模擬信號(hào)數(shù)字處理方法

第1章時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)1.1引言1.2時(shí)域離散信號(hào)1.3時(shí)域離散系統(tǒng)1.4時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法

——線性常系數(shù)差分方程1.5模擬信號(hào)數(shù)字處理方法11.5模擬信號(hào)數(shù)字處理方法在緒論中已介紹了數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)相對(duì)于模擬信號(hào)處理技術(shù)的許多優(yōu)點(diǎn)，因此人們往往希望將模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣和量化編碼形成數(shù)字信號(hào)，再采用數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)進(jìn)行處理；處理完畢，如果需要，再轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)。這種處理方法稱為模擬信號(hào)數(shù)字處理方法。其原理框圖如圖1.5.1所示。圖中的預(yù)濾與平滑所起的作用在后面介紹。本節(jié)主要介紹采樣定理和采樣恢復(fù)。預(yù)濾A/DC數(shù)字信號(hào)處理D/AC平滑濾波圖1.5.1模擬信號(hào)數(shù)字處理框圖xa(t)ya(t)2對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣可以看做一個(gè)模擬信號(hào)通過(guò)一個(gè)電子開(kāi)關(guān)S。設(shè)電子開(kāi)關(guān)每隔周期T合上一次；每次合上的時(shí)間為τ<<T；1.5.1采樣定理及A/D變換器在電子開(kāi)關(guān)輸出端得到其采樣信號(hào)。該電子開(kāi)關(guān)的作用等效成一寬度為τ，周期為T(mén)的矩

形脈沖串pT(t)，采樣信號(hào)

就是xa(t)與pT(t)相乘

的結(jié)果。采樣過(guò)程如圖1.5.2(a)所示。34圖1.5.2對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣如果讓電子開(kāi)關(guān)合上時(shí)間τ→0，則形成理想采樣，此時(shí)

上面的脈沖串變成單位沖激串，用pδ(t)表示。pδ(t)中每個(gè)單位沖激處在采樣點(diǎn)上，強(qiáng)度為1，理想采樣

則是xa(t)與pδ(t)相乘的結(jié)果，采樣過(guò)程如圖1.5.2(b)所示。5圖1.5.2對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣上式中δ(t)是單位沖激信號(hào)，在上式中只有當(dāng)t=nT時(shí)，才可能有非零值，因此寫(xiě)成下式：（1.5.1）（1.5.2）用公式表示為7下面研究理想采樣前后信號(hào)頻譜的變化，從而找出為了使采樣信號(hào)能不失真地恢復(fù)原模擬信號(hào)，采樣速率Fs(Fs=T－1)與模擬信號(hào)最高頻率fc之間的關(guān)系。

8（1）沖激信號(hào)及其抽樣特性

預(yù)備知識(shí)t(1)0d(t)(2)沖激函數(shù)序列的傅氏變換......0TtdT(t)0……沖激序列的傅氏變換仍為沖激序列。設(shè)式中，Ωs=2π/T，稱為采樣角頻率，單位是rad/s。（1.5.4）12我們知道在傅里葉變換中，兩信號(hào)在時(shí)域相乘的傅里葉變換等于兩個(gè)信號(hào)分別的傅里葉變換的卷積，按照（1.5.2）式，推導(dǎo)如下：進(jìn)行傅里葉變換，得到對(duì)（1.5.1）式（1.5.5）13*可見(jiàn)，該頻譜為周期性信號(hào)，其周期為14圖1.5.3采樣信號(hào)的頻譜xa(t)是帶限信號(hào)，最高頻率為Ωc，其頻譜為Xa(jΩ)pδ(t)的頻譜Pδ(jΩ)的頻譜無(wú)重疊有重疊圖1.5.4采樣恢復(fù)如果滿足Ωs≥2Ωc，即滿足Fs≥2fc，基帶譜與其它周期延拓形成的譜不重疊。理想低通濾波器G(jΩ)從采樣信號(hào)中可以不失真地提取原模擬信號(hào)，如圖1.5.4所示。但如果選擇采樣頻率太低，或者說(shuō)信號(hào)最高截止頻率過(guò)高，使Fs<2fc,Xa(jΩ)按照采樣頻率Fs周期延拓時(shí)，形成頻譜混疊現(xiàn)象，用圖1.5.3(d)表示。這種情況下，再用圖1.5.4所示的理想低通濾波器對(duì)Xa(t)進(jìn)行濾波，得到的是失真了的模擬信號(hào)。下面用公式表示：17（1.5.6）18這里需要說(shuō)明的是，一般頻譜函數(shù)是復(fù)函數(shù)，相加應(yīng)是復(fù)數(shù)相加，圖1.5.3和圖1.5.4僅是示意圖。一般稱Fs/2為折疊頻率，只有當(dāng)信號(hào)最高頻率不超過(guò)Fs/2時(shí)，才不會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，否則超過(guò)Fs/2的頻譜會(huì)折疊回來(lái)而形成混疊現(xiàn)象，因此頻率混疊在Fs/2附近最嚴(yán)重。19總結(jié)上述內(nèi)容，采樣定理敘述如下：（1）對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣形成采樣信號(hào)，采樣信號(hào)的頻譜是原連續(xù)信號(hào)的頻譜以采樣頻率Ωs為周期進(jìn)行周期性的延拓形成的，用公式（1.5.5）表示。

