)發(fā)展的過程中起著十分重要的作用。在國(guó)務(wù)院學(xué)位辦編的《授予博士碩士學(xué)位和培養(yǎng)研究生的學(xué)科專業(yè)簡(jiǎn)介》中對(duì)電磁場(chǎng)與微波技術(shù)的表述：電子和信息領(lǐng)域內(nèi)幾乎所有重大技術(shù)進(jìn)展都離不開電磁場(chǎng)和微波技術(shù)的突破。在通信、雷達(dá)、激光和光纖、遙感、衛(wèi)星、微電子、高能技術(shù)、生物和醫(yī)療，幾乎所有的高新技術(shù)領(lǐng)域中，電磁場(chǎng)和微波技術(shù)都起著關(guān)鍵的作用。①、一些重要的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明都是以電磁場(chǎng)理論的研究為基礎(chǔ)的。例：指南針、電話、電報(bào)、電動(dòng)機(jī)、發(fā)電機(jī)……②、特別是無線電技術(shù)，完全是在電磁場(chǎng)理論研究的基礎(chǔ)上發(fā)明、發(fā)展起來的：1864年，麥克斯韋（英）總結(jié)了前人研究的成果，提出了系統(tǒng)的電磁場(chǎng)理論，并預(yù)言了電磁波的存在。1888年，赫茲（德）通過實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電磁波的存在。1895年，波波夫（俄）和馬克尼（意大利）各自獨(dú)立地實(shí)現(xiàn)了電磁波通訊試驗(yàn)，開始了無線電技術(shù)的新紀(jì)元。1876年，美國(guó)貝爾發(fā)明了電話，實(shí)現(xiàn)了電聲通信。1831年，英國(guó)物理學(xué)家法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象并提出電磁感應(yīng)定律，制造出了世界上第一臺(tái)發(fā)電機(jī)，并開創(chuàng)了人類應(yīng)用電力的新紀(jì)元。

1865年，英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋在電磁學(xué)的三大實(shí)驗(yàn)定律（庫(kù)侖定律、畢奧-沙伐定律和法拉第電磁感應(yīng)定律）基礎(chǔ)上，提出了位移電流的基本假設(shè)，歸納總結(jié)出麥克斯韋方程，奠定了宏觀電磁理論的基礎(chǔ)。麥克斯韋方程組給出了電磁場(chǎng)的空間分布和隨時(shí)間變化的全部規(guī)律，預(yù)言了電磁波的存在。

這個(gè)預(yù)言于1888年被德國(guó)物理學(xué)家赫茲的實(shí)驗(yàn)結(jié)果所證實(shí)，從而導(dǎo)致無線電通信的發(fā)明，展現(xiàn)了電磁場(chǎng)與電磁波應(yīng)用的廣闊前景。

1895年，波波夫（俄）和馬克尼（意大利）各自獨(dú)立地實(shí)現(xiàn)了電磁波通訊試驗(yàn)，開始了無線電技術(shù)的新紀(jì)元。100多年以來，無線電技術(shù)取得了巨大的進(jìn)步：

△器件：電子管→晶體管→集成電路→大規(guī)模集成電路

△波段：短波→超短波→微波光波

△模擬方式→數(shù)字方式

△固定使用→移動(dòng)使用

當(dāng)今世界，電子信息系統(tǒng)，不論是通信、雷達(dá)、廣播、電視，還是導(dǎo)航、遙控遙測(cè)，都是通過電磁波傳遞信息來進(jìn)行工作的。因此以宏觀電磁理論為基礎(chǔ)，電磁信息的傳輸和轉(zhuǎn)換為核心的電磁場(chǎng)與電磁波工程技術(shù)將充分發(fā)揮其重要作用。下面以無線電通信系統(tǒng)為例來說明。接收機(jī)接收天線饋線導(dǎo)行波導(dǎo)行波發(fā)射機(jī)發(fā)射天線饋線

發(fā)射機(jī)末級(jí)回路產(chǎn)生的高頻振蕩電流經(jīng)過饋線送到發(fā)射天線，通過發(fā)射天線將其轉(zhuǎn)換成電磁波輻射出去；到了接收端，電磁波在接收天線上感生高頻振蕩電流，再經(jīng)饋線將高頻振蕩電流送到接收機(jī)輸入回路，這就完成了信息的傳遞。在這個(gè)過程中，經(jīng)歷了電磁波的傳輸、發(fā)射、傳播、接收等過程。傳輸——導(dǎo)行電磁波發(fā)射和接收——天線

