線性系統(tǒng)的時域分析法二階系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差

欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析與計算j0-ξωnωd=ωn√1-ξ2Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2S1,2=-ξωn±j√1-ξ2ωnβ

h(t)=1－√1-ξ21e-ξωnsin(ωdt+β)ωnπ-βωd得tr=令h(t)=1取其解中的最小值，令h(t)一階導(dǎo)數(shù)=0，取其解中的最小值，得tp=πωdσ%=h(∞)h(tp)－h(huán)(∞)100%σ%

=e-πξ/√1-ξ2100%由包絡(luò)線求調(diào)節(jié)時間得ts≈3.5ξωneωd

h(t)=1－√1-ξ21-ξωntsin(t+β)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：其特征根全部位于S平面的左半部。三．穩(wěn)定判據(jù)

1.Routh穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的特征方程為線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞斯表中第一列系數(shù)全部為正。勞斯判據(jù)指出，若勞斯表中第一列系數(shù)全部為正，則所有閉環(huán)極點均位于左半s平面；若勞斯表第一列系數(shù)有負數(shù)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，說明有閉環(huán)極點位于右半s平面，且位于右半s平面的閉環(huán)極點數(shù)正好等于勞斯表第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-8

412勞斯表介紹勞斯表特點2

每兩行個數(shù)相等1

右移一位降兩階3

行列式第一列不動4

次對角線減主對角線5

分母總是上一行第一個元素7

第一列出現(xiàn)零元素時，用正無窮小量ε代替。6一行可同乘以或同除以某正數(shù)ε2ε+87ε127

-8ε-8(2ε+8)-7ε27ε勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:有正有負一定不穩(wěn)定!缺項一定不穩(wěn)定!系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件:勞斯表第一列元素不變號!若變號系統(tǒng)不穩(wěn)定!變號的次數(shù)為特征根在s右半平面的個數(shù)!s6s5s0s1s2s3s41246357127124635710-8

412ε2ε+87ε127

-8ε-8(2ε+8)-7ε27ε特征方程各項系數(shù)均大于零!勞斯表出現(xiàn)零行設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞斯表s0s1s2s3s451756116601勞斯表何時會出現(xiàn)零行?2出現(xiàn)零行怎么辦?3如何求對稱的根?②由零行的上一行構(gòu)成輔助方程:①

有大小相等符號相反的特征根時會出現(xiàn)零行s2+1=0對其求導(dǎo)得零行系數(shù):2s1211繼續(xù)計算勞斯表1第一列全大于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯啦!!!勞斯表出現(xiàn)零行系統(tǒng)一定不穩(wěn)定求解輔助方程得:s1,2=±j由綜合除法可得另兩個根為s3,4=-2,-3例5：穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用

1）利用穩(wěn)定判據(jù)，可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2）利用穩(wěn)定判據(jù)，可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時，參數(shù)的取值范圍。

設(shè)單位負反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍。

解：

系統(tǒng)的特征方程式為：建立勞斯表：系統(tǒng)穩(wěn)定時，要求0<K<8例3）利用穩(wěn)定判據(jù)，也可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

系統(tǒng)穩(wěn)定時，要求所有閉環(huán)極點在s平面的左邊，閉環(huán)極點離虛軸越遠，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好，閉環(huán)極點離開虛軸的距離，可以作為衡量系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。在系統(tǒng)的特征方程D(s)=0中，令s=s1-a，得到D(s1)=0，利用穩(wěn)定判據(jù)，若D(s1)=0的所有解都在s1平面左邊，則原系統(tǒng)的特征根在s=-a左邊。設(shè)單位負反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為：

若要求閉環(huán)極點在s=-1左邊，試確定K的取值范圍。解：

系統(tǒng)的特征方程式為：

令s=s1-1

0.25<K<2

赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：由系統(tǒng)特征方程系數(shù)所構(gòu)成的主行列式Δn及其各階順序主子式Δi(i=1,2…,n-1)全部為正。例設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：試用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：

故系統(tǒng)不穩(wěn)定。3：李納德-戚帕特判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：1）方程式所有系數(shù)為正；2）所有奇數(shù)階或偶數(shù)階胡爾維茨行列式為正，即：Δ奇>0或Δ偶>0。根據(jù)李納德-戚帕特判據(jù)，若系統(tǒng)特征方程式的各項系數(shù)中有負或零（缺項），則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于一階系統(tǒng)，特征方程式為Ts+1=0，只要系數(shù)為正（T>0）,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于二階系統(tǒng)，特征方程式為只要系數(shù)為正（ξ>0，ωn>0）,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例設(shè)線性系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時K,T應(yīng)滿足的條件。解：

系統(tǒng)特征方程式為1+G(s)H(s)=0根據(jù)李納德-戚帕特判據(jù)，K>0,T>0且：系統(tǒng)穩(wěn)定時，要求：3-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算

