高中數(shù)學(xué)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

平面． 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系知識(shí)導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)圖形語(yǔ)言表示點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系時(shí)，一定要注意實(shí)線與虛線的區(qū)別．．學(xué)會(huì)用自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言描述四個(gè)公理的條件及結(jié)論，明確四個(gè)公理各自的作用．．要理解異面直線的概念中“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”的含義，即兩條異面直線永不具備確定平面的條件．．判斷異面直線時(shí)，要更多地使用排除法和反證法．．作異面直線所成的角時(shí)，注意先選好特殊點(diǎn)，再作平行線．高考導(dǎo)航平面及其基本性質(zhì)是后面將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容的基礎(chǔ)和證明的依據(jù)，需要牢固掌握，但高考中很少單獨(dú)考查．．高考經(jīng)常考查兩條直線位置關(guān)系的判定和公理

的應(yīng)用，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也以解答題某一問(wèn)的形式出現(xiàn)，分值

～

分．．求異面直線所成的角，常與正、余弦定理必修

中學(xué)習(xí)綜合考查，對(duì)于理科考生還需要掌握用空間向量法選修

－

中學(xué)習(xí)求角的大?。?/p>

獨(dú)立考查該知識(shí)的試題不多，有時(shí)以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)以解答題的形式出現(xiàn)一般作為第一問(wèn)，分值

～

分．第

課時(shí) 平面知識(shí)點(diǎn)一 平面概念

幾何里所說(shuō)的“平面”是從生活中的一些物體中抽象出來(lái)的，是無(wú)限延展的畫法 ，且橫邊長(zhǎng)等于鄰邊長(zhǎng)的

倍，為了增強(qiáng)立體感，被遮擋部分用虛線畫出來(lái)一個(gè)希臘字母：如α，β，γ

等；表示 方法 個(gè)頂點(diǎn)；．平面和點(diǎn)、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進(jìn)行度量；．平面無(wú)厚薄、無(wú)大小，是無(wú)限延展的．直線在平面內(nèi)的概念如果直線

l

上的所有點(diǎn)都在平面α

內(nèi)，就說(shuō)直線l

在平面

α

內(nèi)，或者說(shuō)平面

α

經(jīng)過(guò)直線

l一些文字語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系數(shù)學(xué)符號(hào)表示

文字語(yǔ)言表達(dá)

圖形語(yǔ)言表達(dá)∈l 點(diǎn)

在直線

l

上?l∈α?α

點(diǎn)

在直線

l

外點(diǎn)

在平面

α

內(nèi)點(diǎn)

在平面

α

外l?αl?αl∩m＝α∩β＝l

直線

l

在平面

α

內(nèi)直線

l

在平面

α

外直線

l，m

相交于點(diǎn)β平面

α，

相交于直β線

l知識(shí)點(diǎn)二 平面的基本性質(zhì)公理 內(nèi)容 圖形 符號(hào)如果一條直線上的公理

兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，

∈l，∈l

且

∈α，那么這條直線在此

∈α?l?α平面內(nèi)過(guò)不在同一條直線 ，，

三點(diǎn)不共線公理

?存在唯一的平面α一個(gè)平面 使

，，∈α如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，公理 那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共

P∈α且P∈β?α∩β＝l

且

P∈l直線公理

的作用：①用直線檢驗(yàn)平面常被應(yīng)用于實(shí)踐，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿經(jīng)常被用于立體幾何的說(shuō)理中．．公理

的作用：①確定平面；②證明點(diǎn)、線共面．公理

中要注意條件“不在同一條直線上的三點(diǎn)”，事實(shí)上，共線的三點(diǎn)是不能確定一個(gè)平面的．同時(shí)要注意經(jīng)過(guò)一點(diǎn)、兩點(diǎn)或在同一條直線上的三此，要充分重視“不在同一條直線上的三點(diǎn)”這一條件的重要性．．公理

的主要作用：①判定兩個(gè)平面是否相交；②證明共線問(wèn)題；③證明線共點(diǎn)問(wèn)題.公理

3

強(qiáng)調(diào)的是兩個(gè)不重合的平面，只要它們有公共點(diǎn)，其交集就是一條直線．以后若無(wú)特別說(shuō)明，“兩個(gè)平面”是指不重合的兩個(gè)平面．小試身手．判斷下列命題是否正確.