傳播——入射、反射、透射、繞射一些常見的天線和饋線中、短波發(fā)射天線微波接力天線卡塞格侖天線MMDS-A型微波天線MMDS-C型微波天線對(duì)數(shù)周期天線矩形波導(dǎo)圓波導(dǎo)平行雙線同軸線微帶線

要掌握天線發(fā)射和接收電磁波的機(jī)理和性能，必須掌握電磁場(chǎng)與電磁波的基本理論和技術(shù)。要掌握電磁波傳輸?shù)臋C(jī)理和性能，了解構(gòu)成導(dǎo)波系統(tǒng)的元件和器件的性能，就必須掌握電磁場(chǎng)與電磁波的基本理論和技術(shù)。要掌握電磁波傳播的機(jī)理和性能，了解電磁波在水下或地下如何傳播，了解在地面站和衛(wèi)星之間如何傳播，就必須掌握電磁場(chǎng)與電磁波的基本理論和技術(shù)。總之，一切無線電工程系統(tǒng)，如前面提到的移動(dòng)通信、衛(wèi)星通信、雷達(dá)、電視、微波遙感……都包含許許多多電磁場(chǎng)與電磁波的基礎(chǔ)理論問題，而且不斷地對(duì)以電磁場(chǎng)與電磁波為基礎(chǔ)理論的無線電技術(shù)、微波技術(shù)提出新的課題。因而電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)理論將始終發(fā)揮著重要作用，且不斷擴(kuò)充其應(yīng)用領(lǐng)域。③、當(dāng)前，電磁場(chǎng)理論在一些前沿學(xué)科，例如：光纖通信、

超導(dǎo)研究、電子對(duì)抗、電磁兼容、生物電磁學(xué)、環(huán)境

電磁學(xué)等領(lǐng)域中，仍起著十分重要的作用。

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，電子、電氣系統(tǒng)獲得越來越廣泛的應(yīng)用。運(yùn)行中的電子、電氣設(shè)備大多伴隨著電磁能量的轉(zhuǎn)換，使得高密度、寬頻譜的電磁信息充滿整個(gè)人類的生存空間，構(gòu)成極其復(fù)雜的電磁環(huán)境，出現(xiàn)了電磁干擾和電磁污染，使電子系統(tǒng)受到嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，人類生存受到威脅。人們面臨的一個(gè)新問題就是如何提高電子系統(tǒng)在復(fù)雜電磁環(huán)境下正常運(yùn)行的能力，如何改善人類生存環(huán)境。

在這樣的背景下提出了電磁兼容的概念，逐漸形成了一門新學(xué)科——電磁兼容性（ElectromagneticCompatibility,簡(jiǎn)寫為EMC）。電子系統(tǒng)的電磁兼容性的分析、計(jì)算、試驗(yàn)都要用到大量的電磁場(chǎng)理論知識(shí)，應(yīng)用到電路的基礎(chǔ)知識(shí)，甚至生物醫(yī)學(xué)知識(shí)?？梢哉f，電磁兼容學(xué)科是電磁場(chǎng)學(xué)科和其他相關(guān)學(xué)科相結(jié)合而形成的新學(xué)科。生物電磁學(xué)也是與電磁場(chǎng)相關(guān)聯(lián)的一門新學(xué)科，它研究電磁場(chǎng)與生物系統(tǒng)的相互作用、相互影響的關(guān)系，電磁場(chǎng)與電磁波無疑是其討論的理論依據(jù)。

電磁波作為人類的先驅(qū)，作為地球的使者率先訪問了月球，然后才實(shí)現(xiàn)了人的登月。在人類目前尚不能進(jìn)入的茫茫宇宙空間，將電磁波作為尖兵打頭陣，為人們提供信息。電磁波也將作為科學(xué)發(fā)明的先驅(qū)，照亮科學(xué)與技術(shù)發(fā)展的前進(jìn)道路！例1：電子對(duì)抗（電子戰(zhàn)）⑴、定義：利用電磁能量、電磁頻譜進(jìn)行的軍事對(duì)抗，包括：①、電子偵察，利用衛(wèi)星、預(yù)警飛機(jī)②、電子攻擊，電磁干擾、電磁脈沖武器(高能電磁脈沖)、石墨炸彈、激光武器……③、電子防護(hù)，抗干擾技術(shù)⑵、1991年海灣戰(zhàn)爭(zhēng)（美、伊拉克）①、電磁干擾：美軍利用隱形飛機(jī)、巡航導(dǎo)彈首先摧毀了

伊軍的指揮通信系統(tǒng)，利用電磁干擾飛機(jī)發(fā)射強(qiáng)大的

電磁干擾信號(hào)，覆蓋了伊拉克軍用通訊信號(hào)的整個(gè)頻

段，使伊軍的通信設(shè)備完全癱瘓了，薩達(dá)姆最后下達(dá)

