計算方法中的Lagrange插值_第1頁
計算方法中的Lagrange插值_第2頁
計算方法中的Lagrange插值_第3頁
計算方法中的Lagrange插值_第4頁
計算方法中的Lagrange插值_第5頁
已閱讀5頁,還剩15頁未讀 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

第三章插值法(InterpolationMethod)已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下:深度(M)46674195014221634水溫(oC)7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù),希望合理地估計出其它深度(如500米,600米,1000米…)處的水溫舉例這就是本章要討論的“插值問題”當(dāng)精確函數(shù)y=f(x)非常復(fù)雜或未知時,在區(qū)間[a,b]上一系列節(jié)點x0…xm

處測得函數(shù)值y0

=f(x0),…,ym

=f(xm),由此構(gòu)造一個簡單易算的近似函數(shù)g(x)

f(x),滿足條件g(xj)=f(xj)(j=0,…m)(*)這個問題稱為“插值問題”插值問題的定義這里的g(x)

稱為f(x)的插值函數(shù)。節(jié)點x0…xm稱為插值節(jié)點,條件(*)稱為插值條件,區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間x0x1x2x3x4

xf(x)g(x)最常用的插值函數(shù)是…?代數(shù)多項式用代數(shù)多項式作插值函數(shù)的插值稱為代數(shù)插值本章主要討論的內(nèi)容插值函數(shù)的類型有很多種插值問題插值法插值函數(shù)一、插值問題解的存在唯一性?二、插值多項式的常用構(gòu)造方法?三、插值函數(shù)的誤差如何估計?代數(shù)插值3.2代數(shù)插值問題解的存在惟一性給定區(qū)間[a,b]上互異的n+1個點{xj}nj=0的一組函數(shù)值f(xj),j=0,…,n,求一個n次多項式pn(x)∈Pn,使得pn(xj)=f(xj),j=0,1,…,n.…...(1)令pn(x)=a0+a1x+…+anxn, …...(2)

只要證明Pn(x)的系數(shù)a0,a1,…,an存在唯一即可為此由插值條件(1)知Pn(x)的系數(shù)滿足下列n+1個代數(shù)方程構(gòu)成的線性方程組

a0+a1x0+…+anx0n=f(x0)

a0+a1x1+…+anx1n=f(x1) ……. a0+a1xn+…+anxnn=f(xn)……(3)而ai(i=0,1,2,…,n)的系數(shù)行列式是Vandermonde行列式由于xi互異,所以(4)右端不為零,從而方程組(3)的解a0,a1,…an

存在且唯一。通過解上述方程組(3)求得插值多項式pn(x)的方法并不可取.這是因為當(dāng)n較大時解方程組的計算量較大,而且方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)一般較大(可能是病態(tài)方程組),當(dāng)階數(shù)n越高時,病態(tài)越重。為此我們必須從其它途徑來求Pn(x):不通過求解方程組而獲得插值多項式基本思想:在n次多項式空間Pn中找一組合適的基函數(shù)0(x),1(x),…,n(x),使pn(x)=a00(x)

+a11(x)

+…+ann(x)不同的基函數(shù)的選取導(dǎo)致不同的插值方法Lagrange插值Newton插值n=1使得可見P1(x)是過(x0,y0

)和(x1,y1

)兩點的直線。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl3.3Lagrange插值求n

次多項式使得已知x0

,x1

;

y0

,

y1

,求構(gòu)造基函數(shù)

(2)與節(jié)點有關(guān),而與f

無關(guān)這里每個lj(x)都是n次多項式,且由(1)式容易驗證lj(x)滿足j=0,1,…,n(1)對任意的pn(x)∈Pn,都有pn(x)=c0l0(x)+c1l1(x)+…+cnln(x)其中c0,c1,…,cn為組合系數(shù)可以證明函數(shù)組l0(x),l1(x),…,ln(x)在插值區(qū)間[a,b]上線性無關(guān),所以這n+1個函數(shù)可作為Pn的一組基函數(shù),稱為Lagrange插值基函數(shù)由Lagrange插值基函數(shù)滿足(2)式可知,方程組變成因此得到插值多項式pn(x)=f(x0)l0(x)+f(x1)l1(x)+…+f(xn)ln(x)記為Ln(x)=f(xj)lj(x)稱Ln(x)為n次Lagrange插值多項式

插值余項/*Remainder*/定理4.3.1若在[a,b]內(nèi)存在,則在[a,b]上的n+1個互異的點,對f(x)所作的n次Lagrange插值多項式Ln(x)有誤差估計Rolle’sTheorem的推論:若充分光滑,且存在使得證明:由于Rn(xi)=0,i=0,1,…,n任意固定x

xi(i=0,…,n),考察(t)有n+2

個不同的根x0…

xn

x例:已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計算

sin50,并估計誤差。解:n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計算利用sin50=0.7660444…利用x0,x1

作為插值節(jié)點的實

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論