正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面． 空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面． 和同一直線都相交的三條平行線在同一平面內(nèi)． ☆答案☆：× × √．經(jīng)過(guò)空間任意三點(diǎn)作的平面 A．只有一個(gè) B．只有兩個(gè)．有無(wú)數(shù)個(gè) ．只有一個(gè)或有無(wú)數(shù)個(gè)解析：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可作無(wú)數(shù)個(gè)平面；當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，只能作一個(gè)平面．☆答案☆：．如果?α，b?α，l∩＝，l∩b＝，那么下列關(guān)系成立的是 A．l?α B．l?α．l∩α＝ ．l∩α＝解析：∵l∩＝

又

?α，∴∈l

且

∈α.同理

∈l

且

∈α.∴l(xiāng)?α.☆答案☆：A

、、

、

A．、、、

四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線B．、、、

四點(diǎn)中不存在三點(diǎn)共線．直線

與

相交．直線

與

平行解析：、、、

四點(diǎn)中若有三點(diǎn)共線，則必與另一點(diǎn)共面；直線

與

既不平行也不相交，否則

、、、

共面．☆答案☆：B類型一 平面,例

面圖形都可以表示平面；③平面

的面積為

；④空間圖形中，后引的輔助線都是虛線．其中正確的說(shuō)法的序號(hào)為________．【解析】

面是無(wú)限延展的，不計(jì)大小，不計(jì)面積，而平行四邊形是平面的一部分，它是不能無(wú)限延展的．另外，在空間圖形中，我們一般把能看得見(jiàn)的線畫成實(shí)線，把被面遮住看不見(jiàn)的線畫成虛線，目的是增強(qiáng)立體感，同幾何體的三視圖的畫法類似，后引的輔助線也是如此，這與平面幾何是有區(qū)別的．有時(shí)，根據(jù)具體的情況，可以用其他的平面圖形，①③④錯(cuò)誤，②正確．故填②.【☆答案☆】 ②平面是從現(xiàn)實(shí)中抽象出來(lái)的，它具有無(wú)限延展性，無(wú)比平整性、無(wú)大小、無(wú)輕重、無(wú)厚薄，平面和平面圖形是完全不同的兩個(gè)概念．方法歸納平面畫法的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)①通常畫的平行四邊形表示的是整個(gè)平面．需要時(shí)，可以把它延展開來(lái)，如同在平面幾何中畫直線一樣，直線是可以無(wú)限延伸的，但在畫直線時(shí)卻只畫一條線段無(wú)端點(diǎn)來(lái)表示．②加“通?！倍值囊馑际且?yàn)橛袝r(shí)根據(jù)需要也可用其他平面圖形表示，如用三角形、矩形、圓等平面圖形來(lái)表示平面．③成鄰邊的兩倍．④畫表示豎直平面的平行四邊形時(shí)，通常把它的一組對(duì)邊畫成鉛垂線．跟蹤訓(xùn)練

如圖所示的兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是 解析：對(duì)于①，圖中沒(méi)有畫出平面

α

與平面

β

的交線，另外圖中的實(shí)線、虛線也沒(méi)有按照畫法原則去畫，因此①的畫法不正確．同樣的道理，可知②③的畫法不正確，④中畫法正確．☆答案☆：④利用平面的概念及平面的畫法進(jìn)行判斷．類型二 文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化例

根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句，說(shuō)明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：①∈α，?α；②∈α，m∩α＝，?l，l?α；③P∈l，P?α，∈l，∈α；用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句，并畫出圖形：①三個(gè)平面

α，β，γ

相交于一點(diǎn)

P，且平面α

與平面

β

相交于

，平面

α

與平面

γ

相交于

，平面

β

與平面

γ

相交于

PC；②平面

與平面

相交于

，平面

與平面

相交于

.【解析】 ①點(diǎn)

在平面

α

內(nèi)，點(diǎn)

