第9章 法方程解算方法與平差應(yīng)用實(shí)例

第9章法方程解算方法與平差應(yīng)用實(shí)例

介紹法方程未知數(shù)及其函數(shù)、法方程系數(shù)陣行列式和逆矩陣的解算方法，及其在測(cè)量平差中的應(yīng)用。本章主要內(nèi)容

退出逆矩陣原位替換快速解算方法法方程原位替換快速解算方法條件平差計(jì)算表格及其應(yīng)用間接平差計(jì)算表格及其應(yīng)用第一節(jié)法方程原位替換快速解算方法

授課目的要求:明確用三角分解法解法方程的基本原理，掌握在緊湊格式中解法方程未知數(shù)及其函數(shù)的方法。

重點(diǎn)、難點(diǎn):在法方程解算的緊湊格式中求解方程未知數(shù)及其函數(shù)。本次課主要內(nèi)容：

一、正定矩陣的三角分解

二、具有正定系數(shù)陣的法方程及其函數(shù)的解算

設(shè)法方程的系數(shù)陣為正定矩陣，即：

（1）

將N分解為下三角陣L與其轉(zhuǎn)置矩陣的乘積，即

（2）

式中

（3）

分解式又可表示為：

一、正定矩陣的三角分解

（4）

用比較法可得：

（5）

當(dāng)i=1時(shí)，有

（6）

顧及（6）式對(duì)（5）式歸納整理可得

其中(8)

(7)

1.求法方程的未知數(shù)2.求法方程未知數(shù)的函數(shù)3.法方程未知數(shù)及其函數(shù)解的緊湊格式4.算例二、具有正定系數(shù)陣的法方程及其函數(shù)的解算

設(shè)法方程為：或

(9)

其中N陣正定

(10)

(11)

將（2）式代入（9）式得：

(12)

令

(13)

(14)

則有

(15)

將（3）式、（14）式和（11）式代入（15）式，并用比較法可解得

1.求法方程未知數(shù)（i=1，2，…，t）(16)

顧及（6）式、（7）式和（8）式對(duì)（16）式歸納整理得

（i=1，2，…，t）(17)

其中

(18)

將（3）式、（14）式和（10）式代入（13）式，并用比較法得：

(19)

顧及（7）式、（17）式和（18）式對(duì)（19）式歸納整理可得：

(20)

當(dāng)i=t

時(shí)有：

(21)

設(shè)法方程未知數(shù)的函數(shù)為：

(22)

將（21）式和（20）式依次代入上式并歸納整理得：

(23)

其中

(24)

當(dāng)（22）式中fi=ui

(i=1,2,...,t)時(shí)，又可得：

(25)

2.求法方程未知數(shù)的函數(shù)

3.法方程未知數(shù)及其函數(shù)解的緊湊格式

利用（21）式和（20）式可求得法方程未知數(shù)，利用（23）式和（25）式可求得法方程未知數(shù)的函數(shù)值，這些計(jì)算均可在“緊湊格式”表1中進(jìn)行。

表1線性對(duì)稱方程組解算的緊湊格式

12…t

當(dāng)時(shí)，表1中所在的行可以略去。若未知數(shù)的函數(shù)不只一個(gè),則每增加一個(gè)函數(shù)在表1中增加一行,填入相應(yīng)和的值，按計(jì)算F的方法計(jì)算即可。

已知法方程

未知數(shù)函數(shù)式為：

按法方程解算的“緊湊格式”求xi(i=1,2,3,4)和F之值。

表2法方程解算的緊湊格式

()

x1=

()

(

)

x2=(

)

(

)

()x3=

()()

()()x4=()()

()()()4.02.017.0

1.0

2.5

4.5

2.0

5.03.07.0

1.0-17.50.0-7.036.04.算例

(4.0)

x1=

(2.0)

(17.0

)

x2=(

1.0)

(2.5

)(4.5)x3=

(2.0)(5.0)

(3.0)(7.0)x4=(1.0)(-17.5)

(0.0)(-7.0)(36.0)線性方程組解算求逆1線性方程組解算求逆2作業(yè):

第九章習(xí)題8返回第二節(jié)

逆矩陣原位替換快速解算方法

授課目的要求:明確逆矩陣原位替換快速解算的基本原理，掌握其求解的方法步驟。

重點(diǎn)、難點(diǎn):在緊湊格式中求逆的方法步驟。本次課主要內(nèi)容：

經(jīng)典矩陣求逆法回顧

一、正定矩陣三角分解求逆法概述

二、求矩陣的分解下三角陣的逆陣

三、利用分解下三角陣的逆陣求原矩陣的逆陣

四、正定矩陣三角分解求逆的緊湊格式

五、算例六、課堂練習(xí)