的停火命令都是由美軍傳達(dá)的。②、隱身技術(shù)：利用電磁波吸收、散射(外形、涂料)……，使雷達(dá)接收不到回波信號(hào)。龐大的B－2B轟炸機(jī)的雷達(dá)截面僅和天空中的一個(gè)小鳥相當(dāng)，以至于眼睛都看到飛機(jī)了，雷達(dá)還找不到。1997年我軍在臺(tái)灣海峽的軍事演習(xí)首次演習(xí)了電子戰(zhàn)，現(xiàn)在已經(jīng)具備了進(jìn)行電子戰(zhàn)的能力。

抗干擾技術(shù)，怎樣在強(qiáng)大的電磁干擾下保證通信的暢通：猝發(fā)通信、擴(kuò)頻通信、跳頻通信……,海灣戰(zhàn)爭(zhēng)以后，電子對(duì)抗技術(shù)又有了很大的發(fā)展。

海灣戰(zhàn)爭(zhēng)以后，電子對(duì)抗技術(shù)在世界上引起很大的震動(dòng)，我國(guó)也非常重視，投入很大的人力、物力進(jìn)行研究。例2：電磁兼容⑴、隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，越來越多的電子、電氣設(shè)備進(jìn)

入了我們生活和生產(chǎn)的各個(gè)領(lǐng)域，這些設(shè)備在正常運(yùn)行的同時(shí)也向外輻射電磁能量，可能對(duì)其他設(shè)備產(chǎn)生不良的影響，甚至造成嚴(yán)重的危害,這就是電磁干擾。

據(jù)統(tǒng)計(jì),全世界空間電磁能量平均每年增長(zhǎng)7～14％。

在有限的空間和有限的頻率資源條件下，由于各種電

子，電氣設(shè)備的數(shù)量與日俱增，使用的密集程度越來

越大，電磁干擾的嚴(yán)重性也就越來越突出。實(shí)例1：電吹風(fēng)對(duì)電視機(jī)的干擾，計(jì)算機(jī)對(duì)收音機(jī)的干擾。

B1轟炸機(jī)的機(jī)頭上裝有大量的電子設(shè)備，分離試驗(yàn)時(shí)這些設(shè)備都符合技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，把這些設(shè)備裝上機(jī)頭再測(cè)試，許多設(shè)備的性能大幅度下降，經(jīng)過專家們大量的試驗(yàn)和分析，發(fā)現(xiàn)是由于這些設(shè)備之間相互的電磁干擾造成的。實(shí)例3：民兵Ⅰ導(dǎo)彈的飛行故障。

民兵Ⅰ導(dǎo)彈進(jìn)行實(shí)彈飛行試驗(yàn)時(shí)，前兩次都失敗了，故障現(xiàn)象相似，都是在Ⅰ級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)前炸毀了，炸毀前，用于制導(dǎo)的計(jì)算機(jī)都受到了脈沖干擾。經(jīng)過分析和試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)故障是由于導(dǎo)彈飛行到一定高度時(shí)，在相互絕緣的彈頭和彈體之間發(fā)生了靜電放電，使導(dǎo)彈提前爆炸。實(shí)例2：美國(guó)研制B1轟炸機(jī)時(shí)電子設(shè)備之間的電磁干擾。

英國(guó)、阿根廷馬爾維納斯群島戰(zhàn)爭(zhēng)中(1982年)，英國(guó)謝菲爾德號(hào)導(dǎo)彈驅(qū)逐艦上的雷達(dá)和通信系統(tǒng)互相干擾，為了確保通信不受干擾而暫時(shí)關(guān)閉了本艦雷達(dá)，導(dǎo)致沒有及時(shí)發(fā)現(xiàn)來襲的飛魚導(dǎo)彈，造成艦毀人亡的后果。實(shí)例5：廣州白云機(jī)場(chǎng)的導(dǎo)航系統(tǒng)受到嚴(yán)重的干擾。

2002年1月20日,廣州白云機(jī)場(chǎng)由于附近無線尋呼臺(tái)發(fā)射機(jī)群信號(hào)的干擾（互調(diào)、帶外輻射），迫使導(dǎo)航系統(tǒng)關(guān)閉通信扇面，導(dǎo)致大量的飛機(jī)在空中盤旋等待，使九十多架航班延誤，6000多旅客滯留機(jī)場(chǎng)。美國(guó)航空無線電委員會(huì)(RTCA)也曾在一份文件中提到，一位旅客在飛機(jī)上使用調(diào)頻收音機(jī)使飛機(jī)導(dǎo)航系統(tǒng)的指示偏離10°以上＊。實(shí)例4：英國(guó)謝菲爾德號(hào)導(dǎo)彈驅(qū)逐艦的慘?、啤㈦姶偶嫒莸亩x

