模糊信息處理

模糊信息處理北京科技大學目錄模糊模式識別1模糊聚類3模糊決策4模糊控制21、模糊模式識別模糊識別基本方法1模糊模式識別應用21.1、模糊識別基本方法根據(jù)給定的某個模型特征來識別它所屬的類型問題稱為模式識別。例如，給定一個手寫字符，然后根據(jù)標準字模來辨認它。模式識別是通過已知的各種模型來識別給定對象屬哪一類模型的問題。模式識別通常采用統(tǒng)計方法、語言方法和模糊識別方法。模糊識別方法主要建立在“最大隸屬原則”和“擇近原則”的基礎之上。最大隸屬原則：設A1,A2,…,An是論域X中的n個模糊集合——標準模型。對于給定的待識別對象x0?X，如果存在一個i?{1,2,…,n}，使得 Ai(x0)=max{A1(x0),A2(x0),…,An(x0)}

則認為x0相對隸屬于Ai。1.1、模糊識別基本方法例將人分為老、中、青三類，它們分別對應于三個模糊集合A1，A2，A3，其隸屬函數(shù)分別為①現(xiàn)有某人45歲，因A1(45)=0,A2(45)=1,A3(45)=0,故有 max{A1(45),A2(45),A3(45)}=A2(45)，即此人應屬于中年人②當x=30歲，A1(30)=0,A2(30)=0.5,A3(30)=0.5，故有

max{A1(30),A2(30),A3(30)}=A2(30)＝A3(30)，即對于30歲的人，既可以認為是青年人，也可以認為是中年人。1.1、模糊識別基本方法例三角形識別。用三元組(A,B,C)表示一個三角形，A、B、C分別是三角形的三個內(nèi)角，且A≥B≥C。則三角形集合為X={(A,B,C)|A+B+C=180°}

現(xiàn)考慮五類三角形，并將其作為模型——論域X中的五個模糊集合。 ①等腰三角形模糊集合I：隸屬函數(shù)為

I(A,B,C)=1-min{(A-B),(B-C)}/60 ②直角三角形模糊集合R：隸屬函數(shù)為

R(A,B,C)=1-|A-90|/90 ③等腰直角三角形模糊集合IR：因IR＝I∩R，故隸屬函數(shù)為

IR(A,B,C)=min{I(A,B,C),R(A,B,C)} =1-max{min{(A-B),(B-C)}/60,|A-90|/90} ④正三角形模糊集合E：隸屬函數(shù)為

E(A,B,C)=1-(A-C)/180 ⑤其它三角形模糊集合T：因T=~(I∪E∪R)=~I∩~E∩~R,故

T(A,B,C)=min(3(A-B),3(B-C),2|A-90|,A-C}/180

1.1、模糊識別基本方法假設給定一個三角形x0=(85,50,45)，計算其對各個模型的隸屬度

I(x0)=0.916 R(x0)=0.94 IR(x0)=0.916 E(x0)=0.7 T(x0)=0.005按最大隸屬原則，應判定x0近似為直角三角形。

1.1、模糊識別基本方法擇近原則：設A1,A2,…,An是論域X中的n個模糊集合——標準模型，對于給定的待識別對象B(X中的模糊集合),若存在k，使得

①σ(Ak,B)=max{σ(A1,B),σ(A2,B),…,σ(An,B)},其中σ(Ai,B)表示B對Ai的貼近度，則認為B與Ak最相似；或 ②d(Ak,B)=min{d(A1,B),d(A2,B),…,d(An,B)},其中d(Ai,B)表示B與Ai的距離，則認為B與Ak最相似。1.1、模糊識別基本方法例設X為6個元素的集合，并設標準模型由以下模糊向量組成 A1=(1,0.8,0.5,0.4,0,0.1) A2=(0.5,0.1,0.5,1,0.6,0) A3=(0,1,0.2,0.7,0.5,0.8) A4=(0.4,0,1,0.9,0.6,0.5) A5=(0.8,0.2,0,0.5,1,0.7) A6=(0.5,0.7,0.8,0,0.5,1)現(xiàn)給定一個待識別的模糊向量B=(0.7,0.2,0.1,0.4,1,0.8)問B與哪個標準模型最相似？采用最大/最小貼近度計算：