20（1.5.5）21（2）設(shè)連續(xù)信號(hào)xa(t)屬帶限信號(hào)，最高截止頻率為Ωc，如果采樣角頻率Ωs≥2Ωc，那么讓采樣信號(hào)通過(guò)一個(gè)增益為T(mén)、截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器，可以唯一地恢復(fù)出原連續(xù)信號(hào)xa(t)。否則,Ωs<2Ωc會(huì)造成采樣信號(hào)中的頻譜混疊現(xiàn)象，不可能無(wú)失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。實(shí)際中對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣，需根據(jù)模擬信號(hào)的截止頻率，按照采樣定理的要求選擇采樣頻率，即Ωs≥2Ωc，但考慮到理想濾波器G(jΩ)不可實(shí)現(xiàn)，要有一定的過(guò)渡帶，為此可選Ωs=(3~4)Ωc。

另外，可以在采樣之前加一抗混疊的低通濾波器，濾去高于Ωs/2的一些無(wú)用的高頻分量，以及濾除其它的一些雜散信號(hào)。這就是在圖1.5.1中采樣之前加預(yù)濾的原因。

上面我們通過(guò)對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行理想采樣分析推導(dǎo)出采樣定理。采樣定理表示的是采樣信號(hào)的頻譜與原模擬信號(hào)xa(t)的頻譜之間的關(guān)系，以及由采樣信號(hào)不失真地恢復(fù)原模擬信號(hào)的條件。22要進(jìn)一步說(shuō)明的是，采樣信號(hào)用（1.5.2）式表示，它是用一串延時(shí)的單位沖激加權(quán)和表示的。

按照該式，在t=nT時(shí)，即在每個(gè)采樣點(diǎn)上，采樣信號(hào)的強(qiáng)度（幅度）準(zhǔn)確地等于對(duì)模擬信號(hào)的采樣值xa(nT)，而在t≠nT非采樣點(diǎn)上采樣信號(hào)的幅度為零。時(shí)域離散信號(hào)x(n)只有在n為整數(shù)時(shí)才有定義，否則無(wú)定義，因此采樣信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)不相同。23（1.5.2）但如果序列是通過(guò)對(duì)模擬信號(hào)采樣得到的，即x(n)=xa(nT)，序列值等于采樣信號(hào)在t=nT時(shí)的幅度，在第2章將通過(guò)分析時(shí)域離散信號(hào)的頻譜，得到此時(shí)序列的頻譜依然是模擬信號(hào)頻譜的周期延拓，因此由模擬信號(hào)通過(guò)采樣得到序列時(shí)，依然要服從采樣定理，否則一樣也會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象。24通過(guò)按等間隔T對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣，得到一串采樣點(diǎn)上的樣本數(shù)據(jù)，這一串樣本數(shù)據(jù)可看做時(shí)域離散信號(hào)（序列）。將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)由模/數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog/DigitalConverter,A/DC）完成，模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的原理框圖如圖1.5.5所示。圖1.5.5模/數(shù)轉(zhuǎn)換器原理框圖25設(shè)A/DC有M位，那么用M位二進(jìn)制數(shù)表示這一串樣本數(shù)據(jù)，即形成數(shù)字信號(hào)。因此，采樣以后到形成數(shù)字信號(hào)的這一過(guò)程是一個(gè)量化編碼的過(guò)程。例如：模擬信號(hào)xa(t)=sin(2πft+π/8)，式中f=50Hz,選采樣頻率Fs=200Hz，將t=nT代入xa(t)中，得到采樣數(shù)據(jù)：26當(dāng)

時(shí)，得到序列x(n)如下：x(n)={,0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879,}如果A/DC按照M=6進(jìn)行量化編碼，即上面的采樣數(shù)據(jù)均用6位二進(jìn)制碼表示，其中一位為符號(hào)位，則數(shù)字信號(hào)用

