電子教案-新概念物理02粒子

第三節(jié)振動4.3振動OscillatoryMotion振動：質點圍繞平衡位置作周期性往復運動

機械振動

空間曲線三維直線振動

直線振動

傅里葉分析

FourierAnalysis

簡諧振動

SimpleHarmonicMotion

一、簡諧振動的運動學KinematicsofSHM1、簡諧振動Simpleharmonicmotion

一質點沿x軸的運動可用余弦函數(shù)(也可以正弦函數(shù))來表示時，此質點的運動稱為簡諧振動。

x=Acos(ωｔ+φ)

x：質點對原點的位移

ω：圓頻率

Frequencyofcycleωｔ+φ：相位

Phase

φ：初相Initialphase(t=0時)

A：振幅

Amplitude

T：周期

Period

υ：頻率

Frequency圓頻率、頻率和周期三者之間的關系：

ω=2πυ，υ=1/T

相位是決定質點在t時刻的運動狀態(tài)（位置、速度）的重要物理量

相位相差2π的整數(shù)倍，其質點的運動狀態(tài)相同。

2、簡諧振動的旋轉矢量Rotatingvector圖

矢量

OM逆時針以角速度ω轉動，矢量OM的端點M在OX軸上的投影點P的位移為：

x=Acos(ωｔ+φ)

矢量OM0是t=0時刻的位置，即為簡諧振動的旋轉矢量圖。MM0XOφωtxAωPXMPXAXAXAXAXAXAXAXAXAXAXAXA

φ’－φ＞0，Q超前Lead

Pφ’－φ＜0，Q落后LagbehindPφ’－φ＝0同相Synchronousφ’－φ＝π反相Antiphase

超前時間

Δt=（φ’－φ）/ω

超前相位

φ’－φ=ωΔｔMM

’QPOxφφ’ω例4-5物體沿X軸簡諧振動，振幅為0.12m，周期為2s。當t=0時，位移為0.06m，且向X軸正方向運動。求運動表達式，并求以x=-0.06m處回到平衡位置所需的最少時間。解：已知A=0.12m，T=2s，

ω=2π/T=π(rad/s).(1)初態(tài)t=0時，

x=0.06，v＞0，初相φ=－π/3,

運動表達式為：

x=0.12cos(πｔ-π/3)(m)ω(t=1s)B’(t=5/3s)BA(t=0)x(m)OφC0.06-0.06●●Δφ

(2)當x=-0.06m時，物體在旋轉矢量圖中的位置可能在B或B′處，顯然B處回到平衡位置C處所需時間為最少。因為OB與OC夾角為△φ=π/6，所以最少時間為：△t=△φ/ω=(π/6)/π=1/6秒ω(t=1s)B’(t=5/3s)BA(t=0)x(m)OφC0.06-0.06●●Δφ

3、簡諧振動的速度和加速度

(1)速度：ｖ=dx/dt=－ωAsin(ωｔ+φ)=ωAcos(ωｔ+φ+π/2)

速度超前位移相位π/2

(2)加速度:a=dv/dt=－ω2Acos(ωｔ+φ)=ω2.Acos(ωｔ+φ+π)

加速度與位移相反

4、簡諧振動的運動學方程

a=－ω2x

或d2x/dt2+ω2x=0

5、廣義簡諧振動任何一個物理量隨時間而變化的規(guī)律如果遵從余弦（正弦）函數(shù)的關系，則統(tǒng)稱為廣義簡諧振動。

v

的周相超前xπ2avtxx0a

與x

的周相相反。，

v

的周相超前xπ2avtvxx0a

與x

的周相相反。，

v

的周相超前xπ2avatvxx0a

與x

的周相相反。，位移、速度、加速度之間的

相位關系位移速度加速度xtvaω、φ以及振動方程。求：

[例]

一諧振動的振動曲線如圖所示。xAA21.00tω、φ0{xAA21.00tt=

0時x=A2以及振動方程。求：

[例]

一諧振動的振動曲線如圖所示。ω、φ＞000{xAA21.00tt=

0時x=A2v以及振動方程。求：

[例]

一諧振動的振動曲線如圖所示ω、φ＞000{πxA3xAA21.00tt=

0時x=A2v以及振動方程。求：

[例]

一諧振動的振動曲線如圖所示。ω、φ＞000{φ...=π3πxA3xAA21.00tt=

0時x=A2v以及振動方程。求：

[例]

一諧振動的振動曲線如圖所示。ω、φ＞000{φ...=π31{πxA3xAA21.00tt=

0時x=A2vt=1時x=0以及振動方程。求：

[例]