采用一定的技術(shù)手段，使同一電磁環(huán)境中的各種電子、電氣設(shè)備都能正常工作，并且不干擾其他設(shè)備的正常工作，這就是電磁兼容（英文：ElectromagneticCompatibility，縮寫為EMC)。在國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T4365-1995中對(duì)電磁兼容嚴(yán)格的定義是：設(shè)備或系統(tǒng)在其電磁環(huán)境中能正常工作且不對(duì)該環(huán)境中任何事物構(gòu)成不能承受的電磁騷擾的能力。⑶、電磁兼容研究的內(nèi)容

電磁兼容性學(xué)科研究的對(duì)象不僅限于各種電子、電氣設(shè)備，而且包括各種電磁環(huán)境（自然電磁干擾、核電磁脈沖、靜電放電、人為電磁輻射等）對(duì)人體的生態(tài)效應(yīng)，信息處理設(shè)備因電磁泄漏造成的泄密等等＊

。

可以看出：許多新技術(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展都與電磁理論的研究有關(guān)，有的專家指出：電磁場(chǎng)理論的研究是一個(gè)新技術(shù)的生長(zhǎng)點(diǎn)。電磁兼容性涉及的領(lǐng)域十分廣泛，通信、廣播電視、科學(xué)儀器、信息設(shè)備、航空、航天、機(jī)車、艦船、電力、軍工、醫(yī)療設(shè)備、計(jì)算機(jī)、家用電器等領(lǐng)域中都存在電磁干擾和電磁兼容性問題。3、電磁理論與電路的關(guān)系

我們專業(yè)的基礎(chǔ)課和專業(yè)基礎(chǔ)課可分為兩大類：

與路有關(guān)的課程：電路分析、模擬電路、數(shù)字電路、高頻電路，射頻電路設(shè)計(jì)……

這兩類課程都是研究電磁現(xiàn)象的，所用的方法不同：

與場(chǎng)有關(guān)的課程：電磁學(xué)、電磁場(chǎng)與電磁波、微波、天線、電波傳播、電磁兼容技術(shù)……

場(chǎng)的方法：利用麥克斯韋方程組，在給定的邊界條件和初始條件下，求解空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)量（E、B、W……)的變化規(guī)律（逐點(diǎn)研究某一系統(tǒng)中的電磁過程）。

路的方法：引入電壓、電流、電阻、電容、電感等概念，在某些條件下，利用等效電路來研究一個(gè)系統(tǒng)的電磁現(xiàn)象,R、C、L等系數(shù)是由媒質(zhì)的電磁參數(shù)（σ、ε、μ）確定的。例：①、在穩(wěn)恒、低頻的條件下（λ＞＞電路的尺寸，沿電路，電壓、電流的幅度、相位處處相等），電路

中的電阻可用等效電阻代替，電場(chǎng)的能量都是集中在電容器中,磁場(chǎng)的能量都集中在電感器中，R、C、L都是集中系數(shù)——可用電路的方法（電路分析、模擬電路）（也可用場(chǎng)的方法）②、對(duì)一些高頻、微波問題（λ與電路的尺寸L可比，或λ＜L），沿導(dǎo)線電感（如圖），不能用集中的電阻器、電容器、電感器代替，稱為分布電阻、分布電容、分布電感?？捎梅植枷禂?shù)電路*計(jì)算，而這些分布系數(shù)需要用場(chǎng)的方法計(jì)算——場(chǎng)和路的方法結(jié)合。

總之，“場(chǎng)”和“路”是研究電磁現(xiàn)象的兩種方法，對(duì)我們系的同學(xué)來說，都應(yīng)當(dāng)很好的掌握。三、學(xué)習(xí)方法1、數(shù)學(xué)工具：微分、積分、矢量分析、微分方程、數(shù)學(xué)物理方程。①、顯得理論性比較強(qiáng)；②、利用教學(xué)工具的能力在科研和工程設(shè)計(jì)中起著非常重要的作用，希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)電磁場(chǎng)課的過程中，提高利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的能力。③、研究天線、電波傳播、波導(dǎo)、諧振腔、光纖等問題，電