不在平面

α

內(nèi)；②直線

l

在平面

α

內(nèi)，直線

m

與平面

α

相交于點(diǎn)

，且點(diǎn)

不在直線

l

上；③直線

l

經(jīng)過(guò)平面

α

外一點(diǎn)

P

和平面

α

內(nèi)一點(diǎn)

.圖形分別如圖①②③所示．①符號(hào)語(yǔ)言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝，α∩γ＝，β∩γ＝PC.圖形表示如圖④所示．②符號(hào)語(yǔ)言表示：平面

∩平面

＝，平面

∩平面＝.圖形表示如圖⑤所示.lA∈α，

?α”中

A

視為平面

α(集合內(nèi)的l點(diǎn)元素，l(集合視為平面

α(集合內(nèi)的直線子集．方法歸納用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著先用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．要注意符號(hào)語(yǔ)言的意義，如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”表示；直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”表示．根據(jù)已知符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．跟蹤訓(xùn)練

根據(jù)如圖所示，在橫線上填入相應(yīng)的符號(hào)或字母：________平面，________平面，________平面，平面

∩平面

＝________.☆答案☆：∈ ? ? 根據(jù)符號(hào)的含義進(jìn)行判斷或轉(zhuǎn)化

.類型三 平面性質(zhì)的應(yīng)用例

如圖，

在平面

α

外，∩α＝P，∩α＝，∩α＝.求證：P，，

三點(diǎn)共線．【證明】 方法一 ∵∩α＝P，∴P∈，P∈α.又

?平面

，∴P∈平面

.由公理

可知點(diǎn)

P

在平面

與平面

α

的交線上，同理可證

，

也在平面

與平面

α

的交線上，∴P，，

三點(diǎn)共線．方法二 ∵∩＝，∴直線

與直線

確定平面

.又

∩α＝P，∩α＝，∴平面

∩α＝. ∴∵∈平面

，∈平面

，

?平面

.∵∈，∴ ∴平面

，又

∈α，∴∈，∴P，，

三點(diǎn)共線.證明三點(diǎn)共線，可以證明三點(diǎn)都在兩平面的交線上或第三點(diǎn)在兩點(diǎn)所確定的直線上．方法歸納證明三線共點(diǎn)常用的方法是先說(shuō)明兩條直線共面且相交于一點(diǎn)，然后說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)在以另一條直線為交線的兩個(gè)平面內(nèi)，即該點(diǎn)在另一條直線上，則可得三線共點(diǎn)．證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題的理論依據(jù)是公理

和公理

，常用方法有：①先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi)，即用“納入平面法”；②

α平面

β，再證平面

α

與

β

重合，即用“輔助平面法”；③假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，用“反證法”．跟蹤訓(xùn)練

如圖，三個(gè)平面

α、β、γ

兩兩相交，α∩β＝，β∩γ＝，γ∩α＝b，若直線

和

b

不平行，求證：，b，

三條直線必過(guò)同一點(diǎn)．證明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝，∴?γ，b?γ，∵

與

b

不平行，∴與

b

必相交，設(shè)

∩b＝P，則

P∈，P∈b，∵?β，b?α，∴P∈β，P∈α.又

α∩β＝，∴P∈，即交線

經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P.∴、b、

三條直線相交于同一點(diǎn)．,證明三線共點(diǎn)的基本方法是先證明待證的三條直線中的兩條相交于一點(diǎn)，再證明第三條直線也過(guò)該點(diǎn).

常結(jié)合公理

，證明該點(diǎn)在不重第三條直線共點(diǎn).基礎(chǔ)鞏固

分鐘，

分一、選擇題每小題

分，共

分．若點(diǎn)

M

在直線

上，

在平面

α

內(nèi)，則

M，，α

間的關(guān)系可記為 A．M∈，∈α B．M∈，?α．M?，?α ．M?，∈α解析：根據(jù)點(diǎn)與直線、直線與平面之間位置關(guān)系的符號(hào)表示，可知