一諧振動的振動曲線如圖所示。ω、φ＞000{φ...=π311＜0{πxA3xAA21.00tt=

0時x=A2vt=1時x=0v=dxdt以及振動方程。求：

[例]

一諧振動的振動曲線如圖所示。ω、φ＞000{φ...=π311＜0{πxA3πA2xxAA21.00tt=

0時x=A2vt=1時x=0v=dxdt以及振動方程。求：

[例]

一諧振動的振動曲線如圖所示。ω、φ＞000{φ...=ππ311＜0{Φ1=2πxA3πA2xxAA21.00tt=

0時x=A2vt=1時x=0v=dxdt以及振動方程。求：

[例]

一諧振動的振動曲線如圖所示。...ωω、φ＞000{φφ...=ππ311＜0{Φ1=2Φ1=t1+=πxA3πA2xxAA21.00tt=

0時x=A2vt=1時x=0v=dxdt以及振動方程。求：

[例]

一諧振動的振動曲線如圖所示。...ωω、φ＞000{φφ...=πππ311＜0{Φ1=2Φ1=t1+=ω×13πxA3πA2xxAA21.00tt=

0時x=A2vt=1時x=0v=dxdt以及振動方程。求：

[例]

一諧振動的振動曲線如圖所示。...ωω、φ＞000{φφ...=πππ311＜0{Φ1=2Φ1=t1+=ω×13=π2πxA3πA2xxAA21.00tt=

0時x=A2vt=1時x=0v=dxdt以及振動方程。求：

[例]

一諧振動的振動曲線如圖所示。...ωω、φ＞000{φφ...=πππ311＜0{Φ1=2Φ1=t1+=ω×13=π2ω=56ππxA3πA2xxAA21.00tt=

0時x=A2vt=1時x=0v=dxdt以及振動方程。求：

[例]

一諧振動的振動曲線如圖所示。......x=Acos(56πtπ3)x=Acos(56πtπ3)本題ω的另一種求法：x=Acos(56πtπ3)本題π3xAt=0ω的另一種求法：x=Acos(56πtπ3)本題ππ32AxAt=1t=0ω的另一種求法：x=Acos(56πtπ3)本題πππππ32AxAt=1t=02+32=T1ω的另一種求法：x=Acos(56πtπ3)本題πππππ32AxAt=1t=02+32=T1T=125ω的另一種求法：...二、簡諧振動的動力學DynamicsofSHM由牛頓定律：kx=mdxdt22dxdtω22=+2x01、簡諧振動的動力學方程km=ωkm令2即：ω=（彈簧振子的圓頻率）FmXk0xxAcos)(tφ=+ω由ωφω()+tv=Asinxωω0000A==xvv)(tg22+φ=ω當t=0

時φφ00v=xAAcossin初始條件：

t=0，x=xo，v=vo注意：初相還需根據(jù)旋轉矢量圖中的

A的位置來確定

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。b自然長度mg

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b自然長度mgb自然長度靜平衡時mgFkb-mg=0

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0x平衡位置自然長度取靜平衡位置為坐標原點

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。b0bx

[

例]

垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧伸長量為b

。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。自然長度自然長度b平衡位置自然長度b平衡位置0xx自然長度b平衡位置0xx任意位置時小球所受到的合外力為：自然長度b平衡位置0xx任意位置時小球所受到的合外力為：ΣF=mg-k(b+x)=-kx自然長度b平衡位置0xx任意位置時小球所受到的合外力為：ΣF=mg-k(b+x)=-kx可見小球作諧振動。自然長度b平衡位置0xx任意位置時小球所受到的合外力為：Σ可見小球作諧振動。由得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx自然長度b平衡位置0xx任意位置時小球所受到的合外力為：Σω=kmgb=可見小球作諧振動。由得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx自然長度b平衡位置0xx任意位置時小球所受到的合外力為：Σω=kmgb=當t0=:可見小球作諧振動。由得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx自然長度b平衡位置0xx任意位置時小球所受到的合外力為：Σω=kmgb=00當t0xb,===:v0可見小球作諧振動。由得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx自然長度b平衡位置0xx任意位置時小球所受到的合外力為：Σω=kmgb=00φπ當?shù)胻0xb,A===:v0=b,=可見小球作諧振動。由得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx自然長度b平衡位置0xx任意位置時小球所受到的合外力為：Σω=kmgb=00φπx=bcos(gt+)πb當?shù)胻0xb,A===:v0=b,=可見小球作諧振動。由得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx例4-7在一輕彈簧下端懸掛mo=100g砝碼時，彈簧伸長8cm，現(xiàn)在這根彈簧下端懸掛m=250g的物體，構成彈簧振子。將物體從平衡位置向下拉動4cm，并給以向上21cm/s的初速度（這時t=0）。選x軸向下，求振動方程的表達式。解：k=mog/l=0.1100.08=12.5N/m=(k/m)1/2=(12.5/0.25)1/2

