隨機過程第二章

應(yīng)用隨機過程

2/5/20231第二章隨機過程的概念隨機過程的定義隨機過程的分布與數(shù)字特征隨機過程的分類2.1隨機過程的定義

隨機過程的研究對象是隨時間演變的隨機現(xiàn)象，它是從多維隨機變量向一族(無限多個)隨機變量的推廣。給定一隨機試驗E，其樣本空間S={e}，將樣本空間中的每一元作如下對應(yīng)，便得到一系列結(jié)果：

一維、二維或一般的多維隨機變量的研究是概率論的研究內(nèi)容，而隨機序列、隨機過程則是隨機過程學(xué)科的研究內(nèi)容。從前面的描述中看到，它的每一樣本點所對應(yīng)的，是一個數(shù)列或是一個關(guān)于t的函數(shù)。定義2.1.1設(shè)隨機試驗E，其樣本空間S={e}，若對每個參數(shù)都有定義在S上的隨機變量，則稱一簇隨機變量為隨機過程。簡記為由定義可看出，隨機過程是兩個變量e和t的函數(shù)。理解：對于固定的樣本點eo，就是定義在T上的一個函數(shù)，稱之為的一條樣本路徑或一個樣本函數(shù)；對于固定的時刻to，是樣本空間S上的一個隨機變量；對于固定的t=t0，e=e0時X(e0,t0)=x0，則稱該過程在t0時刻處于狀態(tài)x0，簡記X(t0)=x0。X(t,e)的全體取值的集合稱為該隨機過程的狀態(tài)集或狀態(tài)空間。

例1：拋擲一枚硬幣的試驗，樣本空間是S={H,T}，現(xiàn)定義：其中P{H}=P{T}=1/2。則是一隨機過程。圖形如下：1234例２考慮是正常數(shù)，這是一個隨機過程。稱之為隨機相位正弦波。例5：考慮拋擲一顆骰子的試驗：2.2隨機過程的分布與數(shù)字特征若，滿足條件則稱為隨機過程的一維概率分布（分布律），且易知例1：拋擲一枚硬幣的試驗，定義一隨機過程：若存在非負可積函數(shù)，使得滿足則稱為隨機過程的一維概率密度。若存在非負可積函數(shù)，使得滿足則稱為隨機過程的n維概率密度。書本例2.2.1—2.2.3Kolmogorov研究了隨機過程X(t)與其有限維分布分布族的關(guān)系，證明了關(guān)于有限維分布函數(shù)族的重要性的定理：定理2.2.1(存在定理)為滿足下述性質(zhì)的有限維分布族：（１）對稱性：對于的任一排列有設(shè)（２）相容性：對于任意自然數(shù)m<n，隨機過程的m維分布函數(shù)與n維分布函數(shù)之間有關(guān)系：則F必為某個隨機過程的有限維分布族。例3設(shè)隨機過程X(t)=A+Bt，其中A和B是相互獨立的標準正態(tài)分布的隨機變量。試求X(t)的n維分布函數(shù)。解：利用正態(tài)分布的可加性，知X(t)服從一維正態(tài)分布。故服從n維正態(tài)分布。則的概率密度為其中協(xié)方差矩陣下面介紹一種利用特征函數(shù)求概率密度的方法。例4若正弦波隨機過程X(t)取如下形式：其中A，B是常數(shù)，隨機變量，即求在t時刻隨機過程X(t)的概率密度。解：根據(jù)特征函數(shù)的定義，有（1）此外，又有（2）比較(1)和(2)，得(二)隨機過程的數(shù)字特征例5設(shè)A,B是隨機變量，求X(t)=At+B的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)；進一步，若A,B獨立，且A~N(0,1)，B~N(1,2)問X(t)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。當A~N(0,1)，B~N(0,2)時解：例6設(shè)g(t)是以t為周期的矩形波函數(shù),X為服從兩點分布的隨機變量,其分布律為P{X=-1}=P{X=1}=1/2,令隨機過程Y(t)=g(t)X,求0LLtg(t)矩形波解：所以隨機過程的特征函數(shù)當X(t)為連續(xù)形隨機過程，其密度為當X(t)為離散形隨機過程，其分布律為n維隨機過程的特征函數(shù)若隨機過程的n維概率密度為則1-1(三)二維隨機過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征(四)復(fù)隨機過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征X(t),Y(t)是兩個實隨機過程—復(fù)隨機過程對于任意給定的即的聯(lián)合分布函數(shù)為Z(t)的分布函數(shù)。Z(t)的數(shù)字特征如下：—Z(t)的均方值函數(shù)—方差函數(shù)—自相關(guān)函數(shù)—自協(xié)方差函數(shù)Z(t)的數(shù)字特征可由X(t)、Y(t)的數(shù)字特征表示：見書本例2.2.102.3隨機過程的分類一、按參數(shù)集與狀態(tài)集分類1.離散參數(shù)集，離散狀態(tài)集隨機過程２.離散參數(shù)集，連續(xù)狀態(tài)集隨機過程３.連續(xù)參數(shù)集，離散狀態(tài)集隨機過程４.連續(xù)參數(shù)集，連續(xù)狀態(tài)集隨機過程注：稱狀態(tài)空間離散的隨機過程為鏈，參數(shù)空間離散的隨機過程為隨機（時間）序列。二、按概率結(jié)構(gòu)分類例:隨機過程在下列兩種情況下是否是二階矩過程。（1）是常數(shù)（2）具有概率密度解：所以是二階矩過程。（1）（2）所以不是二階矩過程。正態(tài)過程的判別方法：是正態(tài)過程見書本例2.3.6定義：設(shè)為一隨機過程。n個隨機變量相互獨立，則稱為獨立過程。性質(zhì)：定義：設(shè)為一隨機過程。稱為在處的增量。若增量相互獨立，則稱為獨立增量過程（可加過程）。直觀地說：在互不重疊的區(qū)間上，獨立增量過程狀態(tài)的增量相互獨立。特別地例：設(shè)為一獨立過程，則相互獨立，，則易知則相互獨立即為獨立增量過程。令獨立增量過程則為獨立增量過程。證明：為獨立增量過程。所以有以下性質(zhì)：設(shè)增量的分布函數(shù)為，則對于有證明：而相互獨立由X(t)獨立增量過程保證則獨立r.v.和的分布函數(shù)為其各自分布的卷積定義：設(shè)為一隨機過程，若對于存在，且對于任意的滿足：則稱為不相關(guān)增量過程若則稱為正