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欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析與計(jì)算j0-ξωnωd=ωn√1-ξ2Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2S1,2=-ξωn±j√1-ξ2ωnβ
h(t)=1-√1-ξ21e-ξωnsin(ωdt+β)ωnπ-βωd得tr=令h(t)=1取其解中的最小值,令h(t)一階導(dǎo)數(shù)=0,取其解中的最小值,得tp=πωdσ%=h(∞)h(tp)-h(huán)(∞)100%σ%
=e-πξ/√1-ξ2100%由包絡(luò)線求調(diào)節(jié)時(shí)間得ts≈3.5ξωneωd
h(t)=1-√1-ξ21-ξωntsin(t+β)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:其特征根全部位于S平面的左半部。三.穩(wěn)定判據(jù)
1.Routh穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的特征方程為線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:勞斯表中第一列系數(shù)全部為正。勞斯判據(jù)指出,若勞斯表中第一列系數(shù)全部為正,則所有閉環(huán)極點(diǎn)均位于左半s平面;若勞斯表第一列系數(shù)有負(fù)數(shù),則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,說(shuō)明有閉環(huán)極點(diǎn)位于右半s平面,且位于右半s平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)正好等于勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。設(shè)系統(tǒng)特征方程為:s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6-4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-8
412勞斯表介紹勞斯表特點(diǎn)2
每?jī)尚袀€(gè)數(shù)相等1
右移一位降兩階3
行列式第一列不動(dòng)4
次對(duì)角線減主對(duì)角線5
分母總是上一行第一個(gè)元素7
第一列出現(xiàn)零元素時(shí),用正無(wú)窮小量ε代替。6一行可同乘以或同除以某正數(shù)ε2ε+87ε127
-8ε-8(2ε+8)-7ε27ε勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:有正有負(fù)一定不穩(wěn)定!缺項(xiàng)一定不穩(wěn)定!系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件:勞斯表第一列元素不變號(hào)!若變號(hào)系統(tǒng)不穩(wěn)定!變號(hào)的次數(shù)為特征根在s右半平面的個(gè)數(shù)!s6s5s0s1s2s3s41246357127124635710-8
412ε2ε+87ε127
-8ε-8(2ε+8)-7ε27ε特征方程各項(xiàng)系數(shù)均大于零!勞斯表出現(xiàn)零行設(shè)系統(tǒng)特征方程為:s4+5s3+7s2+5s+6=0勞斯表s0s1s2s3s451756116601勞斯表何時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行?2出現(xiàn)零行怎么辦?3如何求對(duì)稱(chēng)的根?②由零行的上一行構(gòu)成輔助方程:①
有大小相等符號(hào)相反的特征根時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行s2+1=0對(duì)其求導(dǎo)得零行系數(shù):2s1211繼續(xù)計(jì)算勞斯表1第一列全大于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯(cuò)啦!!!勞斯表出現(xiàn)零行系統(tǒng)一定不穩(wěn)定求解輔助方程得:s1,2=±j由綜合除法可得另兩個(gè)根為s3,4=-2,-3例5:穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用
1)利用穩(wěn)定判據(jù),可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2)利用穩(wěn)定判據(jù),可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí),參數(shù)的取值范圍。
設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng),開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。
解:
系統(tǒng)的特征方程式為:建立勞斯表:系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí),要求0<K<8例3)利用穩(wěn)定判據(jù),也可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。
系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí),要求所有閉環(huán)極點(diǎn)在s平面的左邊,閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn),系統(tǒng)穩(wěn)定性越好,閉環(huán)極點(diǎn)離開(kāi)虛軸的距離,可以作為衡量系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。在系統(tǒng)的特征方程D(s)=0中,令s=s1-a,得到D(s1)=0,利用穩(wěn)定判據(jù),若D(s1)=0的所有解都在s1平面左邊,則原系統(tǒng)的特征根在s=-a左邊。設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng),開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:
若要求閉環(huán)極點(diǎn)在s=-1左邊,試確定K的取值范圍。解:
系統(tǒng)的特征方程式為:
令s=s1-1
0.25<K<2
赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為:線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:由系統(tǒng)特征方程系數(shù)所構(gòu)成的主行列式Δn及其各階順序主子式Δi(i=1,2…,n-1)全部為正。例設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為:試用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:
故系統(tǒng)不穩(wěn)定。3:李納德-戚帕特判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為:線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:1)方程式所有系數(shù)為正;2)所有奇數(shù)階或偶數(shù)階胡爾維茨行列式為正,即:Δ奇>0或Δ偶>0。根據(jù)李納德-戚帕特判據(jù),若系統(tǒng)特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)中有負(fù)或零(缺項(xiàng)),則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于一階系統(tǒng),特征方程式為T(mén)s+1=0,只要系數(shù)為正(T>0),系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對(duì)于二階系統(tǒng),特征方程式為只要系數(shù)為正(ξ>0,ωn>0),系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例設(shè)線性系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K,T應(yīng)滿足的條件。解:
系統(tǒng)特征方程式為1+G(s)H(s)=0根據(jù)李納德-戚帕特判據(jù),K>0,T>0且:系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí),要求:3-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算
一:誤差與穩(wěn)態(tài)誤差
誤差=希望值-實(shí)際值,R(s)E(s)C(s)-B(s)對(duì)于圖示一般線性控制系統(tǒng),若按輸入端定義:
e(t)=r(t)-b(t),E(s)=R(s)-B(s)若按輸出端定義:輸出量的期望值與實(shí)際值之差。對(duì)于單位負(fù)反饋系統(tǒng),兩種定義方法是一致的。在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中,一般采用按輸入端定義誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是指誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)值,即:若系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為Φe(s),則E(s)=Φe(s)R(s),若E(s)滿足拉氏變換終值定理的條件(要求系統(tǒng)穩(wěn)定,且R(s)的所有極點(diǎn)在左半s開(kāi)區(qū)間),可以利用終值定理來(lái)求穩(wěn)態(tài)誤差,即閉環(huán)系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)給定輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)。N(s)=0時(shí)E(s)和R(s)之比。N(s)=0時(shí)系統(tǒng)的等效圖例:
