第5章-樣本及其分布(數(shù)應(yīng))

第五章樣本及其分布機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五章樣本及其分布簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本抽樣分布

5.1簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本研究某批燈泡的質(zhì)量一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題總有它明確的研究對(duì)象.研究對(duì)象的全體稱為總體(母體),總體中每個(gè)成員稱為個(gè)體.總體與個(gè)體機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束…總體然而在統(tǒng)計(jì)研究中,人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心其每個(gè)個(gè)體的一項(xiàng)(或幾項(xiàng))數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布情況.這時(shí),每個(gè)個(gè)體具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體.某批燈泡的壽命該批燈泡壽命的全體就是總體國(guó)產(chǎn)轎車每公里的耗油量國(guó)產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體就是總體機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由于每個(gè)個(gè)體的出現(xiàn)是隨機(jī)的,所以相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)的出現(xiàn)也帶有隨機(jī)性.從而可以把這種數(shù)量指標(biāo)看作一個(gè)隨機(jī)變量,因此隨機(jī)變量的分布就是該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布.這樣,總體就可以用一個(gè)隨機(jī)變量及其分布來(lái)描述.

若用表示總體的個(gè)指標(biāo),它是一個(gè)維隨機(jī)變量,其分布函數(shù)是,則稱該總體為具有分布函數(shù)的總體.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

而概率分布正是刻劃這種集體性質(zhì)的適當(dāng)工具.因此在理論上可以把總體與概率分布等同起來(lái).

從另一方面看,統(tǒng)計(jì)的任務(wù),

是根據(jù)從總體中抽取的樣本,去推斷總體的性質(zhì).

由于我們關(guān)心的是總體中的個(gè)體的某項(xiàng)指標(biāo)(如人的身高、體重,燈泡的壽命,汽車的耗油量…),所謂總體的性質(zhì),無(wú)非就是這些指標(biāo)值的集體的性質(zhì).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

例如:

研究某批燈泡的壽命時(shí),關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命,那么,此總體就可以用隨機(jī)變量X表示,或用其分布函數(shù)F(x)表示.某批燈泡的壽命總體壽命X可用一概率分布來(lái)刻劃

鑒于此,常用隨機(jī)變量的記號(hào)或用其分布函數(shù)表示總體.如說(shuō)總體X或總體F(x).F(x)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

類似地,在研究某地區(qū)中學(xué)生的營(yíng)養(yǎng)狀況時(shí),若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重,我們用X和Y分別表示身高和體重,那么此總體就可用二維隨機(jī)變量(X,

Y)或其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,

y)來(lái)表示.

統(tǒng)計(jì)中,總體這個(gè)概念的要旨是:

總體就是一個(gè)概率分布.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束為推斷總體分布及各種特征,按一定規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察試驗(yàn),以獲得有關(guān)總體的信息,這一抽取過(guò)程稱為“抽樣”,所抽取的部分個(gè)體稱為樣本.

樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本容量.樣本從國(guó)產(chǎn)轎車中抽5輛進(jìn)行耗油量試驗(yàn)樣本容量為5機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

但是,一旦取定一組樣本,得到的是n個(gè)具體的數(shù)(X1,

X2,…,

Xn),稱為樣本的一次觀察值,簡(jiǎn)稱樣本值.樣本是隨機(jī)變量.抽到哪5輛是隨機(jī)的容量為n的樣本可以看作n維隨機(jī)變量.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.獨(dú)立性:X1,

X2,

…,

Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.由于抽樣的目的是為了對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷,為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息,必須考慮抽樣方法.最常用的一種抽樣方法叫作“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”,它要求抽取的樣本滿足下面兩點(diǎn):1.代表性:X1,

X2,

…,

Xn中每一個(gè)與所考察的總體有相同的分布.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,它可以用與總體獨(dú)立同分布的n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,

X2,

…,

Xn表示.簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形,今后,當(dāng)說(shuō)到“X1,

X2,

…,

Xn是取自某總體的樣本”時(shí),若不特別說(shuō)明,就指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)總體X的分布為F(x),則其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(X1,

X2,

…,

Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)總體X是離散型時(shí),其分布律為樣本的聯(lián)合分布律為當(dāng)總體X是連續(xù)型時(shí),X~f(x),則樣本的聯(lián)合密度為事實(shí)上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值.如我們從某班大學(xué)生中抽取10人測(cè)量身高,得到10個(gè)數(shù),它們是樣本取到的值而不是樣本.我們只能觀察到隨機(jī)變量取的值而見不到隨機(jī)變量.總體、樣本、樣本值的關(guān)系機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束總體(理論分布)?樣本樣本值統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料--樣本值,去推斷總體的情況---總體分布F(x)的性質(zhì).總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律,也就是樣本取到樣本值的規(guī)律,因而可以由樣本值去推斷總體.樣本是聯(lián)系二者的橋梁機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例設(shè)(X1,

X2,

…,

Xn)為X的一個(gè)樣本,求(X1,

X2,

…,

Xn)的密度函數(shù).解(X1,

X2,

…,

Xn)為X的一個(gè)樣本,故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例設(shè)某電子產(chǎn)品的壽命X服從指數(shù)分布,密度函數(shù)(X1,

X2,

…,

Xn)為X的一個(gè)樣本,求其密度函數(shù).解因?yàn)?X1,

X2,

…,

Xn)為X的一個(gè)樣本,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解例某商場(chǎng)每天客流量X服從參數(shù)為

的泊松分布,求其樣本(X1,

X2,

…,

Xn)的聯(lián)合分布律.