B

正確．☆答案☆：B．給出下面四個(gè)命題：①三個(gè)不同的點(diǎn)確定一個(gè)平面；②一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；③空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；④兩條平行直線確定一個(gè)平面．其中正確的命題是 A．① B．②．③ ．④解析：對(duì)于①，三個(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面，故錯(cuò)；對(duì)于②，一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，故錯(cuò)；對(duì)于③，空間兩兩相交的三條直線，且不能交于同一點(diǎn)，確定一個(gè)平面，故錯(cuò)；對(duì)于

④，兩條平行直線確定一個(gè)平面，正確．☆答案☆：．下面空間圖形畫法錯(cuò)誤的是 解析：畫立體圖時(shí)，被平面遮住的部分畫成虛線或不畫．☆答案☆：．給出以下四個(gè)命題：①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)

，，，

共面，點(diǎn)，，，E

共面，則點(diǎn)，，，，E

共面；③若直線

，b

共面，直線

，

共面，則直線

b，

共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．其中正確命題的個(gè)數(shù)是 A． B．． ．解析：①假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面，這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線，所以

①正確；②如圖，兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)，，，但，，，，E

不共面；③顯然不正確；④可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形．☆答案☆：B

，，，

上分別取

E，F(xiàn)，，

四點(diǎn)，如果

，EF

交于一點(diǎn)

P，則 A．P

一定在直線

上B．P

一定在直線

上．P

在直線

或

上．P

既不在直線

上，也不在

上解析：由題意知

?平面

.因?yàn)?/p>

，EF

交于一點(diǎn)

P，所以P∈平面

.同理，P∈平面

.因?yàn)槠矫?/p>

∩平面

＝公理

可知點(diǎn)

P

一定在直線

上．☆答案☆：B二、填空題每小題

分，共

分．設(shè)平面α

與平面

β

相交于直線

l，直線?α，直線b?β，∩b＝M，則點(diǎn)

M

與

l

的位置關(guān)系為________．解析：因?yàn)?/p>

∩b＝M，?α，b?β，所以

M∈α，M∈β.又平面

α與平面

β

相交于直線

l，所以點(diǎn)

M

在直線

l

上，即

M∈l.☆答案☆：M∈l②三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)；③有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；④兩兩平行的三條直線確定三個(gè)平面．其中正確命題的個(gè)數(shù)是________．解析：空間中和一條直線都相交的兩條直線不一定在同一平面內(nèi)，故①錯(cuò)；若三條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，不一定在同一平面內(nèi)，如長(zhǎng)方體一角的三條線，故②錯(cuò)；若兩平面相交時(shí)，也可有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，故③錯(cuò)；若三條直線兩兩平行且在同一平面內(nèi)，則只有一個(gè)平面，故④錯(cuò)．☆答案☆：．把下列符號(hào)敘述所對(duì)應(yīng)的圖形的序號(hào)填在題后的橫線上：?α，?α：________.α∩β＝，P?α，且

P?β：________.?α，∩α＝：________.α∩β＝，α∩γ＝，β∩γ＝b，∩b∩＝：________.☆答案☆：③ ④ ① ②三、解答題每小題

分，共

分．完成下列各題：將下列文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言．①點(diǎn)

在平面

α

內(nèi)，但不在平面

β

內(nèi)；②直線

經(jīng)過(guò)平面

α

外一點(diǎn)

M；③直線

l

在平面

α

內(nèi)，又在平面

β

內(nèi)即平面

α

和平面

β

相交于直線

l．將下列符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為圖形語(yǔ)言．①?α，b∩α＝，?；②α∩β＝，?α，b?β，∥，b∩＝P.解析：①∈α，?β.②M∈，M?α.③α∩β＝l.①同理，EF?同理，EF?平面

，∴∈平面

，又∵平面

∩平面

＝，

－

M、N、E、F

分別是棱

、、、上的點(diǎn)，若MN

與

EF

交于點(diǎn)

，求證：、、

三點(diǎn)共線．證明：∵M(jìn)N∩EF＝，∴∈直線

MN，∈直線

EF，N∵M(jìn)∈直線

，

∈直線

，?平面

，?平面

，N∴M、N∈平面

，∴MN?平面

，∴∈平面

. ∴∈直線

，即

，，

三點(diǎn)