計量經(jīng)濟學(xué)第5章 異方差

1第5章異方差

§5.1異方差的概念一元和多元線性回歸模型的第二條假設(shè)，是隨機誤差項的方差為常數(shù)，即Var(ui)=σ2不隨i變化。異方差可表示為Var(ui)=σi2≠常數(shù)，即Var(ui)≠Var(uj)，i≠j,i,j=1,2,…,n此時稱ui具有異方差性。2或者用隨機誤差項向量的協(xié)方差矩陣表示為：3異方差一般可歸結(jié)為三種類型：1遞增型異方差：σi2隨X的增大而增大；2遞減型異方差：σi2隨X的增大而減?。?復(fù)雜型異方差：σi2與X的變化呈復(fù)雜形式。45§5.2異方差的來源與后果一般經(jīng)驗告訴我們：異方差性常來源于截面數(shù)據(jù)。異方差來源于測量誤差和模型中被省略的一些因素對被解釋變量的影響。異方差產(chǎn)生于計量經(jīng)濟模型所研究的問題本身例1居民家庭的儲蓄行為：6用分組數(shù)據(jù)來估計經(jīng)濟計量模型也是異方差性的一個重要來源。例2以絕對收入假設(shè)為理論假設(shè)，以截面數(shù)據(jù)為樣本建立居民消費函數(shù)：7例3以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型：其中產(chǎn)出量Y，資本K，勞動L，技術(shù)A異方差來源于許多復(fù)雜的因素，可能是投資環(huán)境，也可能是勞動力的素質(zhì)等。8異方差性的后果1參數(shù)估計量非有效2變量的顯著性檢驗失去意義3模型的預(yù)測失效9§5.3異方差檢驗異方差性，即相對于不同的樣本點，也就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機誤差項具有不同的方差，那么檢驗異方差性，也就是檢驗隨機誤差項的方差與解釋變量觀測值之間的相關(guān)性。

Var(ui)=E(ui2)10（一）圖示法既可利用Y-X的散點圖進行判斷，也可利用ei2-X的散點圖進行判斷：對前者看是否存在明顯的散點擴大、縮小或復(fù)雜型趨勢；對后者看是否形成一斜率為零的直線。注：圖示法只能進行大概的判斷。1112（二）戈德菲爾德-夸特(Goldfeld-Quandt)檢驗此檢驗方法以F檢驗為基礎(chǔ)，適合于樣本容量較大，異方差為單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的情況。原假設(shè)為：H0:ui是同方差，即σ12=σ22=…=σn2備擇假設(shè)為：H1:ui是遞增（或遞減）異方差，即σi2隨X遞增（或遞減）(i=1,2,…,n)檢驗過程如下：1、將解釋變量觀測值Xi按大小的順序排列，被解釋變量觀測值Yi保持原來與解釋變量的對應(yīng)關(guān)系。132、按照上述順序排列的觀測值，把位于中間的c個刪去，刪去的數(shù)目c是Goldfeld-Quandt通過試驗的方法確定的。對于n≥30時，刪去的中心觀測數(shù)目為整個樣本數(shù)目的四分之一最合適（比如n=30,c=8;n=60,c=16）,將剩下的(n-c)個觀測值劃分為大小相等的兩個子樣本，每個子樣本的容量均為(n-c)/2，其中一個子樣本是相應(yīng)的觀測值Xi較大的部分，另一個子樣本是相應(yīng)的觀測值Xi較小的部分。143、對兩個子樣本分別求出回歸方程，并計算出相應(yīng)的殘差平方和。設(shè)為X較小的子樣本的殘差平方和，設(shè)為X較大的子樣本的殘差平方和，它們的自由度均是，其中k為模型中解釋變量的個數(shù)。154、選擇統(tǒng)計量若是檢驗遞增方差，若是檢驗遞減方差，16這里，兩個殘差平方和除以各自的自由度，就得到隨機誤差項u的方差的兩個估計量。粗略地講，如果兩個方差估計量相同，則表明ui具有同方差項，計算的F值就應(yīng)該接近于1。如果不同，那么計算的F值就應(yīng)該比1大出許多。5、在給定的顯著性水平下，利用F分布的臨界值Fα進行顯著性檢驗。當F>Fα?xí)r，應(yīng)拒絕H0，接受異方差性，當F≤Fα?xí)r，應(yīng)接受H0,ui是同方差的。17（三）懷特(white)檢驗此檢驗是更一般的檢驗方法，不需對異方差的性質(zhì)作任何假定。一般檢驗步驟：1、用OLS方法估計原回歸模型，得到殘差平方和序列ei2;2、構(gòu)造輔助回歸模型ei2=f(Xi1,…,Xik,Xi12,…,Xik2,Xi1Xi2,…,Xi(k-1)Xik)其中f是含常數(shù)項的線性函數(shù)，系數(shù)為αj，j=1,…,g。用OLS方法估計此模型得到R2。183、提出原假設(shè)：H0:αj=0,j=1,…,g備擇假設(shè)：H1:αj中至少有一個不等于零。4、計算統(tǒng)計量