=7rad/s初始條件：t=0

,xo=0.04m,vo=-0.21m/sA=(xo2+vo2/2)1/2=0.05mtg=-vo/xo=-(-0.21)/(70.04)=0.75=0.64rad振動方程:x=0.05cos(7t+0.64)m彈簧的串聯(lián)和并聯(lián)串聯(lián)公式：

k1k2彈簧的串聯(lián)和并聯(lián)串聯(lián)公式：

k1k2彈簧的串聯(lián)和并聯(lián)串聯(lián)公式：

1/k=1/k1+1/k2k1k2彈簧的串聯(lián)和并聯(lián)串聯(lián)公式：

1/k=1/k1+1/k2并聯(lián)公式：

k1k2k1k2彈簧的串聯(lián)和并聯(lián)串聯(lián)公式：

1/k=1/k1+1/k2并聯(lián)公式：

k1k2k1k2彈簧的串聯(lián)和并聯(lián)串聯(lián)公式：

1/k=1/k1+1/k2并聯(lián)公式：

k=k1+k2

k1k2k1k2例：一勁度系數(shù)為k的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù)k'。解：k例：一勁度系數(shù)為k的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù)k'。解：k1k2例：一勁度系數(shù)為k的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù)k'。解：k1k2例：一勁度系數(shù)為k的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù)k'。解：串聯(lián)公式：

1/k=1/k1+1/k2k1k2例：一勁度系數(shù)為k的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù)k'。解：串聯(lián)公式：

1/k=1/k1+1/k2因為k1=k2k1k2例：一勁度系數(shù)為k的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù)k'。解：串聯(lián)公式：

1/k=1/k1+1/k2因為k1=k2，所以

1/k=1/k1+1/k1k1k2例：一勁度系數(shù)為k的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù)k'。解：串聯(lián)公式：

1/k=1/k1+1/k2因為k1=k2，所以

1/k=1/k1+1/k1=2/k1k1k2例：一勁度系數(shù)為k的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù)k'。解：串聯(lián)公式：

1/k=1/k1+1/k2因為k1=k2，所以

1/k=1/k1+1/k1=2/k1故k1=k2=2kk1k2例：一勁度系數(shù)為k的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù)k'。解：k1k2例：一勁度系數(shù)為k的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù)k'。解：k1k2例：一勁度系數(shù)為k的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù)k'。解：并聯(lián)公式：

k'=k1+k2

k1k2例：一勁度系數(shù)為k的彈簧均分為二，試求均分后兩彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù)k'。解：并聯(lián)公式：

k'=k1+k2

=2k+2k=4kk1k2

2、簡諧振動的能量

=振動動能

+振動勢能

W=Wk+WpWk=mv2/2=mω2A2sin2（ωt+φ

）/2WP=kx2/2=kA2cos2（ωt+φ

）/2W=Wk+Wp=kA2/2=mω2A2/2特點：

1、Wk

最大時，Wp最小為零；

Wp最大時，Wk最小為零。

2、Wk=Wp

=kA2/4=W/23、Wk

和Wp的周期是系統(tǒng)周期的一半。

4、系統(tǒng)的總能量不變。例4-6單擺SimplePendulum：單擺的運動是簡諧振動的一個典型的實例。單擺定義為質量為m的質點用一長為l而其質量可忽略的細繩懸掛在固定點O的系統(tǒng)。解：由于拉力T

v

，T

不作功，故質點在擺動過程中機械能守恒。設在平衡位置C點的勢能為零，則質點在A點的機械能為：EM=mv2/2+mgl(1-cos)lTOCvm

因為υ=ld/dt代入上式整理得：

EM=ml

2(d/dt)2/2+mgl(1-cos)=恒量對上式兩邊對時間求導整理可得：

d2/dt2+gsin/l=0

在一般情況下，單擺的擺動不正好是簡諧振動。但是，如果擺動的角度很小時，≈sin(在＜10°內(nèi))，這樣上式可改為：

d2/dt2+g/l=0

表明在小角度的范圍內(nèi)，單擺的角位移θ作簡諧振動。圓頻率：周期：例4-8復擺PhysicalPendulum：復擺是能夠在重力作用下繞水平軸自由振蕩的任意剛體。ZZ’水平軸，C為物體質心，質量為mg。解：轉動定理MZ=IβMZ=-mgbsin