設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:求r(t)=1(t),r(t)=t,r(t)=t2/2以及r(t)=sinωt時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解:
誤差傳遞函數(shù)為:系統(tǒng)穩(wěn)定若輸入信號(hào)為正弦信號(hào),則不能應(yīng)用拉氏變換終值定理。穩(wěn)態(tài)誤差為:二:系統(tǒng)類(lèi)型設(shè)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:其中K稱(chēng)為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益。υ=0,系統(tǒng)稱(chēng)為0型系統(tǒng),υ=1,系統(tǒng)稱(chēng)為1型系統(tǒng),υ=2,系統(tǒng)稱(chēng)為2型系統(tǒng),…。三:?jiǎn)挝浑A躍信號(hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng),可用終值定理來(lái)求:定義系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù)四:?jiǎn)挝恍逼滦盘?hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng),可用終值定理來(lái)求:定義系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)五:?jiǎn)挝患铀俣刃盘?hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差
對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng),可用終值定理來(lái)求:
定義系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)
動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)設(shè)則該級(jí)數(shù)收斂于s→0的鄰域,相當(dāng)于t→∞時(shí)成立?;蛘哒f(shuō),在t→∞時(shí)有:定義c0為動(dòng)態(tài)位置誤差系數(shù),c1為動(dòng)態(tài)速度誤差系數(shù),c2為動(dòng)態(tài)加速度誤差系數(shù),可以用下式計(jì)算:實(shí)際計(jì)算時(shí),常采用長(zhǎng)除法計(jì)算,即令:例:
設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:求r(t)=t,r(t)=t2,r(t)=sin5t時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解:
誤差傳遞函數(shù)為:可求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為:r(t)=t時(shí),r(t)=t2時(shí),
r(t)=sin5t時(shí),擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)于圖示系統(tǒng),設(shè)r(t)=0系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)作用下的理想輸出應(yīng)為0,若按輸入端定義擾動(dòng)作用下的誤差:若按輸出端定義誤差:R(s)E(s)C(s)-N(s)若En(s)滿足拉氏變換終值定理?xiàng)l件,可利用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差:令則可用動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法求擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差:例:
對(duì)于圖示系統(tǒng),試求r(t)=t,n(t)=1(t)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。R(s)E(s)C(s)-N(s)解:
系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為為1型二階系統(tǒng),系統(tǒng)是穩(wěn)定的,在r(t)=t,穩(wěn)態(tài)誤差在擾動(dòng)信號(hào)作用下的誤差表達(dá)式為:n(t)=1(t)時(shí),穩(wěn)態(tài)誤差為:系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為:八:減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差包括輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差和擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差兩部分。要減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)從分別減小或消除這兩部分穩(wěn)態(tài)誤差入手。1:增大系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益或擾動(dòng)作用點(diǎn)之前系統(tǒng)的前向通道增益。在輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益成反比,增大系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益,有利于減小在輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,擾動(dòng)信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與擾動(dòng)作用點(diǎn)之前系統(tǒng)的前向通道增益成反比,增大該增益,有利于減小擾動(dòng)信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,應(yīng)當(dāng)注意,在大多數(shù)情況下,對(duì)于高階系統(tǒng),系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益的增加有可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定。2、在系統(tǒng)前向通道或主反饋通道中設(shè)置串聯(lián)積分環(huán)節(jié)。在系統(tǒng)前向通道中設(shè)置串聯(lián)積分環(huán)節(jié),提高了系統(tǒng)型別,有利于減小或消除輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。為了減小或消除擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的位置應(yīng)加在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通道或反饋通道中。3、串級(jí)控制抑止內(nèi)回路擾動(dòng)—適用控制精度要求較高時(shí)4、采用復(fù)合控制的方法采用復(fù)合控制,也可以減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差。對(duì)于圖示系統(tǒng),試求r(t)=t,n(t)=1(t)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。
R(s)E(s)C(s)-N(s)解系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:
為1型二階系統(tǒng),系統(tǒng)穩(wěn)定在r(t)=t,穩(wěn)態(tài)誤差在擾動(dòng)信號(hào)作用下的誤差表達(dá)式為:n(t)=1(t)時(shí),穩(wěn)態(tài)誤差為:系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4-1根軌跡法的基本概念4-2根軌跡繪制的基本法則4-3廣義根軌跡4-4系統(tǒng)性能的分析第四章
線性系統(tǒng)的根軌跡法
§
1根軌跡法的基本概念C(s)R(s)-20j-20jG(s)C(s)R(s)H(s)4-2繪制根軌跡的基本法則法則1
根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn):根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn),終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。如果開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m<n,則有(n-m)條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。證明:根軌跡方程
模值方程
根軌跡起點(diǎn):要使模值方程成立,則所以pi是根軌跡起點(diǎn)。根軌跡終點(diǎn)要使模值方程成立,則所以zi是根軌跡終點(diǎn)。當(dāng)m<n時(shí),有m條根軌跡到開(kāi)環(huán)零點(diǎn)止,另有(n-m)條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處說(shuō)明:如果m>n,則應(yīng)有(m-n)條根軌跡的起點(diǎn)在處。法則2
根軌跡的分支數(shù)和對(duì)稱(chēng)性:根軌跡的分支數(shù)與開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)和有限極點(diǎn)數(shù)中的大者相等,它們是連續(xù)的并且對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸
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