壓、電流等概念失去了確切的意義，只能用場(chǎng)的方法。

①、復(fù)習(xí)性內(nèi)容：大學(xué)物理中學(xué)過內(nèi)容（在電磁場(chǎng)理論中也是很重要的內(nèi)容），在本課程中不作為重點(diǎn)，但作為預(yù)備知識(shí)，要求熟悉，可參考大學(xué)物理教材復(fù)習(xí)。2、本書內(nèi)容可分為幾部分（把握重點(diǎn)）②、基本內(nèi)容：電磁場(chǎng)課程中的基本概念、基本方法。③、閱讀性內(nèi)容：擴(kuò)大知識(shí)面。④、第7章在微波技術(shù)課中講，其它章也有一些小節(jié)不講，以筆記為準(zhǔn)，認(rèn)真記筆記。3、評(píng)分方法

①、作業(yè)計(jì)入期末成績(jī)（要求平時(shí)按時(shí)完成）10%

②、實(shí)驗(yàn)10%

③、期末考試80%課程網(wǎng)址：鄭州大學(xué)主頁(yè)－－教務(wù)在線－－精品課程

－－省級(jí)精品課程：電磁場(chǎng)與電磁波第1章矢量分析1、單位矢量eR

：只表示矢量的方向，大小是1。1.1矢量運(yùn)算（參考高等數(shù)學(xué)書）點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式其中由源點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)。源點(diǎn)場(chǎng)點(diǎn)2、矢量加減法⑴、平行四邊形法則（或三角形法則）矢量加減法可以用平行四邊形法則如圖1.1所示

（或三角形法則圖1.2所示）⑵、分量式加減法也可以用分量分別相加減法，例如直角坐標(biāo)系中兩矢量分別為圖1.1平行四邊形法則圖1.2三角形法則相加為兩矢量的夾角兩矢量的點(diǎn)積含義：一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律用矢量的三個(gè)分量表示為A·B=AxBx+AyBy+AzBz

3、兩矢量的標(biāo)量積（點(diǎn)乘，結(jié)果是標(biāo)量,也稱為點(diǎn)積、標(biāo)積）：

A·B＝ABcosθ

（1.5

）

θ是A和B的夾角。4、兩矢量的矢量積（叉乘、叉積、矢積，結(jié)果是矢量）：

A×B＝C（1.6

）

方向?yàn)椋河沂侄▌t，該矢量垂直于原來兩個(gè)矢量組成的平面;大小為含義：矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合律：5、兩矢量的混合積:A

·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B）6、常用矢量變換式見附錄3，會(huì)查會(huì)用在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：xyzo兩矢量的夾角

1.2空間矢量

空間任一點(diǎn)可用一個(gè)矢量表示，由原點(diǎn)指向該點(diǎn)。

r

、r’稱為位置矢量。圖1.3由原點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)的距離矢量1.3矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng)

場(chǎng)：如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。換句話說，在某一空間區(qū)域中，物理量的無窮集合表示一種場(chǎng)。如在教室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場(chǎng)；在空間電位的分布確定了一個(gè)電位場(chǎng)。場(chǎng)的一個(gè)重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)，除有限個(gè)點(diǎn)和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)的。若該物理量與時(shí)間無關(guān)，則該場(chǎng)稱為靜態(tài)場(chǎng)；若該物理量與時(shí)間有關(guān)，則該場(chǎng)稱為動(dòng)態(tài)場(chǎng)或稱為時(shí)變場(chǎng)。

以電場(chǎng)為例：電場(chǎng)中每一點(diǎn)都可以定義一個(gè)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E1、E2…

(一一對(duì)應(yīng))，這些矢量的總和構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)E(x,y,z），矢量場(chǎng)可以用場(chǎng)線表示，例如：電力線……

以電場(chǎng)為例：電場(chǎng)中每一點(diǎn)都可以定義一個(gè)電位U1、U2…（）,這些標(biāo)量的總和構(gòu)成一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)U(x,y,z

)，標(biāo)量場(chǎng)可以用等值面表示，例如等位面U(x,y,z)＝常數(shù)。1、矢量場(chǎng)，

在許多物理系統(tǒng)中，其狀態(tài)不僅需要確定其大小，同時(shí)還需確定它們的方向，這就需要用一個(gè)矢量來描述，因此稱為矢量場(chǎng)，例如電場(chǎng)、磁場(chǎng)、流速場(chǎng)等等。2、標(biāo)量場(chǎng)

在研究物理系統(tǒng)中溫度、壓力、密度等在一定空間的分布狀態(tài)時(shí)，數(shù)學(xué)上只需用一個(gè)代數(shù)變量來描述，這些代數(shù)變量(即標(biāo)量函數(shù))所確定的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)，如溫度場(chǎng)T(x,y,z)、電位場(chǎng)φ(x,y,z)等。1.4三種常用的正交坐標(biāo)系1、直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系中三個(gè)相互正交的單位矢量是、、，滿足如下的關(guān)系