={,0.01100,0.11101,1.01100,1.11101,}用十進(jìn)制數(shù)表示的

={,0.37500,0.90625,-0.37500,-0.90625,}顯然量化編碼以后的和原x(n)不同。這樣產(chǎn)生的誤差稱為量化誤差，這種量化誤差的影響稱為量化效應(yīng)，這部分內(nèi)容將在第9章介紹。27我們已經(jīng)知道模擬信號(hào)xa(t)經(jīng)過(guò)理想采樣，得到采樣信號(hào),xa(t)和之間的關(guān)系用（1.5.2）式描述。1.5.2將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)（1.5.2）選擇采樣頻率Fs滿足采樣定理，的頻譜沒(méi)有頻譜混疊現(xiàn)象，可用一個(gè)傳輸函數(shù)為G(jω)的理想低通濾波器不失真地將原模擬信號(hào)xa(t)恢復(fù)出來(lái)，這是一種理想恢復(fù)。28下面先分析推導(dǎo)該理想低通濾波器的輸入和輸出之間的關(guān)系，以便了解理想低通濾波器是如何由采樣信號(hào)恢復(fù)原模擬信號(hào)的，然后再介紹在實(shí)際中數(shù)字信號(hào)如何轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)。（1.5.6）由（1.5.6）式表示的低通濾波器的傳輸函數(shù)G(jΩ）可以推導(dǎo)其單位沖激響應(yīng)g(t)：29因?yàn)棣竤=2πFs=2π/T，因此g(t)也可以用下式表示：（1.5.7）其單位沖激響應(yīng)g(t)：30理想低想濾波器的輸入、輸出分別為和ya(t)，將g(t)和

代入ya(t)，得到：31（1.5.8）32由于滿足采樣定理，ya(t)=xa(t)，因此得到：（1.5.9）式中，當(dāng)n=

,－1,0,1,2,時(shí)，xa(nT)是一串離散的采樣值，而xa(t)是模擬信號(hào)，t取連續(xù)值，g(t)的波形如圖1.5.6所示。33

圖1.5.6內(nèi)插函數(shù)g(t)波形其特點(diǎn)是:t=0時(shí)，g(0)=1;t=nT(n≠0)時(shí)，g(t)=0。在（1.5.9）式中，g(t)保證了在各個(gè)采樣點(diǎn)上，即t=nT時(shí)，恢復(fù)的xa(t)等于原采樣值，而在采樣點(diǎn)之間，則是各采樣值乘以g(t－nT)的波形伸展疊加而成的,這種伸展波形疊加的情況如圖1.5.7所示。

圖1.5.7理想恢復(fù)g(t)函數(shù)所起的作用是在各采樣點(diǎn)之間內(nèi)插，因此稱為內(nèi)插函數(shù)，而（1.5.9）式則稱為內(nèi)插公式。T2T3T這種用理想低通濾波器恢復(fù)的模擬信號(hào)完全等于原模擬信號(hào)xa(t)，是一種無(wú)失真的恢復(fù)。但由于g(t)是非因果的，因此理想低通濾波器是非因果不可實(shí)現(xiàn)的。下面介紹實(shí)際的數(shù)字信號(hào)到模擬信號(hào)的轉(zhuǎn)換。36圖1.5.8

D/AC方框圖37實(shí)際中采用D/AC（Digital/AnalogConverter）完成數(shù)字信號(hào)到模擬信號(hào)的轉(zhuǎn)換。D/AC包括三部分，即解碼器、零階保持器和平滑濾波器，D/AC方框圖如圖1.5.8所示。解碼器的作用是將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域離散信號(hào)xa(nT)，零階保持器和平滑濾波器則將xa(nT)變成模擬信號(hào)。由時(shí)域離散信號(hào)xa(nT)恢復(fù)模擬信號(hào)的過(guò)程是在采樣點(diǎn)內(nèi)插的過(guò)程。

理想低通濾波的方法是用g(t)函數(shù)作內(nèi)插函數(shù)，還可以用一階線性函數(shù)作內(nèi)插。零階保持器是將前一個(gè)采樣值進(jìn)行保持，一直到下一個(gè)采樣值來(lái)到，再跳到新的采樣值并保持，因此相當(dāng)于進(jìn)行常數(shù)內(nèi)插。

零階保持器的單位沖激函數(shù)h(t)以及輸出波形如圖1.5.9所示。38圖1.5.9零階保持器的輸出波形39對(duì)h(t)進(jìn)行傅里葉變換，得到其傳輸函數(shù)：（1.5.10）40其幅度特性和相位特性如圖1.5.10所示