第三：面積,動點實際問題與一元二次方程

復(fù)習(xí)：列方程解應(yīng)用題有哪些步驟？特別注意檢驗

上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了解決“傳染問題，平均增長(下降)率問題，數(shù)字問題”，現(xiàn)在，我們要學(xué)習(xí)解決“面積、體積問題。實際問題與一元二次方程（三）面積、體積問題一元二次方程及應(yīng)用題1、直角三角形問題：（勾股定理）2、體積不變性問題：3、數(shù)字問題：4、互贈禮物問題：5、增長率問題：一、復(fù)習(xí)引入

1．直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式是什么呢？

2．正方形的面積公式是什么呢？長方形的面積公式又是什么？

3．梯形的面積公式是什么？

4．菱形的面積公式是什么？

5．平行四邊形的面積公式是什么？

6．圓的面積公式是什么？有關(guān)面積問題：常見的圖形有下列幾種：例1、用22cm長的鐵絲，折成一個面積為30cm2的矩形。求這個矩形的長與寬.整理后，得x2-11x+30=0解這個方程，得x1=5,x2=6(與題設(shè)不符，舍去)答：這個矩形的長是6cm，寬是5cm。由x1=5得由x2=6，得解：設(shè)這個矩形的長為xcm，則寬為（cm）.根據(jù)題意，得2、用20cm長的鐵絲能否折成面積30cm2的矩形,若能夠,求它的長與寬;若不能,請說明理由.解:設(shè)這個矩形的長為xcm,則寬為cm,依題意得即x2-10x+30=0這里a=1,b=－10,c=30,∴此方程無解.答：用20cm長的鐵絲不能折成面積為30cm2的矩形.例題解析1.如圖，用長為18m的籬笆（虛線部分），兩面靠墻圍成矩形的苗圃.要圍成苗圃的面積為81m2,應(yīng)該怎么設(shè)計?解:設(shè)苗圃的一邊長為xm,則另一邊長（18-x）m，依題意得答:應(yīng)圍成一個邊長為9米的正方形.3．如圖，是長方形雞場平面示意圖，一邊靠墻，另外三面用竹籬笆圍成，若竹籬笆總長為35m，所圍的面積為150m2，則此長方形雞場的長、寬分別為_______．4、有一個面積為150m2的長方形雞場,雞場的一邊靠墻(墻長18m,)另三邊用竹籬笆圍城,如果竹籬笆的長為35m,求雞場的長和寬各為多少?18m例2、在寬為20米、長為32米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部分作為耕地，要使耕地面積為540米2，道路的寬應(yīng)為多少？32m20m則橫向的路面面積為

，32m20mx米分析：此題的相等關(guān)系是矩形面積減去道路面積等于540米2。解法一、如圖，設(shè)道路的寬為x米，32x米2縱向的路面面積為

。20x米2注意：這兩個面積的重疊部分是x2

米2所列的方程是不是？圖中的道路面積不是米2

，而是從其中減去重疊部分，即應(yīng)是米2所以正確的方程是：化簡得，其中的x=50超出了原矩形的長和寬，應(yīng)舍去.取x=2時，道路總面積為：

=100(米2)耕地面積==540（米2）答：所求道路的寬為2米。解法二：我們利用“圖形經(jīng)過移動，它的面積大小不會改變”的道理，把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些（目的是求出路面的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路）橫向路面為

，32m20mxmxm如圖，設(shè)路寬為x米，32x米2縱向路面面積為

。20x米2耕地矩形的長（橫向）為

，耕地矩形的寬（縱向）為

。相等關(guān)系是：耕地長×耕地寬=540米2(20-x)米（32-x)米即化簡得：再往下的計算、格式書寫與解法1相同。

3.

如圖，在長為40米，寬為22米的矩形地面上，修筑兩條同樣寬的互相垂直的道路，余下的鋪上草坪，要使草坪的面積為760平方米，道路的寬應(yīng)為多少？40米22米例4、求截去的正方形的邊長用一塊長28cm、寬20cm的長方形紙片，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為180cm２，為了有效地利用材料，求截去的小正方形的邊長是多少cm？求截去的正方形的邊長分析設(shè)截去的正方形的邊長為xcm之后，關(guān)鍵在于列出底面（圖中陰影部分）長和寬的代數(shù)式．結(jié)合圖示和原有長方形的長和寬，不難得出這一代數(shù)式．20-2x28-2x２８cm20cm求截去的正方形邊長解：設(shè)截去的正方形的邊長為xcm，根據(jù)題意，得