σ(B,A1)=0.3333 σ(B,A2)=0.3778 σ(B,A3)=0.4545 σ(B,A4)=0.4348 σ(B,A5)=0.8824 σ(B,A6)=0.4565依據(jù)擇近原則，得B與A5最相似。1、模糊模式識別模糊模式識別應用2模糊識別基本方法11.2、模糊模式識別應用幾何圖形識別識別三角形識別四邊形用A、B、C、D表示四邊形的四個內(nèi)角,a、b、c、d表示四邊形的四條邊。①梯形B： B(x)=1-ρT×min{|A+B-180°|,|B+C-180°|}/180°

其中ρT為常數(shù)，通常可取1。②矩形RE：RE(x)=1-ρRE×[(A-90°)+(A-90°)+(A-90°)+(A-90°)]/90°

其中ρRE為常數(shù)，通?？扇?。③平行四邊形P：P(x)=1-ρP×max{|A-C|,|B-D|}/180°其中ρP為常數(shù)，通?？扇?。④菱形RH： RH(x)=1-ρRH×max{|a-b|,|b-c|,|c-d|,|d-a|}/s

其中ρRH為某一常數(shù)，s=a+b+c+d1.2、模糊模式識別應用幾何圖形識別識別多邊形設多邊形的邊和角分別為ai，Ai（i=1,2,…,n)①n邊等邊多邊形SD：

SD(x)=1-ρSD×max{|a1-a2|,|a2-a3|,…,|an-a1|}/s

其中ρSD為某一常數(shù)，②n邊等角多邊形AG：AG(x)=1-ρAG×max{|A1-[180°(n-2)/n]|,…,|An-[180°(n-2)/n]|}/180°

其中ρAG為某一常數(shù)。1.2、模糊模式識別應用例染色體識別。如圖給出了幾種染色體的一般形狀，它們可以作為識別染色體的標準模型。根據(jù)這些染色體形狀的共有特征，先對其做統(tǒng)一的前處理，視其為下圖表示的六邊形。一種特殊的染色體稱之為“對稱染色體”,具有：a1=a2,a3=a4,A2i-1=A2i(i=1,2,3,4)。這種染色體也可作為識別的標準模型，視其為模糊集合S，則另外三個標準模型為模糊集合M、SM、AC：