計(jì)算矩陣N的逆陣

由公式

1.計(jì)算代數(shù)余子式經(jīng)典矩陣求逆法回顧

2.計(jì)算矩陣N的行列式

3.計(jì)算矩陣N的逆陣

此方法采用矩陣三角分解原理，將矩陣表達(dá)為分解下三角陣與其轉(zhuǎn)置陣的乘積，利用分解下三角陣的求逆結(jié)果求得原矩陣的逆陣。矩陣求逆分三步進(jìn)行：第一步求約化系數(shù)，第二步求下三角陣的逆陣，第三步求原矩陣的逆陣。每一步計(jì)算均采用原位替換求解法，即將矩陣中不同位置的元素表達(dá)為相應(yīng)位置的位置函數(shù)值，每一步計(jì)算是用新的位置函數(shù)值替換相應(yīng)位置的原有位置函數(shù)值，最終將原矩陣中各位置的元素替換為其逆矩陣中相應(yīng)位置的元素。求逆公式簡(jiǎn)單，利于編程，節(jié)省所需內(nèi)存空間。此矩陣求逆方法可用于法方程解算，各種協(xié)因數(shù)陣的計(jì)算，方差分量估計(jì)，測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)，粗差探測(cè)，可靠性估計(jì)等測(cè)繪數(shù)據(jù)處理和精度估計(jì)之中。

一、正定矩陣三角分解求逆法概述

設(shè)

(1)

(2)

由LC=I（單位陣），即(3)

用比較法可得L陣的逆陣C的全部元素，即

二、求矩陣N的分解下三角陣L的逆陣

(4)

將代入（4）式得：(5)

三、利用分解下三角陣L的逆陣C求N的逆陣對(duì)（1）式求逆可得：

設(shè)

用比較法可得計(jì)算Q陣中下三角諸元素的公式，即

(6)

四、正定矩陣三角分解求逆的緊湊格式

利用約化系數(shù),可在“緊湊格式”表3中求得L陣的逆陣C。表3求L

陣逆陣C的緊湊格式

1.求分解下三角矩陣L的逆陣C的緊湊格式

利用C陣的元素可在緊湊格式表4中求得矩陣Q的下三角諸元素

表4求Q

陣下三角元素的緊湊格式

2.利用下三角陣L的逆陣C計(jì)算N的逆陣Q的緊湊格式

五、算例

求下述線性方程組系數(shù)陣的逆陣

解：（1）利用上次課例題解方程過程中求出的約化系數(shù)求N陣下三角陣L的逆陣C的諸元素，見表5。表5求L陣逆陣C的緊湊格式

(

)

(

)

()

()

()()()

()()()4.02.0

1.0

2.016.0

2.0

4.04.02.04.0

（2）利用C陣中的諸元素在“緊湊格式”表4中求Q陣的下三角部分見表6。

表6求Q陣下三角部分諸元素的緊湊格式

(

)

(

)()

()

()()()

()()()0.500

-0.125

0.250

-0.094-0.0620.500

-0.140-0.094-0.2500.500..\矩陣運(yùn)算器.exe線性方程組解算求逆1線性方程組解算求逆2

解方程過程中已求出約化系數(shù)陣為試求方程組系數(shù)陣的逆陣Q。設(shè)線性對(duì)稱方程組的系數(shù)矩陣為：課堂練習(xí)

作業(yè):

第九章習(xí)題10返回第三節(jié)條件平差應(yīng)用實(shí)例

授課目的要求:熟悉條件平差的計(jì)算表格，掌握條件平差計(jì)算表格的使用方法重點(diǎn)、難點(diǎn):條件平差計(jì)算表格的使用方法。

一、條件平差公式復(fù)習(xí)

二、條件平差的計(jì)算表格及其使用三、算例本次課主要內(nèi)容：

法方程：平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)計(jì)算式：

令

上式兩端同乘以，并移項(xiàng)得：

再令則有

將其解

代入平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)計(jì)算式得

一、條件平差公式復(fù)習(xí)

已知條件平差的函數(shù)模型為：

式中

為評(píng)定平差問題中某量的精度，所列立的權(quán)函數(shù)式為：

二、條件平差的計(jì)算表格及其使用

式中

依據(jù)上述有關(guān)數(shù)據(jù)可編制條件方程及權(quán)函數(shù)系數(shù)表見表1。

表1

條件方程及權(quán)函數(shù)系數(shù)表觀測(cè)序號(hào)

ai

bi

...

ri

fi

1/pi

vi

1

a1

b1

...

r1

f1

1/p1

v1

2

a2

b2

...

r2

f2

1/p2

v2┆┆┆┆┆┆┆

┆

n

an

bn...