WT(g)=nR2～χ2(g)其中g(shù)=5、給定顯著性水平α，查臨界值χα2(g)，如果WT(g)<χα2(g)，則H0成立，原模型不存在異方差性；反之，則存在異方差性。19（四）帕克（Park）檢驗與戈里瑟(Gleiser)檢驗帕克檢驗與戈里瑟檢驗的基本思想是：以ei2或|ei|為被解釋變量，以原模型的某一解釋變量Xj為解釋變量,建立如下方程：或選擇關(guān)于變量Xj的不同的函數(shù)形式，對方程進行估計并進行顯著性檢驗。如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方差性。20如帕克檢驗常用：或進行檢驗，若α在統(tǒng)計上顯著地異于零，表明存在異方差性。21優(yōu)點：不僅檢驗了異方差性是否存在，同時給出了異方差存在時的具體表現(xiàn)形式，為克服異方差提供了方便。但是，由于構(gòu)造|ei|與解釋變量的回歸式是探測性的，如果試驗?zāi)Ｐ瓦x得不好，則檢驗不出是否存在異方差。22（五）斯皮爾曼(Spearman)等級相關(guān)系數(shù)檢驗一般檢驗步驟：1、用OLS方法估計回歸模型，得到殘差序列ei;2、取ei的絕對值；分別將認為對異方差有關(guān)系的解釋變量Xij和|ei|按升序或降序劃分等級，并分別用自然數(shù)表示它們的等級。3、按Xij的等級依次排列；排列時，|ei|的等級與Xij的等級按原來樣本點的對應(yīng)關(guān)系進行排列。4、計算Xij和|ei|的等級差di，計算等級相關(guān)系數(shù)

-1<r<1235、判斷。等級相關(guān)系數(shù)進行顯著性檢驗。提出原假設(shè):H0:r=0,備擇假設(shè)：H1:r≠0。r近似服從均值為0，方差為1/（n-1）的正態(tài)分布。構(gòu)造Z統(tǒng)計量給定顯著性水平α，查正態(tài)分布表得臨界值Zα/2。當|Z|<Zα/2時，接受H0，此時等級相關(guān)系數(shù)不顯著，隨機誤差項無異方差性；反之，則存在異方差性。24§5.4異方差的修正方法

——加權(quán)最小二乘法

加權(quán)最小二乘法（Weightedleastsquares,WLS）加權(quán)最小二乘法是對原模型加權(quán)，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS法估計其參數(shù)。25如線性回歸模型為Yi=β0+β1X1i+…+βkXki+ui且經(jīng)過檢驗，已知誤差項ui有如下形式的異方差性那么我們可以用除模型的各項，得到26通過變量變換可得到一個新的線性回歸模型，新模型中的k+1個參數(shù)與原模型的參數(shù)完全相同。新模型誤差項的方差為顯然已經(jīng)不存在異方差問題。用這個新模型進行線性回歸分析，可以克服原模型