A1A2A3A4A5A6a1a2a3a4a5對于任意一個染色體x，應首先進行前處理，用一組線段將其外形勾畫出一個六邊形，再根據(jù)邊ai、角Ai計算隸屬度，最后由最大隸屬原則判斷x屬于哪類染色體。1.2、模糊模式識別應用文字識別書寫規(guī)范中含有極大的模糊性。將模糊數(shù)學引入模糊識別后，機器文字識別問題有了很大的進展。1.2、模糊模式識別應用例在計算機中存放十個阿拉伯數(shù)字的標準模型。例如下圖a是數(shù)字6的標準字模。它由一個5×4的點陣刻畫，將其轉化為機器可識別的0、1數(shù)據(jù)：對于任何一小方格，若被某一筆畫覆蓋，則將用1表示，否則用0表示。則數(shù)字“6”其對應的字模矩陣為：假設現(xiàn)有一個待識別的手寫如圖b所示，識別時，首先將其轉化成字模矩陣B，則識別問題屬于一種群體識別問題，可采用擇近原則進行識別。在實際應用中，為了更精確的識別文字，通常選用更大的字模點陣，例如9×18、16×16、24×24甚至更大。計算量隨之大幅度增加。對于圖像識別，例如照片、指紋等，也可以采用原理相同的方法，采用[0,1]間的實數(shù)表示圖像中的灰度，從而得出模型矩陣和識別對象矩陣（都是模糊矩陣）。ab模糊信息處理模糊控制2模糊聚類3模糊決策4模糊模式識別12、模糊控制模糊控制基礎1模糊控制應用實例22.1、模糊控制基礎設有一個儲水器K，具有可變水位x，調(diào)節(jié)閥y能夠向K中注水或從K向外排水?，F(xiàn)需要設計一個控制器，通過調(diào)節(jié)閥y將水位穩(wěn)定在零點附近。根據(jù)操作者的經(jīng)驗，對水位的控制可有以下的控制策略：①若x較0大得多(稱為正大，記為PB),則y大量排水(稱為負大，記為NB)；②若x較0稍大(稱為正小，記為PS),則y小量排水(稱為負小，記為NS)；③若x與0相等，則y保持不動(記為y=0)；④若x較0稍小(稱為負小，記為NS)，則y小量注水(稱為正小，記為PS)；⑤若x較0小得多(稱為負大，記為NB)，則y大量注水(稱為正大，記為PB)。根據(jù)這些，可以設計出描述控制規(guī)則模糊集合R。右圖給出了模糊控制器的框圖。通過某些手段對受控對象逐次進行觀測取得觀察量——模糊集合A，再按一定的控制規(guī)則R便可以得到控制量B=A?R?？刂屏緽也是一個模糊集合，它為控制器對當前情況的確切響應動作的確定提供依據(jù)。實現(xiàn)模糊控制需要三個基本步驟：①模糊化；②建立模糊控制規(guī)則，構造模糊變換器；③模糊判決。控制規(guī)則R控制量B觀察量A受控對象模糊控制器2.1、模糊控制基礎1、模糊化：實際控制問題中，觀測值及控制量常常是確切的值，需要將其轉化為模糊集合，即模糊化。模糊化分兩部分進行：①將觀測量論域中的語言值表示成模糊集合；②確定論域的劃分。將語言值表示成模糊集合可以主觀地定義，通常將連續(xù)的論域通過劃分等級的方法先離散化，然后在在此論域上定義語言值的模糊集合。例如，假設在實際中“誤差”的論域為X＝[-6,6]，將其離散化后為X={x|x=-6,-5,…,5,6},用模糊集合A表示“誤差”的語言變量，它有7個元素——語言值：負大、負中、負小、零、正小、正中、正大。A的隸屬函數(shù)如下表所示。-6-5-4-3-2-10123456負大負中負小零正小正中正大10.2000000.80.8000000.310.100000.10.80.7000000.210.1000000.80.8000000.210.2000000.80.7000000.110.2000000.70.80.100000.210.3000000.70.8000000.312.1、模糊控制基礎隸屬函數(shù)曲線劃分法：假設論域X上的語言變量A取5個語言值：A1、A2、A3、A4、A5，其隸屬函數(shù)如下圖所示。圖中N1、N2、N3、N4為5條曲線的交點，我們定義各交點的橫坐標為劃分界限(-∞,x1]隸屬于A1，(x1,x2]隸屬于A2，(x2,x3]隸屬于A3，(x3,x4]隸屬于A4，(x4,∞)隸屬于A5，從而得到論域X的一個劃分。x1x2x3x4xA1(x)0N4A2(x)A3(x)A4(x)A5(x)N3N2N12.1、模糊控制基礎2、建立模糊控制規(guī)則和模糊變換器模糊條件語句的表示方法：①若A則B： R=AT?B R(x,y)=A(x)∧B(y)此模糊條件語句適用于單觀測量、單控制量的情況。②若A且B則C： R=s(D)?C其中s(D)表示將矩陣D“拉直”為單列，而

D=AT?B R(x,y,z)=A(x)∧B(y)∧C(z)此模糊條件語句適用于雙觀測量、單控制量的情況。③若A則B1，否則B2： R=AT?B1∪~AT?B2 R(x,y)=[A(x)∧B1(y)]∨[~A(x)∧B2(y)]此模糊條件語句適用于單觀測量、單控制量的情況。2.1、模糊控制基礎2、建立模糊控制規(guī)則和模糊變換器（續(xù)）④若A1則B1，否則若A2則B2，……，否則若An則Bn：此模糊條件語句適用于多觀測量、多控制量的情況。⑤若A1且B1則C1，否則若A2且B2則C2，……，否則若An且Bn則Cn：其中s(Di)表示將矩陣D”拉直”為單列，而 Di=AiT?Bi此模糊條件語句適用于多觀察窗量、多控制量的情況。2.1、模糊控制基礎2、建立模糊控制規(guī)則和模糊變換器（續(xù)）例1：設X={a,b,c},Y={!,@,#},X中的模糊集合A和Y中的模糊集合B為

A={(a,1.0),(b,0.5),(c,0.1)} B={(!,0.1),(@,0.6),(#,1.0)}模糊關系R：”若A則B”表示為：2.1、模糊控制基礎2、建立模糊控制規(guī)則和模糊變換器（續(xù)）例2：設X={a,b},Y={!,@,#},Z={$,%},X中的模糊集合A,Y中的模糊集合B和Z中的模糊集合C為