由樣本值去推斷總體情況,需要對(duì)樣本值進(jìn)行“加工”,這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的(某一方面)的信息集中起來(lái).

統(tǒng)計(jì)量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(X1,

X2,

…,

Xn)g(X1,

X2,

…,

Xn)其中g(shù)(x1,

x2,

…,

xn)是(x1,

x2,

…,

xn)的連續(xù)函數(shù).如果g(X1,

X2,

…,

Xn)中不含有未知參數(shù),稱g(X1,

X2,

…,

Xn)為統(tǒng)計(jì)量.(不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù))如未知,(X1,

X2,

…,

Xn)為X的一個(gè)樣本均為統(tǒng)計(jì)量不是統(tǒng)計(jì)量均為統(tǒng)計(jì)量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若

已知,

未知,(X1,

X2,

…,

X5)為X的一個(gè)樣本幾個(gè)常見統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本方差它反映了總體均值的信息它反映了總體方差的信息機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩

k=1,

2,

…它反映了總體k階矩的信息它反映了總體k階中心矩的信息機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5.2抽樣分布

統(tǒng)計(jì)量既然是依賴于樣本的,而后者又是隨機(jī)變量,故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量,因而就有一定的分布,這個(gè)分布叫做統(tǒng)計(jì)量的“抽樣分布”.

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

抽樣分布就是通常的隨機(jī)變量函數(shù)的分布.

只是強(qiáng)調(diào)這一分布是由一個(gè)統(tǒng)計(jì)量所產(chǎn)生的.

研究統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)和評(píng)價(jià)一個(gè)統(tǒng)計(jì)推斷的優(yōu)良性,完全取決于其抽樣分布的性質(zhì).抽樣分布精確抽樣分布漸近分布(小樣本問(wèn)題中使用)(大樣本問(wèn)題中使用)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

—分布構(gòu)造

統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用到如下三個(gè)分布:

—分布、—分布和—分布.

設(shè),則稱為自由度為的—分布.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

統(tǒng)計(jì)三大分布-分布的密度函數(shù)曲線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

卡方分位點(diǎn)設(shè),若對(duì)于存在,滿足則稱為分布的上分位點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束卡方分布性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若a.分布可加性獨(dú)立,則b.期望與方差若,則例,(X1,

X2,

X3)為X的一個(gè)樣本求的分布.解因?yàn)?X1,

X2,

X3)為X的一個(gè)樣本Xi~N(0,1),i=1,

2,

3則i=1,

2,

3機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束t

分布構(gòu)造若,與獨(dú)立,則稱為自由度為的分布.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的概率密度為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)的極限為的密度函數(shù),即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束t分布性質(zhì)(1)關(guān)于(縱軸)對(duì)稱.

t分布分位點(diǎn),則稱為的

分位點(diǎn).設(shè),若對(duì)存在,滿足注:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例(X1,

X2,

X3)為X的一個(gè)樣本,求的分布.i=1,

2,

3解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束稱為第一自由度為

,

第二自由度為

的分布,其概率密度為若獨(dú)立,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束F分布構(gòu)造對(duì)于,若存在,滿足,則稱為

的

分位點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束F分布的分位點(diǎn)注:得證!證明:設(shè),則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1(樣本均值的分布)設(shè)X1,

X2,…,

Xn是取自正態(tài)總體的樣本,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

抽樣分布定理

n取不同值時(shí)樣本均值的分布機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

定理2(樣本方差的分布)設(shè)X1,

X2,

…,

Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束n取不同值時(shí)的分布機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

定理3設(shè)X1,

X2,

…,

Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理4(兩總體樣本均值差的分布)

分別是這兩個(gè)樣本的且X與Y獨(dú)立,X1,

X2,

…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差,均值,則有Y1,

Y2,

…,是樣本機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若假設(shè),則其中稱為混合樣本方差.定理5(兩總體樣本方差比的分布)

分別是這兩個(gè)樣本的且X與Y獨(dú)立,X1,X2,

…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差,均值,則有Y1,

Y2,

…,是樣本機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例設(shè)總體X~N(10,

32),(X1,

X2,

…,

X6)是它的一個(gè)樣本,設(shè) ,(1)寫出Z所服從的分布;(2)求P(Z>11).解(X1,

X2,

…,

X6)是X~N(10,

32)的樣本,因此Xi~N(10,

32),且Xi相互獨(dú)立,i=1,

2,

…,

6,所以機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束直方圖基本步驟:

樣本分組、確定組距、確定組限、統(tǒng)計(jì)頻率、畫直方圖機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束為研究某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力,隨機(jī)調(diào)查了20位工人某天生產(chǎn)的該產(chǎn)品的數(shù)量,數(shù)據(jù)如下:160,196,164,148,170,175,178,166,181,162,161,168,166,162,172,156,170,157,162,154.建立該批數(shù)量的頻數(shù)頻率分布表.過(guò)程：(1)確定樣本分組數(shù)k,通常組數(shù)5-10組,組數(shù)主要取決于樣本容量.樣本容量n<=50,組數(shù)5.n>50,組數(shù)增加.本例k=5(2)確定各組組距d各組區(qū)間長(zhǎng)度:組距.一般各組組距相同(也可不同)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方便起見,取d=10(3)確定每組組限分組區(qū)間:(147,157],(157,167],(16