計算方法第六章

近似計算§1Newton-Cotes公式思路利用插值多項式

則積分易算。

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的

n

次插值多項式，即得到Ak由決定，與無關。節(jié)點

f(x)插值型積分公式/*interpolatory

quadrature*/誤差第六章數(shù)值積分利用數(shù)值方法計算積分的近似值1若某個求積公式所對應的誤差R[f]滿足：R[Pk

]=0對任意

k

n階的多項式成立，且R[Pn+1

]0對某個

n+1階多項式成立，則稱此求積公式的代數(shù)精度為

n

。定義例：對于[a,b]上1次插值，有f(x)abf(a)f(b)梯形公式/*trapezoidalrule*/解：逐次檢查公式是否精確成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代數(shù)精度=1考察其代數(shù)精度。2例如，有積分公式:求該積分公式的代數(shù)精確度。對于任意一個一次多項式，求積公式都是精確成立的；至少存在一個二次多項式使求積公式不精確成立；故該求積公式的代數(shù)精確度為1。解：取f(x)=1，取f(x)=x，取f(x)=x2

，==3用直線代替y=f(x)精度不高，若用拋物線代替，即采用二次插值多項式來代替被積函數(shù)，并等分[a,b]區(qū)間，使h=x2-x1=x1-x0=(b-a)/2，其中，a=x0,b=x2，得到：考察其精度。解：逐次檢查公式是否精確成立代入P0=1：代入P1=x：代入P2=x2：===4形如的求積公式至少有n

次代數(shù)精度

該公式為插值型（即：）代入P3=x3：=代入P4=x4：代數(shù)精度=3從某種意義上說，代數(shù)精度越高，求積分公式就越精確。為了提高代數(shù)精度，可以提高插值多項式的次數(shù)。小結(jié)：1、2、5當節(jié)點等距分布時：令Cotes系數(shù)注：Cotes系數(shù)僅取決于n

和i，與f(x)及區(qū)間[a,b]均無關。6n=1:梯形公式代數(shù)精度=1注：梯形公式是用直線代替y=f(x)，然后再求積分而得，并且梯形公式只對線性函數(shù)積分精確。7n=2:辛普森公式代數(shù)精度=3注：辛普森公式使用拋物線代替y=f(x)，即采用二次插值多項式來代替被積函數(shù)，并且辛普森公式對不高于三次的多項式積分是精確的。8n=3:n=4:第二辛普森公式代數(shù)精度=3科茨公式代數(shù)精度=5注：第二辛普森公式雖然比辛普森公式的計算量大，但是代數(shù)精度并沒有提高。當n為偶數(shù)的時候，相對來說代數(shù)精度還是比較高的。9科茨系數(shù)表10誤差公式n為偶數(shù)（奇數(shù)個節(jié)點）n為奇數(shù)（偶數(shù)個節(jié)點）注：從誤差公式可知，當n為偶數(shù)時，求積公式有n+1次代數(shù)精度，而n為奇數(shù)時，求積公式只有n次代數(shù)精度。11例：用辛普森公式求積分，并估計誤差。解：12例：已知函數(shù)表，試用牛頓-科茨公式計算積分。x1.82.02.22.42.6f(x)3.120144.425696.042418.0301410.46675解：根據(jù)已知條件可得：代入函數(shù)表中的數(shù)據(jù)可得：13牛頓-科茨公式的討論：科茨系數(shù)僅與插值次數(shù)n及k有關，與f(x)無關。令f(x)=1，由于積分公式至少有n次代數(shù)精度，對1積分總是精確的，即因此，如果f(xk)的近似值為fk，舍入誤差不超過ε，有14當均為正數(shù)時，即可見，積分公式是穩(wěn)定的。但當n≥8時，中出現(xiàn)負數(shù)，使無法控制在較小的范圍內(nèi)，積分公式不穩(wěn)定，因此，高次積分至多用到7次。15高次插值有Runge現(xiàn)象，故采用分段低次插值分段低次合成Newton-Cotes

復合求積公式。復合梯形公式：在每個上用梯形公式：=

Tn§2復合求積中值定理16復化Simpson公式：44444=

Sn注：為方便編程，可采用另一記法：令n’=2n為偶數(shù)，這時，有17xi

f(xi)0

1

1/8 0.9973978671/4 0.9896158373/8 0.9767267441/2 0.9588510775/8 0.9361556373/4 0.908851687/8 0.8771925741 0.841470985精確解：0.946083118若一個積分公式的誤差滿足且C0，則稱該公式是p

階收斂的。定義收斂速度與誤差估計：例：計算解：其中=3.138988494其中=3.141592502運算量基本相同可見，當h趨近于0的時候，Sn比Tn的收斂速度要快！19Q:給定精度，如何取n?例如：要求，如何判斷n=？?上例中若要求，則即：取n=409通常采取將區(qū)間不斷對分的方法，即取n=2k上例中2k

409k=9

時，T512=3.14159202S4=3.141592502根據(jù)定積分的幾何意義：20例：用復合梯形公式求