A={(a,1.0),(b,0.6)} B={(!,0.2),(@,0.7),(#,1.0)} C={($,0.3),(%,1.0)}則這樣，模糊關系R：”若A且B則C”表示為：2.1、模糊控制基礎2、建立模糊控制規(guī)則和模糊變換器（續(xù)）例3：設X={a,b,c},Y={!,@,#},Z={$,%},X中的模糊集合A和Y中的模糊集合B、C為

A={(a,0.2),(b,0.4),(c,0.9)} B={(!,0.1),(@,0.6),(#,0.3)} C={(!,0.9),(@,0.3),(#,0.7)}則模糊關系R：”若A則B否則C”表示為：2.1、模糊控制基礎3、模糊判別方法由于經(jīng)模糊控制系統(tǒng)得到的控制量是一個模糊集合，而系統(tǒng)的最終響應必須是確定的，所以對觀測量進行模糊變換后，必須進行模糊判決。模糊判決方法：①最大隸屬原則法根據(jù)最大隸屬原則，取模糊集合中隸屬函數(shù)值最大的點作為系統(tǒng)的確切響應。若模糊集合中隸屬度最大值有多個時，有兩種情況：隸屬度為最大值的元素為相連的若干個元素。隸屬函數(shù)表現(xiàn)為曲線具有一個平頂，取平頂中點所對應的論域中元素作為確切響應。隸屬度為最大值的元素不相接。最大隸屬原則法失效。最大隸屬原則法的特點是能夠突出主要信息，簡單直觀。缺點是不考慮其他所有次要信息，判別方法比較粗糙。2.1、模糊控制基礎3、模糊判別方法（續(xù)）②中位數(shù)判決法論域X中將隸屬函數(shù)曲線與橫坐標圍成的面積平分為兩部分的元素x*稱為中位數(shù)。將模糊控制量的模糊集合之中位數(shù)取做系統(tǒng)的確切響應稱為“中位數(shù)判決法”。令X={x1,x2,…,xn},B為模糊控制量，則中位數(shù)xk滿足例：設模糊控制量為{(-4,0.1),(-3,0.5),(-2,0.1),(-1,0),(0,0.1),(1,0.2),(2,0.4),(3,0.5),(4,0.1)}由于0.1+0.5+0.1+0.1+0.2=0.4+0.5+0.1所以取xk=1，即選1為系統(tǒng)的確切響應。例：設模糊控制量為{(-4,0.1),(-3,0.5),(-2,0.1),(-1,0),(0,0.1),(1,0.4),(2,0.5),(3,0.1),(4,0.2)}則1/2面積為：S=(0.1+0.5+0.1+0.1+0.4+0.5+0.1+0.2)/2=1由于0.1+0.5+0.1+0.1=0.80.1+0.5+0.1+0.1+0.4=1.2所以中位數(shù)x*在0與1之間，可以采用線性插值的方法，得x*＝0.52.1、模糊控制基礎3、模糊判別方法（續(xù)）③加權平均法記論域X＝{x1,x2,…,xn},B為模糊控制量，wi為xi的權重(i=1,2,…,n)。若系統(tǒng)的確切響應取元素的加權平均值則稱為“加權平均法”。加權平均法的關鍵在于權系數(shù)的選取。元素的隸屬度是常用的一種權系數(shù)選取方法，這時有例：設模糊控制量為{(-4,0.1),(-3,0.5),(-2,0),(-1,0.1),(0,0.6),(1,0.3),(2,0.2),(3,0.1),(4,0.1)}取元素的隸屬度為權系數(shù)，則系統(tǒng)的確切響應為：x*=-0.6/2=-0.32、模糊控制模糊控制應用實例2模糊控制基礎12.2、模糊控制應用實例以水位控制問題為例(1)模糊化①觀測量：用水位對于0點的偏差x?X表示 X={-3,-2,-1,0,1,2,3}即采用等級單位來描述水位偏差。記水位模糊觀測量為5個模糊集合：PBx(正大)、

PSx(正小)、Ox(零)、

NSx(負小)、

NBx(負大)，它們的隸屬函數(shù)如右表所示。②控制量：用調(diào)節(jié)閥角度增量y?Y表示

Y={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}記調(diào)節(jié)閥模型控制量為5個模糊集合：PBy(正大)、

