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文檔簡介

9.3第二型曲線積分

9.3.1第二型曲線積分的定義與性質(zhì)

引例

求在力場

沿一平面曲線

的作用下，質(zhì)點(diǎn)L從A移動(dòng)B把

弧分n成段，在

上任取一點(diǎn)

質(zhì)點(diǎn)在力場中從Mi-1沿

移動(dòng)到Mi所做的功

依次插入n-1個(gè)分點(diǎn)

到所做的功.O定義9.5設(shè)L為xOy面內(nèi)一有向光滑曲線，

A,B為L的兩端點(diǎn),P(x,y),Q(x,y)在

L上有界.將有向弧段

次用點(diǎn)

順分開，M0為A點(diǎn),Mn為B點(diǎn)，Mi

坐標(biāo)為(xi,yi)

,記

在

上任取一點(diǎn)

n個(gè)小弧段中最大長度記為l

.如果

存在，則稱此極限值為第二型曲線積分，也稱為對(duì)稱坐標(biāo)的曲線積分，記成當(dāng)

時(shí),

當(dāng)

時(shí),

P(x,y),Q(x,y)稱為被積函數(shù)，

L稱為被積弧段，或積分路徑.如果是閉合曲線，又可記成

性質(zhì)1設(shè)C是弧上一點(diǎn)，則

性質(zhì)2定理9.7設(shè)P(x,y),Q(x,y)在有向光滑

L上連續(xù)，則曲線

積分

存在.

9.3.2

第二型曲線積分的計(jì)算

定理9.8設(shè)P(x,y),Q(x,y)在有向弧段

上連續(xù)，

的參數(shù)方程為

當(dāng)t單調(diào)地a由變到b時(shí)，

M(x,y)從A沿

到

B,連續(xù)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零，則有公式（9.15）

設(shè)空間曲線所滿足的條件與定理9.8的類似，則有（9.16）

例1求

L為沿

上半圓從A(a,0)到

B(-a,0)的部分

.解

當(dāng)點(diǎn)從A到B時(shí),t由0變到p.積分弧段改成沿直線y=0,從A(a,0)到B(-a,0),則

寫成x=x

,y=0

,

x從

a變到

–a,于是

例2求式中G是從A(1,2,3)到O(0,0,0)的直線段.

解G:

其參數(shù)式:

t從1變到0.橫坐標(biāo)的平方的力場上求質(zhì)點(diǎn)沿拋物線

例3在方向?yàn)榭v軸負(fù)方向，且力的模等于作用點(diǎn)的A(1,0)移動(dòng)到B(0,1)（第一象限內(nèi)）所做的功.

從解

力場

9.3.3兩類曲線積分之間的聯(lián)系

定理9.9設(shè)L為有向曲線弧,L的方程是

連續(xù)可導(dǎo)且不同時(shí)為零，

P(x,y),Q(x,y)在L上連續(xù)，

是L上點(diǎn)(x,y)處切向量的方向角，則有公式（9.17）

例4化對(duì)坐標(biāo)

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