任一矢量A在直角坐標(biāo)系中可以表示為直角坐標(biāo)系中的位置矢量為與三個(gè)坐標(biāo)方向相垂直的三個(gè)面積元分別為直角坐標(biāo)系中的體積元為

圖1.4直角坐標(biāo)系中長(zhǎng)度元、面積元、體積元微分線元為2、圓柱坐標(biāo)系

圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量是r、φ、z，它們的變化范圍分別是0≤r＜∞，0≤φ≤2π，－∞＜z

＜∞

空間任一點(diǎn)P的位置可以用圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)變量(r,φ,z)來表示，如圖所示。其中，r是位置矢量OP在xy面上的投影，φ是從+x軸到位置矢量OP在xy面上的投影之間圓柱坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)圖1-4圓柱坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影2、圓柱坐標(biāo)系的夾角，z是OP在z軸上的投影。由圖1-4可以看出，圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為

圓柱坐標(biāo)系中三個(gè)相互正交的單位矢量是、、，滿足如下的關(guān)系（、不是常矢量，因?yàn)樗鼈兊姆较螂S空間位置的變化而變化，或因?yàn)閷?duì)于不同的點(diǎn)，、有不同的方向，這同直角坐標(biāo)系不同

）

圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為或

圖1.5圓柱坐標(biāo)系中長(zhǎng)度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系中的單位矢量與圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量的換算關(guān)系：或而且（和是如何跟隨變化的）直角坐標(biāo)系中的矢量A可以利用下式換算為圓柱坐標(biāo)系中的矢量

同樣，可以利用（1.31）式中變換矩陣的逆矩陣把圓柱坐標(biāo)系中的矢量A換算為直角坐標(biāo)系中的矢量例題1.1將矢量變換到直角坐標(biāo)系中。

解：利用（1.32）式可得

或再由（1.22）和（1.23）得

所以任一矢量A在圓柱坐標(biāo)系中可以表示為

圓柱坐標(biāo)系中的位置矢量為

其中不顯含φ分量，已包含在的方向中。微分線元為

圖1.5圓柱坐標(biāo)系中長(zhǎng)度元、面積元、體積元可以看出，在r、φ、z增加方向上的微分元分別為dr、rdφ、dz，如圖1.5所示。如圖1.5所示。圓柱坐標(biāo)系中的體積元為圓柱坐標(biāo)系中與三個(gè)坐標(biāo)方向相垂直的三個(gè)面積元分別為球坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量是r、θ、φ，它們的變化范圍分別是

0≤r＜∞，0≤θ≤π，0≤φ≤2π

球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為

或球坐標(biāo)系中三個(gè)相互正交的單位矢量是、、，滿足如下的關(guān)系

直角坐標(biāo)系中的單位矢量與球坐標(biāo)系中的單位矢量的換算關(guān)系：

球坐標(biāo)系中的單位矢量都不是常矢量：或

直角坐標(biāo)系中的矢量A可以利用下式換算為球坐標(biāo)系中的矢量

同樣，可以利用上式中變換矩陣的逆矩陣把球坐標(biāo)系中的矢量A換算為直角坐標(biāo)系中的矢量

任一矢量A在球坐標(biāo)系中可以表示為

球坐標(biāo)系中的位置矢量為

圖1.6球坐標(biāo)系中長(zhǎng)度元、面積元、體積元可以看出，在r、θ、φ增加方向

上的微分元分別為dr、rdθ、

rsinθdφ，如圖1.6所示。微分線元為其中不顯含θ分量和φ分量，已包含在的方向中。沿r、θ和φ方向的長(zhǎng)度增量分別為dlr=dr,dlθ=rdθ,dlφ=rsinθdφ球坐標(biāo)系中的體積元為球坐標(biāo)系中與三個(gè)坐標(biāo)方向

相垂直的三個(gè)面積元分別為

用矢量表示

的取法(指向)有兩種情形:對(duì)開曲面上的面元,設(shè)這個(gè)開曲面是由封閉曲線l所圍成的,則當(dāng)選定繞行l(wèi)的方向后,沿繞行方向按右手1.5矢量的微分1.5.1矢量場(chǎng)的散度，散度定理。1、矢量的通量面元矢量為其中是面元的單位法線矢量。面元大小與面元垂直的單位矢量圖法線方向的取法開曲面上的面元螺旋的姆指方向就是的方向,如圖a所示;