PSy(正小)、Oy(零)、

NSy(負小)、

NBy(負大)，它們的隸屬函數(shù)如右表所示。-3-2-10123PBx000000.51PSx000010.50Ox000.510.500NSx00.510000NBx10.500000-4-3-2-101234PBy0000000.20.51PSy000000.510.50Oy000.20.510.50.200NSy00.510.500000NBy10.50.20000002.2、模糊控制應用實例(2)建立模糊控制規(guī)則，構造模糊變換器對水位的控制采用以下控制規(guī)則：①若x較0大得多(稱為正大，記為PBx),則y大量排水(稱為負大，記為NBy)；②若x較0稍大(稱為正小，記為PSx),則y小量排水(稱為負小，記為NSy)；③若x與0相等(0x)，則y保持不動(0y)；④若x較0稍小(稱為負小，記為NSx)，則y小量注水(稱為正小，記為PSy)；⑤若x較0小得多(稱為負大，記為NBx)，則y大量注水(稱為正大，記為PBy)。根據(jù)控制規(guī)則，得到控制規(guī)則表按照控制規(guī)則表，得到模糊關系變換器R——從X到Y的模糊關系 R=(NBx?PBy)∪(NSx?PSy)∪(0x?0y)∪(PSx?NSy)∪(PBx?NBy)若PBxPSx0xNSxNBx則NByNSy0yPSyPBy2.2、模糊控制應用實例2.2、模糊控制應用實例2.2、模糊控制應用實例對于任一觀測量x,可得到模糊控制量y=x?R例如，有觀測量x0=PSx=[000010.50]，則模糊控制量為y0=x0?R=[0.50.510.50.50.50.200]2.2、模糊控制應用實例(3)模糊判決

采用最大隸屬原則法。對于觀測量x0所得的控制量y0y0={(-4,0.5),(-3,0.5),(-2,1),(-1,0.5),(0,0.5),(1,0.5),(2,0.2),(3,0),(4,0)}