β=d2

/dt2Id2

/dt2=-mgbsin

假定振動是小振幅的，

≈sin

，利用I=mK2，式中K為擺的回轉半徑，得：

d2

/dt2+gb/K2=0表明在小范圍內(nèi)，角運動是簡諧振動

ω2=gb/K2Z’Z’COlbO’mgω2=gb/K2

因此，振動的周期為其中

l=K2/b叫做等效單擺長度Lengthof

theequivalentsimplependulum，因為具有這個長度的單擺，其周期與復擺的相同。可以看出，復擺的周期與其質量無關，也與其幾何形狀無關，只要K2/b保持相同。

三、同方向同頻率的簡諧振動的疊加設兩個簡諧振動的頻率相等為ω，振動方向為X軸方向，以x1和x2分別代表兩運動的質點位移：x1=A1cos(ωｔ+φ1)x2=A2cos(ωｔ+φ2)式中A１、A2中φ1、φ2分別表示這兩個簡諧振動的振幅和初相位。因此，質點的合位移為：x=x1+x2

=A1cos(ωｔ+φ1)+A2cos(ω+φ2)=Acos(ωｔ+φ)

其中A=[A12+A22+2A1A2cos(φ2-φ1)]1/2tgφ=（A1sinφ1+A2sinφ2

）（A1cosφ1+A2cosφ2

）討論(1)當φ2-φ1=±2k同相inphase

A=A1+A2A最大，加強。(1)當φ2-φ1=±(2k+1)

反相inoppositionA=│A1－A2│A最小，減弱。

k取整數(shù)1、2、3、4、5、等等。φφ1φ2A2A1AXx2x1xO習題4-17兩個同方向同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為20cm，與第一個簡諧振動的相位差為-１=π/6，若第一個簡諧動的振幅為17.3cm，試求：

1、第二個簡諧振動的振幅A2

2、第一、二兩個簡諧振動的相位差1-

2解：已知A=20cmA1=17.3cmA2=[A2+A12-2AA1cos(-１)]1/2=10cm-１

１xoAA2A1

∵A2=A12+A22+2A1A2cos(1-

2)

∴cos(1-

2)

=[A2-A12+A22]/2A1A2=0∵

2－

1

=π/2

∴

1－

2

=－π/2-１

１xoAA2A1四、非簡諧振動AnharmonicOscillation簡諧振動力:F=-kx，勢能:EP=kx2/2

或EP=k(x-xO)2/2EP的曲線是一拋物線彈性常數(shù)k=d2EP/dx2非簡諧振動

考慮勢能不是勢物線，但卻具有明確的極小值的情況。在平衡位置xo處(dEP/dx=0)附近的運動可視為簡諧振動。

等效彈性常數(shù)：k=[d2EP/dx2]|x=x。xoEPx例4-9試用等效彈性常數(shù)重新計算例4-6單擺的周期。解：單擺的勢能:EP=mgl(1-cosθ)，其極小值位置θ=0，單擺離開平衡點的水平位移x=lsinθ，因此：單擺的圓頻率:周期:阻尼振動受迫振動五、阻尼振動DampedOscillationFF’==kxv阻尼力彈性力dxdx2dtdtm=kx2kmm==ω令02（阻尼因子）2dtdxdx22++=0ω0dt2x2rr2++0特征方程：2ω2=0r2+=ω0特征根：222ω0

1.小阻尼rωω00有兩個虛根：r1==+ii2,方程的解為：A0tTxω00tφx=Aecos()t+0T=2πω22ωω0=22是一非周期運動。過阻尼臨界阻尼t(yī)x阻尼

2.過阻尼動力學方程：方程的解為：oF=Fcosωt

周期性干擾力（強迫力）強迫力的圓頻率ωoF力幅六、受迫振動ForcedOscillationdxdtdxdt22Fokx+cosωt=m0令kmf=ω2m=2Fom=,,0=dxdtdtdx得222++2ωxfcosωt+tφ2ω000t2φAx=Aecos()+sin(ωt-)隨時間很快衰減為零穩(wěn)定時的振動方程

在達到穩(wěn)定態(tài)時，系統(tǒng)振動頻率等于強迫力的頻率。穩(wěn)定時的振幅：時振幅最大，稱為振幅共振。

當無阻尼(=0)時,ωA=ωo。+tφ2ω000t2φAx=Aecos()+sin(ωt-)A=ω022()222+4ωωf相位：ω02-ω22

ωtgφ=ω=0222ωA當強迫力的圓頻率為A

較小0ωoO較大

ωωA振幅共振AmplitudeResonancedx=ωAcos(ωt-φ)

dtv=vo=ω