統(tǒng)計學第六章 參數(shù)估計

第6章參數(shù)估計PowerPoint統(tǒng)計學學習目標估計量與估計值的概念點估計與區(qū)間估計的區(qū)別評價估計量優(yōu)良性的標準一個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法樣本量的確定方法參數(shù)估計的一般問題1估計量與估計值2點估計與區(qū)間估計3評價估計量的標準參數(shù)估計要求1、精度要求：所謂精度就是估計誤差的最大范圍，即誤差的最大值，可通過極限誤差來反映2、可靠性要求：所謂可靠性是指估計結(jié)果正確的概率大小參數(shù)估計精確要求待估計的總體參數(shù)是，用以估計該參數(shù)的統(tǒng)計量是，抽樣估計的極限誤差是Δ，即

1、極限誤差Δ是根據(jù)研究對象的變異程度和分析任務(wù)的性質(zhì)來確定的允許誤差范圍。

2、Δ越小，估計的精度要求越高，Δ越大，估計的精度要求越低。極限誤差的確定要以實際需要為基本標準。參數(shù)估計可靠性要求

1、可靠性是抽樣估計本身正確性的一個概率保證，即估計的置信度。

2、對于連續(xù)型隨機變量，它在一個點上取值的概率為零，因此，對服從連續(xù)型分布的抽樣統(tǒng)計量，直接用它去估計總體參數(shù)值很難說是可靠的。用統(tǒng)計量估計總體參數(shù)值，稱為點估計。點估計完全正確的概率通常為0。因此，我們更多的是考慮用樣本統(tǒng)計量去估計總體參數(shù)的范圍，這就是區(qū)間估計。

參數(shù)估計要求估計中精度要求與可靠性要求是一對矛盾。例如，通過抽樣估計某班學生某課程平均成績的范圍，這時我們要考慮這個估計正確的概率大小問題。一種極端估計是：平均成績在0與100分之間。顯然這個范圍的估計，正確的概率很大，100%的正確，但這個估計無精度可言。如提高精度，估計平均成績在70分到80分之間，這時估計正確的把握性肯定低于1。

估計量與估計值估計量：用于估計總體參數(shù)的隨機變量如樣本均值，樣本比例,樣本方差等例如:樣本均值就是總體均值的一個估計量參數(shù)用表示，估計量用表示估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值如果樣本均值x

=80，則80就是的估計值估計量與估計值

(estimator&estimatedvalue)點估計與區(qū)間估計點估計

(pointestimate)用樣本的估計量的某個取值直接作為總體參數(shù)的估計值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計；用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計無法給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息雖然在重復(fù)抽樣條件下，點估計的均值可望等于總體真值，但由于樣本是隨機的，抽出一個具體的樣本得到的估計值很可能不同于總體真值一個點估計量的可靠性是由它的抽樣標準誤差來衡量的，這表明一個具體的點估計值無法給出估計的可靠性的度量區(qū)間估計

(intervalestimate)在點估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差而得到根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量比如，某班級平均分數(shù)在75～85之間，置信水平是95%

樣本統(tǒng)計量

(點估計)置信區(qū)間置信下限置信上限區(qū)間估計的圖示x95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65x將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平，即與概率度對應(yīng)的概率。表示為(1-為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例常用的置信水平值有

99%,95%,90%相應(yīng)的

為0.01，0.05，0.10置信水平

(confidencelevel)

由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間統(tǒng)計學家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間

用一個具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個總體參數(shù)以一定的概率落在這一區(qū)間的表述是錯誤的置信區(qū)間

(confidenceinterval)置信區(qū)間

(95%的置信區(qū)間)重復(fù)構(gòu)造出的20個置信區(qū)間點估計值評價估計量的標準無偏性

(unbiasedness)無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學期望等于被估計的總體參數(shù)P(

)BA無偏有偏有效性

(efficiency)有效性：對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量，有更小標準差的估計量更有效

AB的抽樣分布的抽樣分布P(

)一致性

(consistency)一致性：隨著樣本量的增大，估計量的

值越來越接近被估計的總體參數(shù)AB較小的樣本量較大的樣本量P(

)一個總體參數(shù)的區(qū)間估計1總體均值的區(qū)間估計2總體比例的區(qū)間估計3總體方差的區(qū)間估計一個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體參數(shù)符號表示樣本統(tǒng)計量均值比例方差總體均值的區(qū)間估計

(正態(tài)總體、２已知，或非正態(tài)總體、大樣本)總體均值的區(qū)間估計

(大樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(２)

已知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似(n

30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對食品質(zhì)量進行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標準差為10g。試估計該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：。由于是正態(tài)總體，且方差已知?？傮w均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g~109.28g總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)【例】一家保險公司收集到由36個投保人組成的隨機樣本，得到每個投保人的年齡(單位：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間36個投保人年齡的數(shù)據(jù)233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲總體均值的區(qū)間估計

(正態(tài)總體、２未知、小樣本)總體均值的區(qū)間估計

(小樣本)1.

假定條件總體服從正態(tài)分布,但方差(２)

未知小樣本

(n<30)使用t

分布統(tǒng)計量總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為t分布

t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布xt

分布與標準正態(tài)分布的比較t分布標準正態(tài)分布t不同自由度的t分布標準正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)z總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命(單位：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8h～1503.2h總體比例的區(qū)間估計總體比例的區(qū)間估計1. 假定條件總體服從二項分布可以由正態(tài)分布來近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z3.總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體比例的區(qū)間估計

(例題分析)【例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，隨機地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%~74.35%

總體方差的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計1. 估計一個總體的方差或標準差2. 假設(shè)總體服從正態(tài)分布總體方差

2

的點估計量為s2,且4.總體方差在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體方差的區(qū)間估計

(圖示)221-2總體方差的1-的置信區(qū)間自由度為n-1的2總體方差的區(qū)間估計

(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3總體方差的區(qū)間估計

(例題分析)解:已知n＝25，1-＝95%,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得

s2=93.21

2置信度為95%的置信區(qū)間為

該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標準差的的置信區(qū)間為7.54g~13.43g一個總體參數(shù)的區(qū)間估計

(小結(jié))樣本量的確定1估計總體均值時樣本量的確定2估計總體比例時樣本量的確定影響抽樣數(shù)目的主要因素1、總體被研究標志的變異程度2、對推斷精確度的要求3、對推斷可靠性的要求4、抽樣調(diào)查的組織方式和方法5、人力、物力和財力的允許條件估計總體均值時樣本量的確定估計總體均值時樣本量n為樣本量n與總體方差2、邊際誤差E、可靠性系數(shù)Z或t之間的關(guān)系為與總體方差成正比與邊際誤差的平方成反比與可靠性系數(shù)成正比樣本量的圓整法則：當計算出的樣本量不是整數(shù)時，將小數(shù)點后面的數(shù)值一律進位成整數(shù)，如24