對(duì)封閉曲面上的面元,取為封閉面的外法線方向，如圖b所示。閉曲面上的面元圖

開曲面上

如果S是一個(gè)閉曲面，則如圖1.7所示。圖1.7矢量場(chǎng)穿過面元通量

因此矢量場(chǎng)A穿過整個(gè)曲面S的通量為2、矢量場(chǎng)的散度。⑴、穿過閉合曲面的通量及其物理意義如圖1.8所示，在矢量場(chǎng)A中，圍繞某一點(diǎn)P作一閉合曲面S，法線方向向外，則

若φ>0，則流出S面的通量大于流

入的通量，即通量由S面內(nèi)向外擴(kuò)散，

說明S面內(nèi)有正源，如圖1.9所示。

圖1.8矢量場(chǎng)穿過閉合曲面S的通量圖1.9通量由S面內(nèi)向外擴(kuò)散是矢量A穿過閉合曲面S的通量或發(fā)散量。這說明S內(nèi)必定有矢量場(chǎng)的源;

若Φ=0，則流入S面的通量等于流出

的通量，說明S面內(nèi)無源，如圖1.8所示。

若Φ<0，則流入S面的通量大于流出

的通量，即通量向S面內(nèi)匯集，說明S面內(nèi)

有負(fù)源，如圖1.10所示。圖1.10通量向S面內(nèi)匯集圖1.8矢量場(chǎng)穿過閉合曲面S的通量說明電通量由S面內(nèi)向外擴(kuò)散說明電通量向S面內(nèi)匯集⑵、散度的定義

在矢量場(chǎng)A中，設(shè)閉合曲面S包圍的體積為ΔV，則為ΔV內(nèi)的平均發(fā)散量，令ΔV→0，就得到矢量場(chǎng)在P點(diǎn)的發(fā)散量或散度，記作：divA或▽·A，即可以看出，矢量（場(chǎng)）的散度是一個(gè)標(biāo)量（場(chǎng)）a.定義：矢量場(chǎng)中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。=0(正源)?

A=0(負(fù)源)φ>0Φ<0Φ=0⑶、散度的表達(dá)式②、在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中，P345

在圓柱坐標(biāo)系中

在球坐標(biāo)系中哈密頓算符為A散度3.散度定理（高斯定理）（證明P17）

矢量場(chǎng)A通過任一閉合曲面S的通量等于它所包圍的體積V內(nèi)A的散度的體積分，即：例：電場(chǎng)的高斯定理（積分形式）

利用散度定理，可以把面積分變?yōu)轶w積分，也可以把體積分變?yōu)槊娣e分；可以把麥克斯韋方程組中電場(chǎng)的高斯定理和磁場(chǎng)的高斯定理由體積分形式寫為微分形式。電場(chǎng)的高斯定理的微分形式穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。例題1.2已知矢量，對(duì)中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體驗(yàn)證散度定理在直角坐標(biāo)系中計(jì)算，▽·r(r)則有若在球坐標(biāo)系里計(jì)算，則P244證明矢量場(chǎng)的散度與坐標(biāo)的選擇無關(guān)。解：由于在球坐標(biāo)內(nèi)，A(r)=r(r)＝err，r＝a的球面上各點(diǎn)的矢量為A(a)=

r(a)＝er

a，其大小處處相等，而球面上的面元矢量dS＝erdS，所以例題：矢量場(chǎng)A(r)＝r或r(x，y，z)，計(jì)算A(r)穿過一個(gè)球心在圓點(diǎn)，半徑為a的球面的通量；并計(jì)算此矢量場(chǎng)的散度▽

·r(r)。r(a)＝eraA(r)＝er通量:1.5.2矢量場(chǎng)的旋度，斯托克斯定理1、矢量的環(huán)流：矢量場(chǎng)A沿閉合回路L的線積分稱為環(huán)流。若ΓA≠0，則矢量場(chǎng)為渦旋場(chǎng)，場(chǎng)線是連續(xù)的閉合曲線。若ΓA＝0，

則矢量場(chǎng)A為無旋場(chǎng)，可以引入位的概念。所以

設(shè)有矢量場(chǎng)A，l為場(chǎng)中的一條封閉的有向曲線，定義矢量場(chǎng)A環(huán)繞閉合路徑l的線積分為該矢量的環(huán)量場(chǎng)線是渦旋的場(chǎng)線是發(fā)散的2、矢量場(chǎng)的旋度⑴、定義：設(shè)閉合回路L所圍的面積為△S，