一：誤差與穩(wěn)態(tài)誤差

誤差=希望值-實際值，R(s)E(s)C(s)-B(s)對于圖示一般線性控制系統(tǒng)，若按輸入端定義：

e(t)=r(t)-b(t)，E(s)=R(s)-B(s)若按輸出端定義：輸出量的期望值與實際值之差。對于單位負反饋系統(tǒng)，兩種定義方法是一致的。在系統(tǒng)分析和設(shè)計中，一般采用按輸入端定義誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是指誤差信號的穩(wěn)態(tài)值，即：若系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為Φe(s)，則E(s)=Φe(s)R(s)，若E(s)滿足拉氏變換終值定理的條件（要求系統(tǒng)穩(wěn)定，且R(s)的所有極點在左半s開區(qū)間），可以利用終值定理來求穩(wěn)態(tài)誤差，即閉環(huán)系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)給定輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)。N(s)=0時E(s)和R(s)之比。N(s)=0時系統(tǒng)的等效圖例：

設(shè)單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：求r(t)=1(t),r(t)=t,r(t)=t2/2以及r(t)=sinωt時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：

誤差傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)穩(wěn)定若輸入信號為正弦信號，則不能應(yīng)用拉氏變換終值定理。穩(wěn)態(tài)誤差為：二：系統(tǒng)類型設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中K稱為系統(tǒng)的開環(huán)增益。υ=0，系統(tǒng)稱為0型系統(tǒng)，υ=1，系統(tǒng)稱為1型系統(tǒng)，υ=2，系統(tǒng)稱為2型系統(tǒng)，…。三：單位階躍信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，可用終值定理來求：定義系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù)四：單位斜坡信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，可用終值定理來求：定義系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)五：單位加速度信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，可用終值定理來求：

定義系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

動態(tài)誤差系數(shù)設(shè)則該級數(shù)收斂于s→0的鄰域，相當于t→∞時成立?；蛘哒f，在t→∞時有：定義c0為動態(tài)位置誤差系數(shù)，c1為動態(tài)速度誤差系數(shù)，c2為動態(tài)加速度誤差系數(shù)，可以用下式計算：實際計算時，常采用長除法計算，即令：例：

設(shè)單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：求r(t)=t，r(t)=t2，r(t)=sin5t時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：

誤差傳遞函數(shù)為：可求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：r(t)=t時，r(t)=t2時，

r(t)=sin5t時，擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差對于圖示系統(tǒng)，設(shè)r(t)=0系統(tǒng)在擾動信號作用下的理想輸出應(yīng)為0，若按輸入端定義擾動作用下的誤差：若按輸出端定義誤差：R(s)E(s)C(s)-N(s)若En(s)滿足拉氏變換終值定理條件，可利用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差:令則可用動態(tài)誤差系數(shù)法求擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差：例：

對于圖示系統(tǒng)，試求r(t)=t，n(t)=1(t)時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。R(s)E(s)C(s)-N(s)解：

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為為1型二階系統(tǒng)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的,在r(t)=t，穩(wěn)態(tài)誤差在擾動信號作用下的誤差表達式為：n(t)=1(t)時，穩(wěn)態(tài)誤差為：系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為：八：減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差包括輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差和擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差兩部分。要減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)從分別減小或消除這兩部分穩(wěn)態(tài)誤差入手。1：增大系統(tǒng)開環(huán)增益或擾動作用點之前系統(tǒng)的前向通道增益。在輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)開環(huán)增益成反比，增大系統(tǒng)開環(huán)增益，有利于減小在輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與擾動作用點之前系統(tǒng)的前向通道增益成反比，增大該增益，有利于減小擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)當注意，在大多數(shù)情況下，對于高階系統(tǒng)，系統(tǒng)開環(huán)增益的增加有可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定。2、在系統(tǒng)前向通道或主反饋通道中設(shè)置串聯(lián)積分環(huán)節(jié)。在系統(tǒng)前向通道中設(shè)置串聯(lián)積分環(huán)節(jié)，提高了系統(tǒng)型別，有利于減小或消除輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。為了減小或消除擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的位置應(yīng)加在擾動作用點之前的前向通道或反饋通道中。3、串級控制抑止內(nèi)回路擾動—適用控制精度要求較高時4、采用復(fù)合控制的方法采用復(fù)合控制，也可以減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差。對于圖示系統(tǒng)，試求r(t)=t，n(t)=1(t)時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

R(s)E(s)C(s)-N(s)解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

為1型二階系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定在r(t)=t，穩(wěn)態(tài)誤差在擾動信號作用下的誤差表達式為：n(t)=1(t)時，穩(wěn)態(tài)誤差為：系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4-1根軌跡法的基本概念4-2根軌跡繪制的基本法則4-3廣義根軌跡4-4系統(tǒng)性能的分析第四章

線性系統(tǒng)的根軌跡法

§

1根軌跡法的基本概念C(s)R(s)-20j-20jG(s)C(s)R(s)H(s)4－2繪制根軌跡的基本法則法則1

根軌跡的起點和終點：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。如果開環(huán)零點數(shù)m<n，則有（n-m）條根軌跡終止于無窮遠處。證明：根軌跡方程

模值方程

根軌跡起點：要使模值方程成立，則所以pi是根軌跡起點。根軌跡終點要使模值方程成立，則所以zi是根軌跡終點。當m<n時，有m條根軌跡到開環(huán)零點止，另有（n-m）條根軌跡終止于無窮遠處說明：如果m>n，則應(yīng)有（m-n)條根軌跡的起點在處。法則2

根軌跡的分支數(shù)和對稱性：根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點數(shù)和有限極點數(shù)中的大者相等，它們是連續(xù)的并且對稱于實軸