單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)(a)

1機(jī)械振動(dòng)理論單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)2教學(xué)內(nèi)容單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)工程中的受迫振動(dòng)問題任意周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)3線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性受迫振動(dòng)的過渡階段簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)4線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)彈簧－質(zhì)量－阻尼系統(tǒng)設(shè)外力幅值外力的激勵(lì)頻率振動(dòng)微分方程：x為復(fù)數(shù)變量，分別與和相對(duì)應(yīng)

實(shí)部和虛部分別與和相對(duì)應(yīng)m受力分析kcx0m單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)5振動(dòng)微分方程：顯含時(shí)間t非齊次微分方程非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動(dòng)逐漸衰減暫態(tài)響應(yīng)持續(xù)等幅振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)本節(jié)內(nèi)容單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)6振動(dòng)微分方程：設(shè)：復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)

：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)振幅靜變形單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)7單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)引入：外部激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率之比振幅放大因子相位差穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的實(shí)振幅若：則：無阻尼情況：系統(tǒng)響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)（1）線性系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力的簡(jiǎn)諧振動(dòng)（2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅及相位只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（m,k,c）和激振力的頻率及力幅，而與系統(tǒng)進(jìn)入運(yùn)動(dòng)的方式（即初始條件）無關(guān)結(jié)論：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)10線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性受迫振動(dòng)的過渡階段簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)11穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性以s為橫坐標(biāo)畫出曲線幅頻特性曲線簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性：（1）當(dāng)s<<1（）激振頻率相對(duì)于系統(tǒng)固有頻率很低結(jié)論：響應(yīng)的振幅A與靜位移B相當(dāng)0123012345單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性12穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性（2）當(dāng)s>>1（）激振頻率相對(duì)于系統(tǒng)固有頻率很高結(jié)論：響應(yīng)的振幅很小0123012345單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性13穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性（3）在以上兩個(gè)領(lǐng)域s>>1，s<<1結(jié)論：系統(tǒng)即使按無阻尼情況考慮也是可以的對(duì)應(yīng)于不同值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著0123012345單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性14穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性結(jié)論：共振振幅無窮大（4）當(dāng)對(duì)應(yīng)于較小值，迅速增大當(dāng)?shù)舱駥?duì)于來自阻尼的影響很敏感，在s=1附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅明顯下降0123012345單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性15穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性（5）對(duì)于有阻尼系統(tǒng)，并不出現(xiàn)在s=1處，而且稍偏左0123012345單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性16穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性（6）當(dāng)振幅無極值0123012345單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性17穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性記：品質(zhì)因子在共振峰的兩側(cè)取與對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)，帶寬Q

與有關(guān)系：阻尼越弱，Q越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性18穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性相頻特性曲線（1）當(dāng)s<<1（）以s為橫坐標(biāo)畫出曲線相位差位移與激振力在相位上幾乎相同（2）當(dāng)s>>1（）位移與激振力反相（3）當(dāng)共振時(shí)的相位差為，與阻尼無關(guān)0123090180單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性19有阻尼單自由度系統(tǒng)外部作用力規(guī)律：假設(shè)系統(tǒng)固有頻率：從左到右：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)/穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性20線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性受迫振動(dòng)的過渡階段簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)機(jī)械阻抗與導(dǎo)納單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)21受迫振動(dòng)的過渡階段在系統(tǒng)受到激勵(lì)開始振動(dòng)的初始階段，其自由振動(dòng)伴隨受迫振動(dòng)同時(shí)發(fā)生。系統(tǒng)的響應(yīng)是暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的疊加顯含t，非齊次微分方程非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動(dòng)逐漸衰減暫態(tài)響應(yīng)持續(xù)等幅振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)回顧：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段22受迫振動(dòng)的過渡階段考慮無阻尼的情況正弦激勵(lì)通解：齊次通解非齊次特解初始條件決定單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段23初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)特點(diǎn)：以系統(tǒng)固有頻率為振動(dòng)頻率單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段24初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)如果是零初始條件自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段25零初始條件(2)s>1(1)s<1穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)進(jìn)行一個(gè)循環(huán)時(shí)間內(nèi)，自由伴隨振動(dòng)完成多個(gè)循環(huán)自由伴隨振動(dòng)進(jìn)行一個(gè)循環(huán)時(shí)間內(nèi)，穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)完成多個(gè)循環(huán)受迫振動(dòng)響應(yīng)成為自由振動(dòng)響應(yīng)曲線上迭加的一個(gè)振蕩運(yùn)動(dòng)受迫振動(dòng)響應(yīng)成為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線上迭加的一個(gè)振蕩運(yùn)動(dòng)00穩(wěn)態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)自由伴隨全響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段2023年2月1日26零初始條件0單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段2023年2月1日27由于系統(tǒng)是線性的，也可利用疊加定理求解＋＝通解：初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段2023年2月1日28即使在零初始條件下，也有自由振動(dòng)與受迫振動(dòng)相伴發(fā)生實(shí)際中總是存在著阻尼的影響，因而上式右端的暫態(tài)運(yùn)動(dòng)會(huì)逐漸衰減，進(jìn)而消失，最終系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段2023年2月1日29例：計(jì)算初始條件，以使的響應(yīng)只以頻率振動(dòng)解：的全解：如果要使系統(tǒng)響應(yīng)只以為頻率振動(dòng)必須成立：初始條件：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段30例：計(jì)算初始條件，以使的響應(yīng)只以頻率振動(dòng)解：的全解：正確？全解：由求一階導(dǎo)數(shù)：由單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段2023年2月1日31全解：因此：的全解：相同不同單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段32例：計(jì)算初始條件，以使的響應(yīng)只以頻率振動(dòng)全解：如果要使系統(tǒng)響應(yīng)只以為頻率振動(dòng)初始條件：＝0單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段若激勵(lì)頻率與固有頻率十分接近令：ε