確切響應取-2級。模糊信息處理模糊聚類3模糊控制2模糊決策4模糊模式識別13、模糊聚類聚類分析是對事物按不同水平進行分類的方法。換言之，聚類分析是將事物根據(jù)一定的特征，并且按某種特定的要求或規(guī)律進行分類的方法。聚類分析的對象是尚未分類的群體。例如，對一個班的學生學習成績做“優(yōu)”、“良”、“一般”、“差”四個等級的分類；工廠檢驗科將某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為“特等品”、“一等品”、“二等品”、“等外品”和“次品”等等。對帶有模糊特征的事物進行聚類分析，采用模糊數(shù)學的方法，稱其為模糊聚類分析。模糊聚類分析的方法大致分為三大類：系統(tǒng)聚類法：是一類基于模糊關系的分類法。其中包括基于模糊等價關系的聚類方法（傳遞閉包法）、基于模糊相似關系的聚類方法（直接法）、最大樹法（直接法）等等；逐步聚類法（迭代聚類法、ISODATA法）；混合法：通過參考數(shù)據(jù)的分布規(guī)律及某些經(jīng)驗、要求等進行分類。3、模糊聚類模糊聚類分析的基本步驟1傳遞閉包法2直接聚類法33.1、模糊聚類分析的基本步驟系統(tǒng)聚類法的基本步驟是：標定過程：由原始統(tǒng)計數(shù)據(jù)構造模糊相似關系矩陣R；聚類過程：根據(jù)標定生成的模糊相似矩陣R，按各種不同的水平對分類事物進行劃分。標定過程：記要構造的相似矩陣為R=(rij)，(i,j=1,2,…,n)設論域U={x1,x2,…,xn}為待分類事物的全體，而每一分類對象xi是由R中一組元素ri1,ri2,…,rim來表征。通常根據(jù)實際情況，可選用以下方法：⑴數(shù)量積法3.1、模糊聚類分析的基本步驟⑵相似系數(shù)法其中⑶夾角余弦法3.1、模糊聚類分析的基本步驟⑷指數(shù)相加法其中⑸明可夫斯基法其中C、a是兩個適當選擇的常數(shù)，它們應使得0≤rij≤1；d(xi,xj)為明可夫斯基距離，常采用的有海明距離、歐幾里得距離。特別地，當選用海明距離且取a=1時⑹蘭氏距離法其中a為適當選擇的常數(shù)3.1、模糊聚類分析的基本步驟⑺絕對指數(shù)法其中⑻絕對值倒數(shù)法⑼最大最小法此法適用于xik?[0,1]時的情況。3.1、模糊聚類分析的基本步驟⑽算術平均最小法⑾幾何平均法⑿主觀評定法有實際經(jīng)驗者直接對xi與xj的相似程度評分，作為rij的值。3、模糊聚類傳遞閉包法2模糊聚類分析的基本步驟1直接聚類法33.2、傳遞閉包法模糊等價矩陣能對論域進行等價劃分。通常情況下，標定過程構造出的模糊關系僅滿足自反性和對稱性，而不滿足傳遞性。在模糊相似矩陣的基礎上生成模糊等價矩陣，求該模糊矩陣的傳遞閉包t(R),可以等到一個模糊等價矩陣。采用傳遞閉包法進行聚類的過程，歸納為以下兩個步驟：①生成等價模糊矩陣：由R求閉包生成模糊等價矩陣；②劃分：從大到小，依次取實數(shù)λ?[0,1]，計算Rλ，再根據(jù)Rλ對X進行等價劃分。最后便得到不同水平下對事物的分類及其“聚類圖”。3.2、傳遞閉包法例環(huán)境單元分類。每個環(huán)境單元包括四個要素：空氣、水份、土壤和作物，而環(huán)境單元的污染狀況可由污染物在四個要素中含量的超限度來描述。下表是對5個環(huán)境單元的污染狀況所做的記錄。環(huán)境單元空氣xi1水份xi2土壤xi3作物xi4a5532b2345c5523d1531e24313.2、傳遞閉包法取論域X={a,b,c,d,e},按C=0.1時的絕對值減數(shù)法構造模糊相似矩陣得用逐步平方法計算R的傳遞閉包t(R)得依次取t(R)的λ截矩陣，并且根據(jù)它對X進行等價劃分此等價布爾矩陣將X劃分為5類：{a},,{c},4yuycqo,{e}；此等價布爾矩陣將X劃分為4類：{a,c},,mqq2cc6,{e}；3.2、傳遞閉包法此等價布爾矩陣將X劃分為3類：{a,c},,{d,e}；此等價布爾矩陣將X劃分為2類：{a,c,d,e},；此等價布爾矩陣將X劃分為1類：{a,b,c,d,e}?？梢钥闯觯S著λ值由1向0減小，劃分越來越村，等價類由單元集最終演變?yōu)槿＞垲悎D如下：abcdeλ=1λ=0.8λ=0.6λ=0.5λ=0.43、模糊聚類直接聚類法3模糊聚類分析的基本步驟1傳遞閉包法23.3、直接聚類法當模糊相似矩陣的階數(shù)較高時，采用傳遞閉包法進行分類計算量較大。直接聚類法不必求模糊相似矩陣的傳遞閉包。步驟為：①取λ1=1(R中的最大值),對論域中所有元素xi構造相似類[xi]R={xj|rij=1},即將滿足rij=1的xi和xj歸為同一個類，構成相似類。對于兩個交集不空的相似類，應當將其歸并為一個相似類——取它們的并集。這樣得到關于R的傳遞閉包t(R)對應于λ1的等價劃分。②取λ2為R中的次最大值，并從R中找出相似程度為λ2的元素對(xi,xj),即rij=λ2。然后將取λ1＝1時所得到的所有劃分中含有xi與含有xj的等價類歸并(取其并集)。對所有這類元素進行歸并后，便得到了關于R的傳遞閉包t(R)對應于λ2的等價劃分。③取λ3為R中的第三大值，操作同②，最后等到關于R的傳遞閉包t(R)對應于λ3的等價劃分。④重復以上方法，直到X被歸并成單個等價類。另外，由于模糊相似矩陣總是對稱的，所以在計算過程中，只需考慮該矩陣關于主對角線的上（或下）三角區(qū)域中的元素。3.3、直接聚類法例設X={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7},現(xiàn)有模糊相似關系①λ1＝1，因為r13和r35為1，故得相似類{x1,x3},{x2},{x3,x5},{x4},{x6},{x7}但第一個和第三個相似類中有公共元素x3，所以應當歸并為一類，最后得λ1＝1的等價劃分為：{x1,x3,x5},{x2},{x4},{x6},{x7}②λ2＝0.8(R中次大值)。因為r12、r15、r46和r67為0.8，故將前面所得的等價類中x1所在類和x2所在類歸并，x4和x6所在類歸并，x6和x7所在類歸并。最后得到對應于λ2＝0.8的等價劃分{x1,x2,x3,x5},{x4,x6,x7}③λ3＝0.7(R中第三大值)。因為r34=0.7,故應將前面得到的等價類中x3所在類和x4所在類歸并，最后得到對應于λ3＝0.7的等價劃分{x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7}所得等價類包含了論域X中的所有元素，計算終止。3.3、直接聚類法例①λ1＝1：由于僅有主對角線上的元素為1，故得等價類均為單元集：{a},,{c},u60g86q,{e}②λ2＝0.8(R中次大值)：在R中，r13=0.8,故將前面所得等價類中x1所在類和x3所在類歸并得：{a,c},,ek2mqg6,{e}③λ3＝0.6(R中第三大值)：在R中，r45=0.6,故將前面所得等價類中x4所在類和x5所在類歸并得：