rn

fn

1/pn

vn

椐表1中的數(shù)據(jù)，便可計(jì)算法方程

NK+W=0（轉(zhuǎn)換系數(shù)方程N(yùn)aaq+fe=0）的系數(shù)nji和轉(zhuǎn)換系數(shù)方程中的常數(shù)項(xiàng)

fei

,以及平差值函數(shù)的權(quán)倒數(shù)計(jì)算式

中的

將上述計(jì)算結(jié)果填寫在編制好的法方程（轉(zhuǎn)換系數(shù)方程）及其函數(shù)解算表2中（每計(jì)算一個(gè)填寫一個(gè)，依次計(jì)算填寫）。

表1

條件方程及權(quán)函數(shù)系數(shù)表觀測(cè)序號(hào)

ai

bi

...

ri

fi

1/pi

vi

1

a1

b1

...

r1

f1

1/p1

v1

2

a2

b2

...

r2

f2

1/p2

v2┆┆┆┆┆┆┆

┆

n

an

bn...

rn

fn

1/pn

vn表2

法方程未知數(shù)及其函數(shù)解算表表中后兩行分別是函數(shù)

中未知數(shù)Ki和qi(i=a,b,…,r)的系數(shù)及函數(shù)式中的常數(shù)項(xiàng)。

上表填寫完畢后，即可在表2中求解Ki(i=a,b,…,r)、-VTPV及

，計(jì)算結(jié)果填于表2中相應(yīng)元素的右邊如表3所示。

表3法方程及其函數(shù)解算表

求得聯(lián)系數(shù)Ki(i=a,b,...,r)后按在表1中求改正數(shù)vi,按求得并按公式，

求得單位權(quán)中誤差和平差值函數(shù)的中誤差。

例題如下圖所示水準(zhǔn)網(wǎng)，已知A點(diǎn)的高程為：觀測(cè)高差及路線長(zhǎng)度如圖中所示。試按條件平差法求未知點(diǎn)高程平差值及最弱點(diǎn)高程平差值的中誤差。

解：1.列立條件式和權(quán)函數(shù)式

本問題中

n=5，t=3，

r=n-t=2，條件方程式為：

改正數(shù)條件方程：最弱點(diǎn)平差值函數(shù)式為：

權(quán)函數(shù)式為：

2.建立條件方程系數(shù)及權(quán)函數(shù)系數(shù)表

取1公里水準(zhǔn)觀測(cè)高差為單位權(quán)觀測(cè)值(也可另取它值，要看計(jì)算是否方便而定)。

條件方程系數(shù)及權(quán)函數(shù)系數(shù)表

序號(hào)

ai

bi

fi＝Si

vi

(mm)

(m)

1

2

3

4

5

111

－1

1

1

1

1

4

2

4

4

2

3.組成并解算法方程,求未知數(shù)及其函數(shù)

序號(hào)

ai

bi

fi＝Si

vi

(mm)

(m)

1

1

1

4

2

1－1

2

3

1

4

4

1

1

4

5

1

2

由上表中的數(shù)值計(jì)算法方程（轉(zhuǎn)換系數(shù)方程）系數(shù)和轉(zhuǎn)換系數(shù)方程常數(shù)項(xiàng)，將計(jì)算結(jié)果依次填入法方程未知數(shù)及其函數(shù)解算表中，并在表中解算

和之值，見下表

法方程未知數(shù)及其函數(shù)解算表

()

k1=

()

(

)

k2=(

)

(

)

()()()

()10.0-2.08.0

8.06.00.0

4.0

4.08.0-1-1

7.67.6

4.8-143.37

由V=P-1BTK，顧及P為對(duì)角陣，按

(i=1,2,...,n)

計(jì)算觀測(cè)值改正數(shù)，結(jié)果見下表。

條件方程系數(shù)及權(quán)函數(shù)系數(shù)表

序號(hào)

aiKa=-1

biKb=-1

fi＝Si

vi

(mm)

(m)

1

1

1

4

2

1

-1

2

3

1

4

4

1

1

4

5

1

2

-4

0

-4

-4

-2

2.346

0.389

-2.735

2.196

-1.807

4.計(jì)算觀測(cè)值改正數(shù)vi及平差值

6.精度評(píng)定

單位權(quán)中誤差為：

D點(diǎn)高程平差值的中誤差為：

5.計(jì)算待定點(diǎn)高程平差值

作業(yè):

第五章習(xí)題32

返回第四節(jié)間接平差應(yīng)用實(shí)例

授課目的要求:熟悉間接平差的計(jì)算表格，掌握條件平差計(jì)算表格的使用方法。

重點(diǎn)、難點(diǎn):間接平差計(jì)算表格的使用方法。本次課主要內(nèi)容：

一、間接平差公式復(fù)習(xí)