其法線矢量n與L構(gòu)成右手關(guān)系，則為矢量場(chǎng)A

在△S內(nèi)沿n方向的平均渦旋量，令△S→0（△S

收縮成一個(gè)點(diǎn)P）就得到矢量場(chǎng)A在P點(diǎn)處沿n

方向的渦旋量該極限值與S

的形狀無關(guān)，但與S的方向n有關(guān)。稱為矢量場(chǎng)A在P

點(diǎn)沿n方向的環(huán)流密度這個(gè)極限的意義就是環(huán)流密度,或稱環(huán)量強(qiáng)度。

由于面元是有方向的,它與封閉曲線l的繞行方向成右手螺旋關(guān)系,因此在給定點(diǎn)處,上述極限值對(duì)于不同的面元是不同的。

為此,引入如下定義,稱為旋度(curl或rotation):

可見,矢量A的旋度是一個(gè)矢量,其大小是矢量A在給定點(diǎn)處的最大環(huán)流密度,其方向就是當(dāng)面元的取向使環(huán)量面密度最大時(shí),該面元矢量的方向。

它描述A在該點(diǎn)處的旋渦源強(qiáng)度。

若某區(qū)域中各點(diǎn),稱A為無旋場(chǎng)或保守場(chǎng)。旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。用表示。單位面積的環(huán)量矢量場(chǎng)與環(huán)路之間的夾角決定大小例：一導(dǎo)線載有電流I，在導(dǎo)線周圍產(chǎn)生的磁場(chǎng)H，如圖1.14所示,任取一環(huán)路L，∴旋度（單位面積的環(huán)量）是一個(gè)矢量，大?。篜點(diǎn)處(rot)nA環(huán)量密度正的最大值；方向：P點(diǎn)處(rot)nA取正的最大值時(shí)的方向。圖1.14載流導(dǎo)線的磁場(chǎng)環(huán)量密度矢量場(chǎng)與環(huán)路之間的夾角決定大?、?、旋度的表達(dá)式：②、在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中P345。3、斯托克斯定理：矢量場(chǎng)沿任意閉合回路上的環(huán)量等于以L為邊界的曲面S上的旋度的積分。⑶、旋度的一個(gè)重要性質(zhì)證明：在直角坐標(biāo)系中矢量場(chǎng)旋度的散度恒為零,即旋度有兩個(gè)重要的性質(zhì)：（1）矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零，

（2）標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零，因?yàn)樾却韱挝幻娣e的環(huán)量，因此矢量場(chǎng)在閉合曲線L上的環(huán)量等于閉合曲線L所包圍曲面S上旋度的總和。例：磁場(chǎng)的環(huán)路定理：的環(huán)路定理(法拉第電磁感應(yīng)定律)解：如圖1.17所示，在球坐標(biāo)系內(nèi)，半球面上的面元矢量為dS

=err2

sinθdθdφ，在直角坐標(biāo)系中，A的旋度為

例1.3(P22)：已知矢量場(chǎng)，對(duì)半球面驗(yàn)證斯托克斯定理。

半球面S的邊界是xy平面內(nèi)的圓x2

+y2

＝1，邊界上的線元dl＝exdx＋eydy，沿邊界的環(huán)流為

1.5.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)u(x,y,z)的等值面方程為圖標(biāo)量場(chǎng)的等值面

曲面上的各點(diǎn),雖然坐標(biāo)不同,但函數(shù)值相等.a.方向?qū)?shù)：空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。為最大的方向?qū)?shù)。b.梯度定義：標(biāo)量場(chǎng)中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)，其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在等值面的法線方向。數(shù)學(xué)表達(dá)式：1.5.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度，

例：對(duì)于電場(chǎng)，空間各點(diǎn)的電位

構(gòu)成一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，任選兩個(gè)等位面

，

，如圖1.18所示，可以看出沿不同的方梯度方向：指向標(biāo)量增加率最大的方向(等值面的法線方向)。

梯度數(shù)值：該方向上標(biāo)量的增加率。1、定義：標(biāo)量（場(chǎng)）的梯度是一個(gè)矢量（場(chǎng)），表示某一

點(diǎn)處標(biāo)量場(chǎng)的變化率，向，

的變化率不同，

為

增大方向等位面的法線矢量，為任意方向?？梢钥闯觯?/p>

圖1.18電位的變化率2、梯度的表達(dá)式

（1）在直角坐標(biāo)系中，因此沿

方向，

的變化率最大。根據(jù)定義電位

的梯度為（2）在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中P3453、梯度的一個(gè)重要性質(zhì)

根據(jù)這一性質(zhì)，若一矢量場(chǎng)的旋度處處為0，則可以引入標(biāo)量位。即▽×A＝0，A可以寫為A＝－▽u1.6亥姆霍茲定理：時(shí)變電場(chǎng)、時(shí)變磁場(chǎng)：自己寫