{a,c},,{d,e}④λ4＝0.5(R中第四大值)：在R中，r14=0.5,故將前面所得等價類中x1所在類和x4所在類歸并得：

{a,c,d,e},⑤λ5＝0.4(R中第五大值)：在R中，r25=0.4,故將前面所得等價類中x2所在類和x5所在類歸并得：

{a,b,c,d,e}所得等價類包含了論域X中的所有元素，計算終止。模糊信息處理模糊決策4模糊控制2模糊聚類3模糊模式識別14、模糊決策

主要介紹模糊映射、模糊變換及模糊方程在模糊決策眾多應用。從數(shù)學的觀點看，決策的目的就是要將論域中的對象進行排序，或者按照某種方法從論域中選出最優(yōu)對象。

4、模糊決策綜合評判1二元對比排序方法2意見集中34.1、綜合評判綜合評判問題又稱“綜合決策問題”，它解決的問題是在考慮多種因素的影響下對某種事物做出綜合決策。設X={x1,x2,…,xn}為n種因素，Y={y1,y2,…,ym}為m種決斷。在對某事物進行決策時，由于各種因素受到人的主觀因素影響，所以不同類型的人做出的決斷也會有所差異。事實上，Y中的m種決斷本身常常是具有模糊性的，因此綜合決斷應當是Y中的一個模糊集合:B={b1,b2,…,bm},其中bi反映了第i種決斷yi對模糊集合B的隸屬度——在綜合決斷中的地位。綜合決斷B依賴于各種因素的權重分配，它可以視為論域X的模糊集合A=(a1,a2,…,an)(為適合于模糊計算，一般要求A的分量和為1),其中ai描述了第i種因素的權重。給定一個權重分配集合A，應當有一個相應的綜合決斷B，因而需要建立一個從X到Y的模糊變換R。綜合決策的熟悉模型涉及三個要素： ①因素集合X={x1,x2,…,xn} ②決斷集合Y={y1,y2,…,ym} ③單因素決斷R=(rij)n×m綜合評判問題的數(shù)學描述是

B=A?R4.1、綜合評判綜合評判問題已知權重分配集合A，求以A權衡諸因素時，應當做出的決斷B=A?R例現(xiàn)對某種試銷服裝進行評價，以對最終的投產(chǎn)量決策提供科學依據(jù)。設

X={花色樣式，耐穿程度，價格費用} Y={很好，較好，較差，很差}設請若干人員對該服裝進行單因素評價后，就“花色樣式”項考慮，有20％的人認為很好，有70％的人認為較好，10％的人認為較差。于是 花色樣式:(0.2,0.7,0.1,0)類似地有 耐穿程度:(0,0.4,0.5,0.1)

價格費用:(0.2,0.3,0.4,0.1)綜合所有單決斷集合，導出模糊關系4.1、綜合評判現(xiàn)假設有兩類顧客，他們對X中給出的諸因素權重分配為

A1={0.2,0.5,0.3} A2={0.5,0.3,0.2}

則可求得他們對這種服裝的綜合評價為

B1={0.2,0.4,0.5,0.1} B2={0.2,0.5,0.3,0.1}

若按最大隸屬原則判斷，第一類顧客對此服裝的評價為“較差”，第二類顧客對此服裝的評價為“較好”。另外，經(jīng)計算得到的綜合評價向量一般不能保證其各分量之和為1，所以有時需要對其進行“歸一化”：