(28-2x)(20-2x)=180x2-24x+95=0解這個方程，得：x1=5,x2=19經(jīng)檢驗：x2＝19不合題意，舍去．所以截去的正方形邊長為５cm.例5:建造一個池底為正方形,深度為2.5m的長方體無蓋蓄水池,建造池壁的單價是120元/m2,建造池底的單價是240元/m2,總造價是8640元,求池底的邊長.分析:池底的造價+池壁的造價=總造價解:設(shè)池底的邊長是xm.根據(jù)題意得:解方程得:∵池底的邊長不能為負(fù)數(shù),∴取x=4答:池底的邊長是4m.列一元二次方程解應(yīng)題6、放鉛筆的V形槽如圖，每往上一層可以多放一支鉛筆．現(xiàn)有190支鉛筆，則要放幾層?解:要放x層,則每一層放(1+x)

支鉛筆.得x(1+x)=190×2

X＋X－380＝0解得X1＝19，

X2＝－20(不合題意)答:要放19層.2

在長方形鋼片上沖去一個長方形，制成一個四周寬相等的長方形框。已知長方形鋼片的長為30cm，寬為20cm,要使制成的長方形框的面積為400cm2，求這個長方形框的框邊寬。XX30cm20cm解:設(shè)長方形框的邊寬為xcm,依題意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得x2–25x+100=0得x1=20,x2=5當(dāng)x=20時,20-2x=-20(舍去);當(dāng)x=5時,20-2x=10答:這個長方形框的框邊寬為5cm探究1分析:本題關(guān)鍵是如何用x的代數(shù)式表示這個長方形框的面積

要設(shè)計一本書的封面,封面長27㎝,寬21㎝,正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形,如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度?(精確到0.1cm)2721分析:這本書的長寬之比是9:7,依題知正中央的矩形兩邊之比也為9:7解法一:設(shè)正中央的矩形兩邊分別為9xcm，7xcm依題意得解得故上下邊襯的寬度為:左右邊襯的寬度為:探究2

要設(shè)計一本書的封面,封面長27㎝,寬21㎝,正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形,如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度?2721分析:這本書的長寬之比是9:7,正中央的矩形兩邊之比也為9:7,由此判斷上下邊襯與左右邊襯的寬度之比也為9:7解法二:設(shè)上下邊襯的寬為9xcm，左右邊襯寬為7xcm依題意得解方程得(以下同學(xué)們自己完成)方程的哪個根合乎實際意義?為什么?家庭作業(yè)（共五題）1、一個兩位數(shù)個位數(shù)字比十位數(shù)字大1，個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后所得的兩位數(shù)比原數(shù)大9，求：這個兩位數(shù)2、一件商品原價200元經(jīng)過兩次降價后162元，求：平均降價的百分比3、某校進行乒乓球單循環(huán)比賽，共比賽55場，問：共有多少名同學(xué)參加4、一名同學(xué)進行登山訓(xùn)練，上山速度為2千米/小時，下山速度為6千米/小時，求：往返一次的平均速度家庭作業(yè)（共五題）5、學(xué)校課外生物小組的實驗園地是一塊長40米，寬26米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道，要使種植面積為864平方米，求小道的寬？小道學(xué)校課外生物小組的實驗園地是一塊長40米，寬26米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道，要使種植面積為864平方米，求小道的寬？

解設(shè)小道的寬為x

米。根據(jù)題意得:(40－2x)(26－x)=864（不合題意，舍去）答：小道的寬為2米。小道小道26404026家庭作業(yè)五實際問題與一元二次方程（三）質(zhì)點運動問題有關(guān)“動點”的運動問題”1)關(guān)鍵——以靜代動把動的點進行轉(zhuǎn)換,變?yōu)榫€段的長度,2)方法——時間變路程求“動點的運動時間”可以轉(zhuǎn)化為求“動點的運動路程”，也是求線段的長度;由此,學(xué)會把動點的問題轉(zhuǎn)化為靜點的問題,是解這類問題的關(guān)鍵.3）常找的數(shù)量關(guān)系——

面積，勾股定理等；例1在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點P從點A開始以1cm/s的速度沿AB邊向點B移動,點Q從點B開始以2cm/s的速度沿BC邊向點C移動,如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，幾秒后⊿PBQ的面積等于8cm2？解：設(shè)x秒后⊿PBQ的面積等于8cm2根據(jù)題意，得整理，得解這個方程，得所以2秒或4秒后⊿PBQ的面積等于8cm2例2：等腰直角⊿

ABC中,AB=BC=8cm,動點P從A點出發(fā),沿AB向B移動,通過點P引平行于BC,AC的直線與AC,BC分別交于R、Q.當(dāng)AP等于多少厘米時,平行四邊形PQCR的面積等于16cm2?例3：⊿ABC中,AB=3,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足為D,CD=2,P是AB上的一動點(不與A,B重合),且AP=x,過點P作直線l與AB垂直.i)設(shè)⊿ABC位于直線l左側(cè)部分的面積為S,寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式;ii)當(dāng)x為何值時,直線l平分⊿ABC的面積?練習(xí)1：在△ABC中,AC=50cm,CB=40cm,∠C=90°,點P從點A開始沿AC邊向點C以