二、間接平差的計(jì)算表格及其使用三、算例

法方程：參數(shù)平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)計(jì)算式：

令

上式兩端同乘以，并移項(xiàng)得：

將其解

代入平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)計(jì)算式得一、間接平差公式復(fù)習(xí)

已知間接平差的函數(shù)模型為：式中

為評(píng)定平差問題中某量的精度，所列立的權(quán)函數(shù)式為：式中

二、間接平差的計(jì)算表格及其使用

依據(jù)上述有關(guān)數(shù)據(jù)可編制誤差方程系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)表，見表4表4誤差方程系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)表觀測(cè)序號(hào)

ai

bi

...ti-li

pi

vi

1

2

┆

n

a1

a2

┆

an

b1

b2

┆

bn

...

...

...

...

t1

t2

┆

tn

--l1

-l2

┆

-ln

p1

p2

┆

pn

據(jù)表中的數(shù)據(jù)，便可計(jì)算法方程

，轉(zhuǎn)換系數(shù)方程

NBBq–F=0的系數(shù)陣中的

nji

和常數(shù)項(xiàng)

-wi，以及計(jì)算式(=-W)中的

將上述計(jì)算結(jié)果填寫在編制好的法方程（轉(zhuǎn)換系數(shù)方程）及其函數(shù)(VTPV,-)

解算表中(每計(jì)算一個(gè)填寫一個(gè)，依次計(jì)算填寫）。

觀測(cè)序號(hào)

ai

bi

...ti-li

pi

vi

1

a1

b1

...t1-l1

p1

2a2

b2

...t2

-l2

p2

┆┆

┆

...┆┆┆

n

an

bn

...tn-ln

pn

表5法方程未知數(shù)及其函數(shù)計(jì)算表（）

x1=

（）（）

x2=（）（）

（）

xt=

（）（）

（）（

）（）（）

（）（

）

表中后兩行既分別是法方程和轉(zhuǎn)換系數(shù)方程的常數(shù)項(xiàng)，又分別是函數(shù)中未知數(shù)

和qi(i=1,2,…,t)的系數(shù)。

上表填寫完畢后，即可在表5中計(jì)算、

VTPV和。結(jié)果填于表5中相應(yīng)元素的右邊，如表6所示.

表6法方程未知數(shù)及其函數(shù)解算表

求得未知數(shù)近似值向量的改正數(shù)向量

后，按

求未知數(shù)平差值向量，代入誤差方程可求得改正數(shù)向量V，V的計(jì)算可在表4中進(jìn)行(

)，按可求得，按公式，可求得單位權(quán)中誤差和平差值函數(shù)的中誤差。

若要求未知數(shù)平差值協(xié)因數(shù)陣，則由，計(jì)算，再計(jì)算，計(jì)算表格為表7和表8。

表7

求L陣逆矩陣C的諸元素用表

表中為解法方程過程中求得的約化系數(shù)，為求得的L陣逆陣C中的諸元素。求陣下三角部分諸元素用表表8

表中為下三角陣L的逆陣C中的諸元素，為陣下三角部分的諸元素。

繼續(xù)

如下圖所示水準(zhǔn)網(wǎng)，已知A點(diǎn)的高程為：=124.385m，觀測(cè)高差及路線長(zhǎng)度如圖中所示。試按參數(shù)平差法求未知點(diǎn)高程平差值及其中誤差。三、算例

解：1.列立誤差方程式和權(quán)函數(shù)式本問題中

n=5，t=3，

r=n-t=2，設(shè)參數(shù)：計(jì)算參數(shù)近似值：觀測(cè)方程：誤差方程常數(shù)項(xiàng)計(jì)算：

2.建立誤差方程系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)表

取4公里水準(zhǔn)觀測(cè)高差為單位權(quán)觀測(cè)值(也可另取它值，要看計(jì)算是否方便而定)。誤差方程系數(shù)及權(quán)函數(shù)系數(shù)表

序號(hào)

a1

bici

-li

P＝1/Si

vi

(mm)

(m)

1

2

3

4

5

-1

-1

1

-1

1

1

-1

-8

-6

1

2

1

1

2

1

誤差方程：

計(jì)算法方程（轉(zhuǎn)換系數(shù)方程）系數(shù)和轉(zhuǎn)換系數(shù)方程常數(shù)項(xiàng)，將計(jì)算結(jié)果依次填入法方程未知數(shù)及其函數(shù)解算表中，并在表中解算

和

之值。

序號(hào)

a1

b2ci

-li

P＝1/Sivi

(mm)

(m)

1

1

1

2

-1

1

2

3

-1

-8

1

4

-1

1

1

5

1-1

-6

2

法方程未知數(shù)及其函數(shù)解算表（）

x1=

（）（）

x2=

（）（）