B’=(b1/S,b2/S,…,bm/S)其中4.1、綜合評判綜合評判逆問題已知綜合決斷B，求作出此決斷所依賴的因素權重A。綜合評判逆問題實質(zhì)上是求解模糊關系方程A?R=B。問題：①模糊關系方程無解；②模糊關系方程在有多個解的情況下，應當選擇那個解。近似處理方法：假設已有一組備擇的權重分配方案U={A1,A2,…,AS}，從中選擇一個最佳的權重分配方案Ai，使得由Ai所決定的綜合決斷Bi=Ak?R與已知的B最為接近?？刹捎觅N近度解決該問題。4.1、綜合評判例假設已知綜合評斷B={0.2,0.5,0.4,0.1}以及模糊關系現(xiàn)有備擇權重分配方案A1=(0.2，0.5，0.3)A2=(0.5，0.3，0.2)A3=(0.2，0.3，0.5)試從{A1,A2,A3}中選擇出最佳權重分配方案。首先計算各備擇權重分配方案對應的綜合決斷

B1=A1?R=(0.2,0.4,0.5,0.1)B2=A2?R=(0.2,0.5,0.3,0.1)B3=A3?R=(0.2,0.3,0.4,0.1)采用最大/最小貼近度σ(B1,B)=(0.2+0.4+0.4+0.1)/(0.2+0.5+0.5+0.1)=1.1/1.3=0.846σ(B2,B)=(0.2+0.5+0.3+0.1)/(0.2+0.5+0.4+0.1)=1.1/1.2=0.917σ(B3,B)=(0.2+0.3+0.4+0.1)/(0.2+0.5+0.4+0.1)=1/1.2=0.833所以A2=(0.5，0.3，0.2)為最佳權重分配方案。4、模糊決策二元對比排序方法2綜合評判1意見集中34.2、二元對比排序方法1、相對比較法二元相對比較矩陣：設論域X={x1,x2,…,xn}，對于X中任意的兩個元素xi和xj，定義“二元相對比較級”為正數(shù)： fj(xi)表示xi相對xj而言所具有的優(yōu)點， fi(xj)表示xj相對xi而言所具有的優(yōu)點。另外，規(guī)定fi(xi)=1。下表所示為一種二元相對比較級：二元相對比較矩陣為元素x、y相比較說明fx(y)fy(x)x與y”同等重要”對于某一性質(zhì)x、y具有相同貢獻11x比y”稍微重要”x的貢獻稍大于y，但不明顯13x比y”重要”x的貢獻大于y，比較明顯15x比y”重要得多”x的貢獻明顯大于y17x比y”絕對重要”x的貢獻絕對大于y(最高等級)19x比y處于兩相鄰判斷之間需要兩個判斷的折衷12,4,6,8之一4.2、二元對比排序方法相對比較法計算步驟：①計算二元相對比較矩陣；②構造“模糊相及矩陣”：

其中f(xi|xj)稱為“相對函數(shù)”，它的定義為：③選取Ψ中各行最小元素，記yi表示第i行最小元素；④令yk=max{y1,y2,…,yn},則取xk為第一優(yōu)越對象；⑤刪除Ψ的第k行和第k列，得n-1階模糊相及矩陣，重復③、④、⑤n次；⑥將各次所得的第一優(yōu)越對象順序排列便是排序結果。4.2、二元對比排序方法例設X＝{a,b,c},經(jīng)兩兩比較得二元比較級fb(a)=8fa(b)=5fc(b)=4fb(c)=7fc(a)=5fa(c)=3則二元相對比較矩陣為：由此得模糊相及矩陣為Ψ中各行最小元素的最大者是第一行的1，它對應的元素a是第一優(yōu)越對象，刪除第一行和第一列，得Ψ1中各行最小元素的最大者是第二行的1，它對應的c是第二優(yōu)越對象。所以第三優(yōu)越對象是b。則本例的排序結果為a，c，b。4.2、二元對比排序方法2、模糊優(yōu)先關系定序法設X={x1,x2,…,xn},按某種特性在X中建立模糊關系 C＝(cij)n×n其中，元素cij表示xi比xj優(yōu)越的程度，并且要求 (1)cij+cji=1 (