小量考慮零初始條件，有單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段34單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段35可看作頻率為但振幅按規(guī)律緩慢變化的振動(dòng)這種在接近共振時(shí)發(fā)生的特殊振動(dòng)現(xiàn)象稱為”拍”0拍的周期：圖形包絡(luò)線：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段36當(dāng)隨t增大，振幅無限增大，無阻尼系統(tǒng)共振的情形0響應(yīng)曲線單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段討論有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)利用前述相同的方法，有：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段38初始條件響應(yīng)經(jīng)過充分長(zhǎng)時(shí)間后，作為瞬態(tài)響應(yīng)的前兩種振動(dòng)都將消失，只剩穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)0強(qiáng)迫響應(yīng)全響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段39初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)對(duì)于零初始條件：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)/受迫振動(dòng)的過渡階段40線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性受迫振動(dòng)的過渡階段簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)2023年2月1日41簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)xfkcmx0mkxxfc單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)mxce背景：地基振動(dòng)，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)等特點(diǎn)：激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例2023年2月1日簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)背景：地基振動(dòng)，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)坐標(biāo)：動(dòng)力學(xué)方程：基座位移規(guī)律：x1

相對(duì)基座位移mm受力分析xfkcmx0mkxxfcD：基座位移振幅特點(diǎn)：激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2023年2月1日回顧：令：有：其中：xfkcmx0振幅放大因子相位差單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2023年2月1日440.250.50.751.02.010100190180幅頻曲線相頻曲線單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2023年2月1日系統(tǒng)固有頻率從左到右：0.250.50.751.02.010100190180支撐運(yùn)動(dòng)：DD如何分析s>1，s<1，s=1?單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2023年2月1日46若以絕對(duì)位移x為坐標(biāo)其中：則有：xfkcmx0mkxxfc單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2023年2月1日47單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2023年2月1日48代入：無阻尼情況：xfkcmx0mkxxfc單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2023年2月1日49幅頻曲線010100.10.250.350.51.0可看出：當(dāng)時(shí)，振幅恒為支撐運(yùn)動(dòng)振幅D當(dāng)時(shí)，振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大xfkcmx0mkxxfc單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2023年2月1日50例：汽車的拖車在波形道路上行駛已知拖車的質(zhì)量滿載時(shí)為m1=1000kg空載時(shí)為m2=250kg懸掛彈簧的剛度為k=350kN/m,阻尼比在滿載時(shí)為車速為v=100km/h,路面呈正弦波形，可表示為求：拖車在滿載和空載時(shí)的振幅比l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2023年2月1日解：汽車行駛的路程可表示為：路面的激勵(lì)頻率：得：c、k

為常數(shù)，因此與成反比因此得到空載時(shí)的阻尼比為：滿載和空載時(shí)的頻率比：因?yàn)橛校簂=5mmk/2cx0k/2xfalxfz滿載:

m1=1000kg空載:m2=250kg車速:v=100km/hk=350kN/m單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2023年2月1日滿載時(shí)頻率比記：滿載時(shí)振幅

B1，空載時(shí)振幅B2有：滿載時(shí)阻尼比空載時(shí)阻尼比空載時(shí)頻率比因此滿載和空載時(shí)的振幅比：l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2023年2月1日例：已知梁截面慣性矩I，彈性模量E，梁質(zhì)量不計(jì)支座B不動(dòng)求：質(zhì)量m的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)振幅支座A產(chǎn)生微小豎直振動(dòng)ambAB解：固有頻率：簡(jiǎn)化圖在質(zhì)量m作用下，由材料力學(xué)可求出靜撓度mk：因yA的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的質(zhì)量m處的運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程：振幅：桿做剛性處理，其柔性由彈簧表示單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2023年2月1日54支承運(yùn)動(dòng)小結(jié)相對(duì)位移基座位移規(guī)律：絕對(duì)位移xfkcmx0mkxxfc單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)/簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2023年2月1日55高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激勵(lì)來源。旋轉(zhuǎn)機(jī)械總質(zhì)量為M，轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量為m，偏心距為e，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為x：機(jī)器離開平衡位置的垂直位移則偏心質(zhì)量的垂直位移：由